ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iccshftli GIF version

Theorem iccshftli 9621
Description: Membership in a shifted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
iccshftli.1 𝐴 ∈ ℝ
iccshftli.2 𝐵 ∈ ℝ
iccshftli.3 𝑅 ∈ ℝ
iccshftli.4 (𝐴𝑅) = 𝐶
iccshftli.5 (𝐵𝑅) = 𝐷
Assertion
Ref Expression
iccshftli (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷))

Proof of Theorem iccshftli
StepHypRef Expression
1 iccshftli.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℝ
2 iccshftli.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℝ
3 iccssre 9579 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
41, 2, 3mp2an 420 . . 3 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ
54sseli 3043 . 2 (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ)
6 iccshftli.3 . . . 4 𝑅 ∈ ℝ
7 iccshftli.4 . . . . . 6 (𝐴𝑅) = 𝐶
8 iccshftli.5 . . . . . 6 (𝐵𝑅) = 𝐷
97, 8iccshftl 9620 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
101, 2, 9mpanl12 430 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
116, 10mpan2 419 . . 3 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
1211biimpd 143 . 2 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
135, 12mpcom 36 1 (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1299  wcel 1448  wss 3021  (class class class)co 5706  cr 7499  cmin 7804  [,]cicc 9515
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-ltadd 7611
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-icc 9519
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator