Theorem iccshftli 9954

Description: Membership in a shifted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccshftli.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
iccshftli.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
iccshftli.3	⊢ 𝑅 ∈ ℝ
iccshftli.4	⊢ (𝐴 − 𝑅) = 𝐶
iccshftli.5	⊢ (𝐵 − 𝑅) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
iccshftli	⊢ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷))

Proof of Theorem iccshftli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccshftli.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		iccshftli.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		iccssre 9912	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 424	. . 3 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ
5	4	sseli 3143	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ)
6		iccshftli.3	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ
7		iccshftli.4	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 − 𝑅) = 𝐶
8		iccshftli.5	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 − 𝑅) = 𝐷
9	7, 8	iccshftl 9953	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
10	1, 2, 9	mpanl12 434	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
11	6, 10	mpan2 423	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
12	11	biimpd 143	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
13	5, 12	mpcom 36	1 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3121  (class class class)co 5853  ℝcr 7773   − cmin 8090  [,]cicc 9848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-icc 9852

This theorem is referenced by: (None)