ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iooneg GIF version

Theorem iooneg 9983
Description: Membership in a negated open real interval. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
iooneg ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ -𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴)))

Proof of Theorem iooneg
StepHypRef Expression
1 ltneg 8414 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ -𝐶 < -𝐴))
213adant2 1016 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ -𝐶 < -𝐴))
3 ltneg 8414 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐶))
43ancoms 268 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐶))
543adant1 1015 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐶))
62, 5anbi12d 473 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ↔ (-𝐶 < -𝐴 ∧ -𝐵 < -𝐶)))
7 ancom 266 . . 3 ((-𝐶 < -𝐴 ∧ -𝐵 < -𝐶) ↔ (-𝐵 < -𝐶 ∧ -𝐶 < -𝐴))
86, 7bitrdi 196 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ↔ (-𝐵 < -𝐶 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
9 rexr 7998 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
10 rexr 7998 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 rexr 7998 . . 3 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
12 elioo5 9928 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
139, 10, 11, 12syl3an 1280 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
14 renegcl 8213 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
15 renegcl 8213 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
16 renegcl 8213 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ → -𝐶 ∈ ℝ)
17 rexr 7998 . . . . 5 (-𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ*)
18 rexr 7998 . . . . 5 (-𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ*)
19 rexr 7998 . . . . 5 (-𝐶 ∈ ℝ → -𝐶 ∈ ℝ*)
20 elioo5 9928 . . . . 5 ((-𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝐶 ∈ ℝ*) → (-𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴) ↔ (-𝐵 < -𝐶 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
2117, 18, 19, 20syl3an 1280 . . . 4 ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴) ↔ (-𝐵 < -𝐶 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
2214, 15, 16, 21syl3an 1280 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴) ↔ (-𝐵 < -𝐶 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
23223com12 1207 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴) ↔ (-𝐵 < -𝐶 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
248, 13, 233bitr4d 220 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ -𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978  wcel 2148   class class class wbr 4002  (class class class)co 5871  cr 7806  *cxr 7986   < clt 7987  -cneg 8124  (,)cioo 9883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-addcom 7907  ax-addass 7909  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-cnre 7918  ax-pre-ltadd 7923
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-sub 8125  df-neg 8126  df-ioo 9887
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator