Theorem iooneg 10020

Description: Membership in a negated open real interval. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ -𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴)))

Proof of Theorem iooneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltneg 8450	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ -𝐶 < -𝐴))
2	1	3adant2 1018	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ -𝐶 < -𝐴))
3		ltneg 8450	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐶))
4	3	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐶))
5	4	3adant1 1017	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐶))
6	2, 5	anbi12d 473	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ (-𝐶 < -𝐴 ∧ -𝐵 < -𝐶)))
7		ancom 266	. . 3 ⊢ ((-𝐶 < -𝐴 ∧ -𝐵 < -𝐶) ↔ (-𝐵 < -𝐶 ∧ -𝐶 < -𝐴))
8	6, 7	bitrdi 196	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ (-𝐵 < -𝐶 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
9		rexr 8034	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
10		rexr 8034	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
11		rexr 8034	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
12		elioo5 9965	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
13	9, 10, 11, 12	syl3an 1291	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
14		renegcl 8249	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
15		renegcl 8249	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
16		renegcl 8249	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → -𝐶 ∈ ℝ)
17		rexr 8034	. . . . 5 ⊢ (-𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ*)
18		rexr 8034	. . . . 5 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ*)
19		rexr 8034	. . . . 5 ⊢ (-𝐶 ∈ ℝ → -𝐶 ∈ ℝ*)
20		elioo5 9965	. . . . 5 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝐶 ∈ ℝ*) → (-𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴) ↔ (-𝐵 < -𝐶 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
21	17, 18, 19, 20	syl3an 1291	. . . 4 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴) ↔ (-𝐵 < -𝐶 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
22	14, 15, 16, 21	syl3an 1291	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴) ↔ (-𝐵 < -𝐶 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
23	22	3com12 1209	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴) ↔ (-𝐵 < -𝐶 ∧ -𝐶 < -𝐴)))
24	8, 13, 23	3bitr4d 220	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ -𝐶 ∈ (-𝐵(,)-𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897  ℝcr 7841  ℝ^*cxr 8022   < clt 8023  -cneg 8160  (,)cioo 9920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-sub 8161  df-neg 8162  df-ioo 9924

This theorem is referenced by: (None)