Theorem sincos2sgn 11948

Description: The signs of the sine and cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincos2sgn	⊢ (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)

Proof of Theorem sincos2sgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9077	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		2pos 9098	. . . 4 ⊢ 0 < 2
3	1	leidi 8529	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 2
4		0xr 8090	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
5		elioc2 10028	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (2 ∈ (0(,]2) ↔ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ∧ 2 ≤ 2)))
6	4, 1, 5	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0(,]2) ↔ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ∧ 2 ≤ 2))
7	1, 2, 3, 6	mpbir3an 1181	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0(,]2)
8		sin02gt0 11946	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘2))
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ 0 < (sin‘2)
10		cos2bnd 11942	. . . 4 ⊢ (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))
11	10	simpri 113	. . 3 ⊢ (cos‘2) < -(1 / 9)
12		9re 9094	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		9pos 9111	. . . . 5 ⊢ 0 < 9
14	12, 13	recgt0ii 8951	. . . 4 ⊢ 0 < (1 / 9)
15	12, 13	gt0ap0ii 8672	. . . . . 6 ⊢ 9 # 0
16	12, 15	rerecclapi 8821	. . . . 5 ⊢ (1 / 9) ∈ ℝ
17		lt0neg2 8513	. . . . 5 ⊢ ((1 / 9) ∈ ℝ → (0 < (1 / 9) ↔ -(1 / 9) < 0))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 < (1 / 9) ↔ -(1 / 9) < 0)
19	14, 18	mpbi 145	. . 3 ⊢ -(1 / 9) < 0
20		recoscl 11903	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℝ → (cos‘2) ∈ ℝ)
21	1, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (cos‘2) ∈ ℝ
22	16	renegcli 8305	. . . 4 ⊢ -(1 / 9) ∈ ℝ
23		0re 8043	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
24	21, 22, 23	lttri 8148	. . 3 ⊢ (((cos‘2) < -(1 / 9) ∧ -(1 / 9) < 0) → (cos‘2) < 0)
25	11, 19, 24	mp2an 426	. 2 ⊢ (cos‘2) < 0
26	9, 25	pm3.2i 272	1 ⊢ (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℝcr 7895  0cc0 7896  1c1 7897  ℝ^*cxr 8077   < clt 8078   ≤ cle 8079  -cneg 8215   / cdiv 8716  2c2 9058  7c7 9063  9c9 9065  (,]cioc 9981  sincsin 11826  cosccos 11827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-ioc 9985  df-ico 9986  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-fac 10835  df-bc 10857  df-ihash 10885  df-shft 10997  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536  df-ef 11830  df-sin 11832  df-cos 11833

This theorem is referenced by:  sin4lt0  11949  cosz12  15100