Theorem sincos2sgn 11808

Description: The signs of the sine and cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincos2sgn	⊢ (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)

Proof of Theorem sincos2sgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9020	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		2pos 9041	. . . 4 ⊢ 0 < 2
3	1	leidi 8473	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 2
4		0xr 8035	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
5		elioc2 9968	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (2 ∈ (0(,]2) ↔ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ∧ 2 ≤ 2)))
6	4, 1, 5	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0(,]2) ↔ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ∧ 2 ≤ 2))
7	1, 2, 3, 6	mpbir3an 1181	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0(,]2)
8		sin02gt0 11806	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘2))
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ 0 < (sin‘2)
10		cos2bnd 11803	. . . 4 ⊢ (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))
11	10	simpri 113	. . 3 ⊢ (cos‘2) < -(1 / 9)
12		9re 9037	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
13		9pos 9054	. . . . 5 ⊢ 0 < 9
14	12, 13	recgt0ii 8895	. . . 4 ⊢ 0 < (1 / 9)
15	12, 13	gt0ap0ii 8616	. . . . . 6 ⊢ 9 # 0
16	12, 15	rerecclapi 8765	. . . . 5 ⊢ (1 / 9) ∈ ℝ
17		lt0neg2 8457	. . . . 5 ⊢ ((1 / 9) ∈ ℝ → (0 < (1 / 9) ↔ -(1 / 9) < 0))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 < (1 / 9) ↔ -(1 / 9) < 0)
19	14, 18	mpbi 145	. . 3 ⊢ -(1 / 9) < 0
20		recoscl 11764	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℝ → (cos‘2) ∈ ℝ)
21	1, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (cos‘2) ∈ ℝ
22	16	renegcli 8250	. . . 4 ⊢ -(1 / 9) ∈ ℝ
23		0re 7988	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
24	21, 22, 23	lttri 8093	. . 3 ⊢ (((cos‘2) < -(1 / 9) ∧ -(1 / 9) < 0) → (cos‘2) < 0)
25	11, 19, 24	mp2an 426	. 2 ⊢ (cos‘2) < 0
26	9, 25	pm3.2i 272	1 ⊢ (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  ‘cfv 5235  (class class class)co 5897  ℝcr 7841  0cc0 7842  1c1 7843  ℝ^*cxr 8022   < clt 8023   ≤ cle 8024  -cneg 8160   / cdiv 8660  2c2 9001  7c7 9006  9c9 9008  (,]cioc 9921  sincsin 11687  cosccos 11688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-disj 3996  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-frec 6417  df-1o 6442  df-oadd 6446  df-er 6560  df-en 6768  df-dom 6769  df-fin 6770  df-sup 7014  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-7 9014  df-8 9015  df-9 9016  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-ioc 9925  df-ico 9926  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-fac 10741  df-bc 10763  df-ihash 10791  df-shft 10859  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-clim 11322  df-sumdc 11397  df-ef 11691  df-sin 11693  df-cos 11694

This theorem is referenced by:  sin4lt0  11809  cosz12  14678