Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sincos2sgn GIF version

Theorem sincos2sgn 11472
 Description: The signs of the sine and cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincos2sgn (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)

Proof of Theorem sincos2sgn
StepHypRef Expression
1 2re 8790 . . . 4 2 ∈ ℝ
2 2pos 8811 . . . 4 0 < 2
31leidi 8247 . . . 4 2 ≤ 2
4 0xr 7812 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
5 elioc2 9719 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (2 ∈ (0(,]2) ↔ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ∧ 2 ≤ 2)))
64, 1, 5mp2an 422 . . . 4 (2 ∈ (0(,]2) ↔ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ∧ 2 ≤ 2))
71, 2, 3, 6mpbir3an 1163 . . 3 2 ∈ (0(,]2)
8 sin02gt0 11470 . . 3 (2 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘2))
97, 8ax-mp 5 . 2 0 < (sin‘2)
10 cos2bnd 11467 . . . 4 (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))
1110simpri 112 . . 3 (cos‘2) < -(1 / 9)
12 9re 8807 . . . . 5 9 ∈ ℝ
13 9pos 8824 . . . . 5 0 < 9
1412, 13recgt0ii 8665 . . . 4 0 < (1 / 9)
1512, 13gt0ap0ii 8390 . . . . . 6 9 # 0
1612, 15rerecclapi 8537 . . . . 5 (1 / 9) ∈ ℝ
17 lt0neg2 8231 . . . . 5 ((1 / 9) ∈ ℝ → (0 < (1 / 9) ↔ -(1 / 9) < 0))
1816, 17ax-mp 5 . . . 4 (0 < (1 / 9) ↔ -(1 / 9) < 0)
1914, 18mpbi 144 . . 3 -(1 / 9) < 0
20 recoscl 11428 . . . . 5 (2 ∈ ℝ → (cos‘2) ∈ ℝ)
211, 20ax-mp 5 . . . 4 (cos‘2) ∈ ℝ
2216renegcli 8024 . . . 4 -(1 / 9) ∈ ℝ
23 0re 7766 . . . 4 0 ∈ ℝ
2421, 22, 23lttri 7868 . . 3 (((cos‘2) < -(1 / 9) ∧ -(1 / 9) < 0) → (cos‘2) < 0)
2511, 19, 24mp2an 422 . 2 (cos‘2) < 0
269, 25pm3.2i 270 1 (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℝcr 7619  0cc0 7620  1c1 7621  ℝ*cxr 7799   < clt 7800   ≤ cle 7801  -cneg 7934   / cdiv 8432  2c2 8771  7c7 8776  9c9 8778  (,]cioc 9672  sincsin 11350  cosccos 11351 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-7 8784  df-8 8785  df-9 8786  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-ioc 9676  df-ico 9677  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-fac 10472  df-bc 10494  df-ihash 10522  df-shft 10587  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123  df-ef 11354  df-sin 11356  df-cos 11357 This theorem is referenced by:  sin4lt0  11473  cosz12  12861
 Copyright terms: Public domain W3C validator