Theorem idmhm 12692

Description: The identity homomorphism on a monoid. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
idmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
idmhm	⊢ (𝑀 ∈ Mnd → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MndHom 𝑀))

Proof of Theorem idmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝑀 ∈ Mnd)
2		f1oi 5480	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵
3		f1of 5442	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵)
4	2, 3	mp1i 10	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → ( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵)
5		idmhm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
6		eqid 2170	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
7	5, 6	mndcl 12659	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝐵)
8	7	3expb 1199	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝐵)
9		fvresi 5689	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎(+g‘𝑀)𝑏) ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑀)𝑏))
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑀)𝑏))
11		fvresi 5689	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑎) = 𝑎)
12		fvresi 5689	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑏) = 𝑏)
13	11, 12	oveqan12d 5872	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑀)𝑏))
14	13	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) = (𝑎(+g‘𝑀)𝑏))
15	10, 14	eqtr4d 2206	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))
16	15	ralrimivva 2552	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))
17		eqid 2170	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
18	5, 17	mndidcl 12666	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (0g‘𝑀) ∈ 𝐵)
19		fvresi 5689	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑀) ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑀))
20	18, 19	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (( I ↾ 𝐵)‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑀))
21	4, 16, 20	3jca 1172	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) ∧ (( I ↾ 𝐵)‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑀)))
22	5, 5, 6, 6, 17, 17	ismhm 12685	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MndHom 𝑀) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd) ∧ (( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g‘𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) ∧ (( I ↾ 𝐵)‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑀))))
23	1, 1, 21, 22	syl21anbrc 1177	1 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MndHom 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448   I cid 4273   ↾ cres 4613  ⟶wf 5194  –1-1-onto→wf1o 5197  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  Basecbs 12416  +_gcplusg 12480  0_gc0g 12596  Mndcmnd 12652   MndHom cmhm 12681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-inn 8879  df-2 8937  df-ndx 12419  df-slot 12420  df-base 12422  df-plusg 12493  df-0g 12598  df-mgm 12610  df-sgrp 12643  df-mnd 12653  df-mhm 12683

This theorem is referenced by: (None)