Theorem nnnn0modprm0 12961

Description: For a positive integer and a nonnegative integer both less than a given prime number there is always a second nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of this second nonnegative integer multiplied with the positive integer and the first nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nnnn0modprm0	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)

Distinct variable groups:   𝑗,𝐼   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗

Proof of Theorem nnnn0modprm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 12815	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
3		fzo0sn0fzo1 10573	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (0..^𝑃) = ({0} ∪ (1..^𝑃)))
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (0..^𝑃) = ({0} ∪ (1..^𝑃)))
5	4	eleq2d 2304	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^𝑃) ↔ 𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑃))))
6		elun 3362	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑃)) ↔ (𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)))
7		elsni 3709	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ {0} → 𝐼 = 0)
8		lbfzo0 10526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑃) ↔ 𝑃 ∈ ℕ)
9	1, 8	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 0 ∈ (0..^𝑃))
10		elfzoelz 10488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → 𝑁 ∈ ℤ)
11		zcn 9587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
12		mul02 8665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (0 · 𝑁) = 0)
13	12	oveq2d 6068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (0 + (0 · 𝑁)) = (0 + 0))
14		00id 8419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 + 0) = 0
15	13, 14	eqtrdi 2283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (0 + (0 · 𝑁)) = 0)
16	10, 11, 15	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → (0 + (0 · 𝑁)) = 0)
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (0 + (0 · 𝑁)) = 0)
18	17	oveq1d 6067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((0 + (0 · 𝑁)) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
19		nnq 9971	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
20	1, 19	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℚ)
21	1	nngt0d 9286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 0 < 𝑃)
22		q0mod 10724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃) → (0 mod 𝑃) = 0)
23	20, 21, 22	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (0 mod 𝑃) = 0)
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (0 mod 𝑃) = 0)
25	18, 24	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ((0 + (0 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
26		oveq1 6059	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑗 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
27	26	oveq2d 6068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 0 → (0 + (𝑗 · 𝑁)) = (0 + (0 · 𝑁)))
28	27	oveq1d 6067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 0 → ((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = ((0 + (0 · 𝑁)) mod 𝑃))
29	28	eqeq1d 2243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 0 → (((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ((0 + (0 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
30	29	rspcev 2923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑃) ∧ ((0 + (0 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
31	9, 25, 30	syl2an2r 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
32	31	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 = 0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
33		oveq1 6059	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 = 0 → (𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) = (0 + (𝑗 · 𝑁)))
34	33	oveq1d 6067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 = 0 → ((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = ((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃))
35	34	eqeq1d 2243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = 0 → (((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 = 0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → (((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
37	36	rexbidv 2545	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 = 0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → (∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((0 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
38	32, 37	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 = 0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
39	38	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 = 0 → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
40	7, 39	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ {0} → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
41		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
42	41	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (1..^𝑃) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑃 ∈ ℙ)
43		simprr 533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (1..^𝑃) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → 𝑁 ∈ (1..^𝑃))
44		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (1..^𝑃) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → 𝐼 ∈ (1..^𝑃))
45		modprm0 12960	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
46	42, 43, 44, 45	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ (1..^𝑃) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃))) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
47	46	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝑃) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
48	40, 47	jaoi 724	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ {0} ∨ 𝐼 ∈ (1..^𝑃)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
49	6, 48	sylbi 121	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑃)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
50	49	com12 30	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (𝐼 ∈ ({0} ∪ (1..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
51	5, 50	sylbid 150	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^𝑃) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))
52	51	3impia 1227	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∃wrex 2523   ∪ cun 3211  {csn 3691   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052  ℂcc 8130  0cc0 8132  1c1 8133   + caddc 8135   · cmul 8137   < clt 8313  ℕcn 9242  ℤcz 9582  ℚcq 9957  ..^cfzo 10483   mod cmo 10691  ℙcprime 12812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250  ax-arch 8251  ax-caucvg 8252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-2o 6650  df-oadd 6653  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-sup 7277  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-q 9958  df-rp 9993  df-fz 10349  df-fzo 10484  df-fl 10637  df-mod 10692  df-seqfrec 10817  df-exp 10908  df-ihash 11147  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-rsqrt 11691  df-abs 11692  df-clim 11972  df-proddc 12245  df-dvds 12482  df-gcd 12658  df-prm 12813  df-phi 12916

This theorem is referenced by:  modprmn0modprm0  12962