ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnn0modprm0 GIF version

Theorem nnnn0modprm0 12255
Description: For a positive integer and a nonnegative integer both less than a given prime number there is always a second nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of this second nonnegative integer multiplied with the positive integer and the first nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
nnnn0modprm0 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
Distinct variable groups:   ๐‘—,๐ผ   ๐‘—,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘—

Proof of Theorem nnnn0modprm0
StepHypRef Expression
1 prmnn 12110 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
21adantr 276 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
3 fzo0sn0fzo1 10221 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (0..^๐‘ƒ) = ({0} โˆช (1..^๐‘ƒ)))
42, 3syl 14 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (0..^๐‘ƒ) = ({0} โˆช (1..^๐‘ƒ)))
54eleq2d 2247 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘ƒ) โ†” ๐ผ โˆˆ ({0} โˆช (1..^๐‘ƒ))))
6 elun 3277 . . . . 5 (๐ผ โˆˆ ({0} โˆช (1..^๐‘ƒ)) โ†” (๐ผ โˆˆ {0} โˆจ ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)))
7 elsni 3611 . . . . . . 7 (๐ผ โˆˆ {0} โ†’ ๐ผ = 0)
8 lbfzo0 10181 . . . . . . . . . . . 12 (0 โˆˆ (0..^๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
91, 8sylibr 134 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 0 โˆˆ (0..^๐‘ƒ))
10 elfzoelz 10147 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
11 zcn 9258 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
12 mul02 8344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 ยท ๐‘) = 0)
1312oveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + (0 ยท ๐‘)) = (0 + 0))
14 00id 8098 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + 0) = 0
1513, 14eqtrdi 2226 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + (0 ยท ๐‘)) = 0)
1610, 11, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ (0 + (0 ยท ๐‘)) = 0)
1716adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (0 + (0 ยท ๐‘)) = 0)
1817oveq1d 5890 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((0 + (0 ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = (0 mod ๐‘ƒ))
19 nnq 9633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„š)
201, 19syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„š)
211nngt0d 8963 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ 0 < ๐‘ƒ)
22 q0mod 10355 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘ƒ) โ†’ (0 mod ๐‘ƒ) = 0)
2320, 21, 22syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (0 mod ๐‘ƒ) = 0)
2423adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (0 mod ๐‘ƒ) = 0)
2518, 24eqtrd 2210 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((0 + (0 ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
26 oveq1 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘— = 0 โ†’ (๐‘— ยท ๐‘) = (0 ยท ๐‘))
2726oveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— = 0 โ†’ (0 + (๐‘— ยท ๐‘)) = (0 + (0 ยท ๐‘)))
2827oveq1d 5890 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— = 0 โ†’ ((0 + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = ((0 + (0 ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ))
2928eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = 0 โ†’ (((0 + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0 โ†” ((0 + (0 ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
3029rspcev 2842 . . . . . . . . . . 11 ((0 โˆˆ (0..^๐‘ƒ) โˆง ((0 + (0 ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((0 + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
319, 25, 30syl2an2r 595 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((0 + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
3231adantl 277 . . . . . . . . 9 ((๐ผ = 0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((0 + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
33 oveq1 5882 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ผ = 0 โ†’ (๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) = (0 + (๐‘— ยท ๐‘)))
3433oveq1d 5890 . . . . . . . . . . . 12 (๐ผ = 0 โ†’ ((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = ((0 + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ))
3534eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . 11 (๐ผ = 0 โ†’ (((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0 โ†” ((0 + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
3635adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((๐ผ = 0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0 โ†” ((0 + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
3736rexbidv 2478 . . . . . . . . 9 ((๐ผ = 0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ (โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0 โ†” โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((0 + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
3832, 37mpbird 167 . . . . . . . 8 ((๐ผ = 0 โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
3938ex 115 . . . . . . 7 (๐ผ = 0 โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
407, 39syl 14 . . . . . 6 (๐ผ โˆˆ {0} โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
41 simpl 109 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
4241adantl 277 . . . . . . . 8 ((๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
43 simprr 531 . . . . . . . 8 ((๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))
44 simpl 109 . . . . . . . 8 ((๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))
45 modprm0 12254 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
4642, 43, 44, 45syl3anc 1238 . . . . . . 7 ((๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ))) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
4746ex 115 . . . . . 6 (๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
4840, 47jaoi 716 . . . . 5 ((๐ผ โˆˆ {0} โˆจ ๐ผ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
496, 48sylbi 121 . . . 4 (๐ผ โˆˆ ({0} โˆช (1..^๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
5049com12 30 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (๐ผ โˆˆ ({0} โˆช (1..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
515, 50sylbid 150 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ)) โ†’ (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘ƒ) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0))
52513impia 1200 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ (1..^๐‘ƒ) โˆง ๐ผ โˆˆ (0..^๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘ƒ)((๐ผ + (๐‘— ยท ๐‘)) mod ๐‘ƒ) = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   โˆช cun 3128  {csn 3593   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   ยท cmul 7816   < clt 7992  โ„•cn 8919  โ„คcz 9253  โ„šcq 9619  ..^cfzo 10142   mod cmo 10322  โ„™cprime 12107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-2o 6418  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-sup 6983  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-proddc 11559  df-dvds 11795  df-gcd 11944  df-prm 12108  df-phi 12211
This theorem is referenced by:  modprmn0modprm0  12256
  Copyright terms: Public domain W3C validator