Theorem znegclb 9659

Description: A number is an integer iff its negative is. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
znegclb	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ -𝐴 ∈ ℤ))

Proof of Theorem znegclb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 9657	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 9657	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℤ → --𝐴 ∈ ℤ)
3		negneg 8569	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
4	3	eleq1d 2307	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (--𝐴 ∈ ℤ ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
5	2, 4	imbitrid 154	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ))
6	1, 5	impbid2 143	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ -𝐴 ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209  ℂcc 8170  -cneg 8491  ℤcz 9626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-inn 9287  df-z 9627

This theorem is referenced by:  peano2zm  9664  infssuzex  10647  infssuzcldc  10649  negqmod0  10749