ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  negf1o GIF version

Theorem negf1o 8368
Description: Negation is an isomorphism of a subset of the real numbers to the negated elements of the subset. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
negf1o.1 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ -𝑥)
Assertion
Ref Expression
negf1o (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐹:𝐴1-1-onto→{𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
Distinct variable group:   𝐴,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem negf1o
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negf1o.1 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ -𝑥)
2 ssel 3164 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℝ))
3 renegcl 8247 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
42, 3syl6 33 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴 → -𝑥 ∈ ℝ))
54imp 124 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → -𝑥 ∈ ℝ)
62imp 124 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
7 recn 7973 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
8 negneg 8236 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → --𝑥 = 𝑥)
98eqcomd 2195 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 = --𝑥)
107, 9syl 14 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 = --𝑥)
1110eleq1d 2258 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
1211biimpcd 159 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥𝐴))
1312adantl 277 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥𝐴))
146, 13mpd 13 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → --𝑥𝐴)
15 negeq 8179 . . . . . 6 (𝑛 = -𝑥 → -𝑛 = --𝑥)
1615eleq1d 2258 . . . . 5 (𝑛 = -𝑥 → (-𝑛𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
1716elrab 2908 . . . 4 (-𝑥 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ↔ (-𝑥 ∈ ℝ ∧ --𝑥𝐴))
185, 14, 17sylanbrc 417 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → -𝑥 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
19 negeq 8179 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑦 → -𝑛 = -𝑦)
2019eleq1d 2258 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑦 → (-𝑛𝐴 ↔ -𝑦𝐴))
2120elrab 2908 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴))
22 simpr 110 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) → -𝑦𝐴)
2322a1i 9 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) → -𝑦𝐴))
2421, 23biimtrid 152 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} → -𝑦𝐴))
2524imp 124 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴}) → -𝑦𝐴)
262, 7syl6com 35 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ))
2726adantl 277 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ))
2827imp 124 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
29 recn 7973 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
3029ad3antrrr 492 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
31 negcon2 8239 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
3228, 30, 31syl2anc 411 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
3332exp31 364 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) → (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))))
3421, 33sylbi 121 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} → (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))))
3534impcom 125 . . . 4 ((𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴}) → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥)))
3635impcom 125 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
371, 18, 25, 36f1ocnv2d 6097 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐹:𝐴1-1-onto→{𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ↦ -𝑦)))
3837simpld 112 1 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐹:𝐴1-1-onto→{𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2160  {crab 2472  wss 3144  cmpt 4079  ccnv 4643  1-1-ontowf1o 5234  cc 7838  cr 7839  -cneg 8158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-setind 4554  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-cnre 7951
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-sub 8159  df-neg 8160
This theorem is referenced by:  negfi  11267
  Copyright terms: Public domain W3C validator