Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  negf1o GIF version

Theorem negf1o 8156
 Description: Negation is an isomorphism of a subset of the real numbers to the negated elements of the subset. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
negf1o.1 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ -𝑥)
Assertion
Ref Expression
negf1o (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐹:𝐴1-1-onto→{𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
Distinct variable group:   𝐴,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem negf1o
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negf1o.1 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ -𝑥)
2 ssel 3091 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℝ))
3 renegcl 8035 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
42, 3syl6 33 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴 → -𝑥 ∈ ℝ))
54imp 123 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → -𝑥 ∈ ℝ)
62imp 123 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
7 recn 7765 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
8 negneg 8024 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → --𝑥 = 𝑥)
98eqcomd 2145 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 = --𝑥)
107, 9syl 14 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 = --𝑥)
1110eleq1d 2208 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
1211biimpcd 158 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥𝐴))
1312adantl 275 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥𝐴))
146, 13mpd 13 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → --𝑥𝐴)
15 negeq 7967 . . . . . 6 (𝑛 = -𝑥 → -𝑛 = --𝑥)
1615eleq1d 2208 . . . . 5 (𝑛 = -𝑥 → (-𝑛𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
1716elrab 2840 . . . 4 (-𝑥 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ↔ (-𝑥 ∈ ℝ ∧ --𝑥𝐴))
185, 14, 17sylanbrc 413 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → -𝑥 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
19 negeq 7967 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑦 → -𝑛 = -𝑦)
2019eleq1d 2208 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑦 → (-𝑛𝐴 ↔ -𝑦𝐴))
2120elrab 2840 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴))
22 simpr 109 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) → -𝑦𝐴)
2322a1i 9 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) → -𝑦𝐴))
2421, 23syl5bi 151 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} → -𝑦𝐴))
2524imp 123 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴}) → -𝑦𝐴)
262, 7syl6com 35 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ))
2726adantl 275 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ))
2827imp 123 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
29 recn 7765 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
3029ad3antrrr 483 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
31 negcon2 8027 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
3228, 30, 31syl2anc 408 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
3332exp31 361 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦𝐴) → (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))))
3421, 33sylbi 120 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} → (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))))
3534impcom 124 . . . 4 ((𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴}) → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥)))
3635impcom 124 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
371, 18, 25, 36f1ocnv2d 5974 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐹:𝐴1-1-onto→{𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴} ↦ -𝑦)))
3837simpld 111 1 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐹:𝐴1-1-onto→{𝑛 ∈ ℝ ∣ -𝑛𝐴})
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {crab 2420   ⊆ wss 3071   ↦ cmpt 3989  ◡ccnv 4538  –1-1-onto→wf1o 5122  ℂcc 7630  ℝcr 7631  -cneg 7946 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7947  df-neg 7948 This theorem is referenced by:  negfi  11011
 Copyright terms: Public domain W3C validator