Theorem num0h 9788

Description: Add a zero in the higher places. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numnncl.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
numnncl.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
num0h	⊢ 𝐴 = ((𝑇 · 0) + 𝐴)

Proof of Theorem num0h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numnncl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
2	1	nn0cni 9575	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
3	2	mul01i 8718	. . 3 ⊢ (𝑇 · 0) = 0
4	3	oveq1i 6095	. 2 ⊢ ((𝑇 · 0) + 𝐴) = (0 + 𝐴)
5		numnncl.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 9575	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
7	6	addlidi 8469	. 2 ⊢ (0 + 𝐴) = 𝐴
8	4, 7	eqtr2i 2260	1 ⊢ 𝐴 = ((𝑇 · 0) + 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  0cc0 8179   + caddc 8182   · cmul 8184  ℕ₀cn0 9563

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8499  df-inn 9305  df-n0 9564

This theorem is used by:  dec0h  9798  numlti  9813  nummul1c  9825