Theorem num0h 8942

Description: Add a zero in the higher places. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numnncl.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
numnncl.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
num0h	⊢ 𝐴 = ((𝑇 · 0) + 𝐴)

Proof of Theorem num0h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numnncl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
2	1	nn0cni 8739	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
3	2	mul01i 7923	. . 3 ⊢ (𝑇 · 0) = 0
4	3	oveq1i 5676	. 2 ⊢ ((𝑇 · 0) + 𝐴) = (0 + 𝐴)
5		numnncl.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 8739	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
7	6	addid2i 7679	. 2 ⊢ (0 + 𝐴) = 𝐴
8	4, 7	eqtr2i 2110	1 ⊢ 𝐴 = ((𝑇 · 0) + 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  (class class class)co 5666  0cc0 7404   + caddc 7407   · cmul 7409  ℕ₀cn0 8727

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-cnre 7510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-sub 7709  df-inn 8477  df-n0 8728

This theorem is referenced by:  dec0h  8952  numlti  8967  nummul1c  8979