ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  num0h GIF version

Theorem num0h 9366
Description: Add a zero in the higher places. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numnncl.1 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
numnncl.2 ๐ด โˆˆ โ„•0
Assertion
Ref Expression
num0h ๐ด = ((๐‘‡ ยท 0) + ๐ด)

Proof of Theorem num0h
StepHypRef Expression
1 numnncl.1 . . . . 5 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
21nn0cni 9159 . . . 4 ๐‘‡ โˆˆ โ„‚
32mul01i 8322 . . 3 (๐‘‡ ยท 0) = 0
43oveq1i 5875 . 2 ((๐‘‡ ยท 0) + ๐ด) = (0 + ๐ด)
5 numnncl.2 . . . 4 ๐ด โˆˆ โ„•0
65nn0cni 9159 . . 3 ๐ด โˆˆ โ„‚
76addid2i 8074 . 2 (0 + ๐ด) = ๐ด
84, 7eqtr2i 2197 1 ๐ด = ((๐‘‡ ยท 0) + ๐ด)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2146  (class class class)co 5865  0cc0 7786   + caddc 7789   ยท cmul 7791  โ„•0cn0 9147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-sub 8104  df-inn 8891  df-n0 9148
This theorem is referenced by:  dec0h  9376  numlti  9391  nummul1c  9403
  Copyright terms: Public domain W3C validator