Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  numma2c GIF version

Theorem numma2c 8983
 Description: Perform a multiply-add of two decimal integers 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numma2c.8 𝑃 ∈ ℕ0
numma2c.9 𝐹 ∈ ℕ0
numma2c.10 𝐺 ∈ ℕ0
numma2c.11 ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
numma2c.12 ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
Assertion
Ref Expression
numma2c ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem numma2c
StepHypRef Expression
1 numma2c.8 . . . . 5 𝑃 ∈ ℕ0
21nn0cni 8746 . . . 4 𝑃 ∈ ℂ
3 numma.6 . . . . . 6 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
4 numma.1 . . . . . . 7 𝑇 ∈ ℕ0
5 numma.2 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℕ0
6 numma.3 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ0
74, 5, 6numcl 8950 . . . . . 6 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
83, 7eqeltri 2161 . . . . 5 𝑀 ∈ ℕ0
98nn0cni 8746 . . . 4 𝑀 ∈ ℂ
102, 9mulcomi 7555 . . 3 (𝑃 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑃)
1110oveq1i 5676 . 2 ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁)
12 numma.4 . . 3 𝐶 ∈ ℕ0
13 numma.5 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
14 numma.7 . . 3 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
15 numma2c.9 . . 3 𝐹 ∈ ℕ0
16 numma2c.10 . . 3 𝐺 ∈ ℕ0
175nn0cni 8746 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
1817, 2mulcomi 7555 . . . . 5 (𝐴 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐴)
1918oveq1i 5676 . . . 4 ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺))
20 numma2c.11 . . . 4 ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
2119, 20eqtri 2109 . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
226nn0cni 8746 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
2322, 2mulcomi 7555 . . . . 5 (𝐵 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐵)
2423oveq1i 5676 . . . 4 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷)
25 numma2c.12 . . . 4 ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
2624, 25eqtri 2109 . . 3 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
274, 5, 6, 12, 13, 3, 14, 1, 15, 16, 21, 26nummac 8982 . 2 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
2811, 27eqtri 2109 1 ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  (class class class)co 5666   + caddc 7414   · cmul 7416  ℕ0cn0 8734 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-sub 7716  df-inn 8484  df-n0 8735 This theorem is referenced by:  decma2c  8990
 Copyright terms: Public domain W3C validator