ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  numma2c GIF version

Theorem numma2c 9459
Description: Perform a multiply-add of two decimal integers 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numma2c.8 𝑃 ∈ ℕ0
numma2c.9 𝐹 ∈ ℕ0
numma2c.10 𝐺 ∈ ℕ0
numma2c.11 ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
numma2c.12 ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
Assertion
Ref Expression
numma2c ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem numma2c
StepHypRef Expression
1 numma2c.8 . . . . 5 𝑃 ∈ ℕ0
21nn0cni 9218 . . . 4 𝑃 ∈ ℂ
3 numma.6 . . . . . 6 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
4 numma.1 . . . . . . 7 𝑇 ∈ ℕ0
5 numma.2 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℕ0
6 numma.3 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ0
74, 5, 6numcl 9426 . . . . . 6 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
83, 7eqeltri 2262 . . . . 5 𝑀 ∈ ℕ0
98nn0cni 9218 . . . 4 𝑀 ∈ ℂ
102, 9mulcomi 7993 . . 3 (𝑃 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑃)
1110oveq1i 5906 . 2 ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁)
12 numma.4 . . 3 𝐶 ∈ ℕ0
13 numma.5 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
14 numma.7 . . 3 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
15 numma2c.9 . . 3 𝐹 ∈ ℕ0
16 numma2c.10 . . 3 𝐺 ∈ ℕ0
175nn0cni 9218 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
1817, 2mulcomi 7993 . . . . 5 (𝐴 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐴)
1918oveq1i 5906 . . . 4 ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺))
20 numma2c.11 . . . 4 ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
2119, 20eqtri 2210 . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
226nn0cni 9218 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
2322, 2mulcomi 7993 . . . . 5 (𝐵 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐵)
2423oveq1i 5906 . . . 4 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷)
25 numma2c.12 . . . 4 ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
2624, 25eqtri 2210 . . 3 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
274, 5, 6, 12, 13, 3, 14, 1, 15, 16, 21, 26nummac 9458 . 2 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
2811, 27eqtri 2210 1 ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1364  wcel 2160  (class class class)co 5896   + caddc 7844   · cmul 7846  0cn0 9206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-cnre 7952
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-sub 8160  df-inn 8950  df-n0 9207
This theorem is referenced by:  decma2c  9466
  Copyright terms: Public domain W3C validator