Theorem numma2c 9251

Description: Perform a multiply-add of two decimal integers 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numma.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6	⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numma2c.8	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
numma2c.9	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
numma2c.10	⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
numma2c.11	⊢ ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
numma2c.12	⊢ ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
numma2c	⊢ ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem numma2c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numma2c.8	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
2	1	nn0cni 9013	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ ℂ
3		numma.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
4		numma.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
5		numma.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		numma.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 9218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	3, 7	eqeltri 2213	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
9	8	nn0cni 9013	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
10	2, 9	mulcomi 7796	. . 3 ⊢ (𝑃 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑃)
11	10	oveq1i 5792	. 2 ⊢ ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁)
12		numma.4	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
13		numma.5	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
14		numma.7	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
15		numma2c.9	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
16		numma2c.10	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
17	5	nn0cni 9013	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
18	17, 2	mulcomi 7796	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐴)
19	18	oveq1i 5792	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺))
20		numma2c.11	. . . 4 ⊢ ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
21	19, 20	eqtri 2161	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
22	6	nn0cni 9013	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
23	22, 2	mulcomi 7796	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐵)
24	23	oveq1i 5792	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷)
25		numma2c.12	. . . 4 ⊢ ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
26	24, 25	eqtri 2161	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
27	4, 5, 6, 12, 13, 3, 14, 1, 15, 16, 21, 26	nummac 9250	. 2 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
28	11, 27	eqtri 2161	1 ⊢ ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  (class class class)co 5782   + caddc 7647   · cmul 7649  ℕ₀cn0 9001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-sub 7959  df-inn 8745  df-n0 9002

This theorem is referenced by:  decma2c  9258