Theorem fiprsshashgt1 10800

Description: The size of a superset of a proper unordered pair is greater than 1. (Contributed by AV, 6-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fiprsshashgt1	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ Fin) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → 2 ≤ (♯‘𝐶)))

Proof of Theorem fiprsshashgt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1002	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		simpl1 1000	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		simpl2 1001	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ 𝑊)
4		hashprg 10791	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ Fin) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
6	1, 5	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ Fin) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
7	6	adantr 276	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ Fin) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
8		simplr 528	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ Fin) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → 𝐶 ∈ Fin)
9		prfidisj 6929	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
10	9	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ Fin) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
11		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ Fin) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
12		fihashss 10799	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ (♯‘𝐶))
13	8, 10, 11, 12	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ Fin) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ (♯‘𝐶))
14	7, 13	eqbrtrrd 4029	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ Fin) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → 2 ≤ (♯‘𝐶))
15	14	ex 115	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ Fin) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → 2 ≤ (♯‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347   ⊆ wss 3131  {cpr 3595   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  Fincfn 6743   ≤ cle 7996  2c2 8973  ♯chash 10758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-frec 6395  df-1o 6420  df-oadd 6424  df-er 6538  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-2 8981  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-fz 10012  df-ihash 10759

This theorem is referenced by: (None)