ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fiprsshashgt1 GIF version

Theorem fiprsshashgt1 10058
Description: The size of a superset of a proper unordered pair is greater than 1. (Contributed by AV, 6-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
fiprsshashgt1 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝐶 ∈ Fin) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → 2 ≤ (♯‘𝐶)))

Proof of Theorem fiprsshashgt1
StepHypRef Expression
1 simpl3 944 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝐶 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
2 simpl1 942 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝐶 ∈ Fin) → 𝐴𝑉)
3 simpl2 943 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝐶 ∈ Fin) → 𝐵𝑊)
4 hashprg 10049 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
52, 3, 4syl2anc 403 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝐶 ∈ Fin) → (𝐴𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
61, 5mpbid 145 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝐶 ∈ Fin) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
76adantr 270 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝐶 ∈ Fin) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
8 simplr 497 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝐶 ∈ Fin) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → 𝐶 ∈ Fin)
9 prfidisj 6562 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
109ad2antrr 472 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝐶 ∈ Fin) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
11 simpr 108 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝐶 ∈ Fin) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
12 fihashss 10057 . . . 4 ((𝐶 ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ (♯‘𝐶))
138, 10, 11, 12syl3anc 1170 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝐶 ∈ Fin) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ (♯‘𝐶))
147, 13eqbrtrrd 3833 . 2 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝐶 ∈ Fin) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → 2 ≤ (♯‘𝐶))
1514ex 113 1 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝐶 ∈ Fin) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → 2 ≤ (♯‘𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2249  wss 2984  {cpr 3423   class class class wbr 3811  cfv 4967  Fincfn 6385  cle 7424  2c2 8364  chash 10016
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1cn 7339  ax-1re 7340  ax-icn 7341  ax-addcl 7342  ax-addrcl 7343  ax-mulcl 7344  ax-addcom 7346  ax-addass 7348  ax-distr 7350  ax-i2m1 7351  ax-0lt1 7352  ax-0id 7354  ax-rnegex 7355  ax-cnre 7357  ax-pre-ltirr 7358  ax-pre-ltwlin 7359  ax-pre-lttrn 7360  ax-pre-apti 7361  ax-pre-ltadd 7362
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-iord 4156  df-on 4158  df-ilim 4159  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-riota 5545  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-1st 5844  df-2nd 5845  df-recs 6000  df-irdg 6065  df-frec 6086  df-1o 6111  df-oadd 6115  df-er 6220  df-en 6386  df-dom 6387  df-fin 6388  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-le 7429  df-sub 7556  df-neg 7557  df-inn 8315  df-2 8373  df-n0 8564  df-z 8645  df-uz 8913  df-fz 9318  df-ihash 10017
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator