Theorem rereim 8922

Description: Decomposition of a real number into real part (itself) and imaginary part (zero). (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rereim	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (𝐵 = 𝐴 ∧ 𝐶 = 0))

Proof of Theorem rereim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 531	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 8360	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		simplr 533	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	recnd 8360	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		simprr 537	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))
6	5	eqcomd 2244	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (𝐵 + (i · 𝐶)) = 𝐴)
7		ax-icn 8280	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
8	7	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → i ∈ ℂ)
9		simprl 535	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9	recnd 8360	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐶 ∈ ℂ)
11	8, 10	mulcld 8352	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (i · 𝐶) ∈ ℂ)
12	2, 4, 11	subaddd 8662	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → ((𝐴 − 𝐵) = (i · 𝐶) ↔ (𝐵 + (i · 𝐶)) = 𝐴))
13	6, 12	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (𝐴 − 𝐵) = (i · 𝐶))
14	1, 3	resubcld 8715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
15	13, 14	eqeltrrd 2316	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (i · 𝐶) ∈ ℝ)
16		rimul 8921	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐶) ∈ ℝ) → 𝐶 = 0)
17	9, 15, 16	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐶 = 0)
18	17	oveq2d 6104	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (i · 𝐶) = (i · 0))
19	7	mul01i 8725	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
20	18, 19	eqtrdi 2287	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (i · 𝐶) = 0)
21	13, 20	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (𝐴 − 𝐵) = 0)
22	2, 4, 21	subeq0d 8652	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐴 = 𝐵)
23	22	eqcomd 2244	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐵 = 𝐴)
24	23, 17	jca 306	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (𝐵 = 𝐴 ∧ 𝐶 = 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  ℂcc 8183  ℝcr 8184  0cc0 8185  ici 8187   + caddc 8188   · cmul 8190   − cmin 8504

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911

This theorem is used by:  apreap  8923