Theorem rereim 8505

Description: Decomposition of a real number into real part (itself) and imaginary part (zero). (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rereim	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (𝐵 = 𝐴 ∧ 𝐶 = 0))

Proof of Theorem rereim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 524	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 7948	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		simplr 525	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	recnd 7948	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		simprr 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))
6	5	eqcomd 2176	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (𝐵 + (i · 𝐶)) = 𝐴)
7		ax-icn 7869	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
8	7	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → i ∈ ℂ)
9		simprl 526	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9	recnd 7948	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐶 ∈ ℂ)
11	8, 10	mulcld 7940	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (i · 𝐶) ∈ ℂ)
12	2, 4, 11	subaddd 8248	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → ((𝐴 − 𝐵) = (i · 𝐶) ↔ (𝐵 + (i · 𝐶)) = 𝐴))
13	6, 12	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (𝐴 − 𝐵) = (i · 𝐶))
14	1, 3	resubcld 8300	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
15	13, 14	eqeltrrd 2248	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (i · 𝐶) ∈ ℝ)
16		rimul 8504	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐶) ∈ ℝ) → 𝐶 = 0)
17	9, 15, 16	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐶 = 0)
18	17	oveq2d 5869	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (i · 𝐶) = (i · 0))
19	7	mul01i 8310	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
20	18, 19	eqtrdi 2219	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (i · 𝐶) = 0)
21	13, 20	eqtrd 2203	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (𝐴 − 𝐵) = 0)
22	2, 4, 21	subeq0d 8238	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐴 = 𝐵)
23	22	eqcomd 2176	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → 𝐵 = 𝐴)
24	23, 17	jca 304	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝐵 + (i · 𝐶)))) → (𝐵 = 𝐴 ∧ 𝐶 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  0cc0 7774  ici 7776   + caddc 7777   · cmul 7779   − cmin 8090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-ltxr 7959  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494

This theorem is referenced by:  apreap  8506