Theorem mgpbasg 14154

Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpbasg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝑀))

Proof of Theorem mgpbasg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		mulrslid 13429	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	slotex 13323	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
4		baseslid 13354	. . . . 5 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
5		basendxnplusgndx 13422	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
6		plusgslid 13409	. . . . . 6 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
7	6	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
8	4, 5, 7	setsslnid 13348	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (.r‘𝑅) ∈ V) → (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)))
9	3, 8	mpdan 421	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)))
10		mgpbas.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
11		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	10, 11	mgpvalg 14151	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
13	12	fveq2d 5679	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑀) = (Base‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)))
14	9, 13	eqtr4d 2270	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀))
15	1, 14	eqtrid 2279	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815  ⟨cop 3697  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℕcn 9254  ndxcnx 13293   sSet csts 13294  Slot cslot 13295  Basecbs 13296  +_gcplusg 13374  ._rcmulr 13375  mulGrpcmgp 14148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-mgp 14149

This theorem is referenced by:  mgptopng  14157  mgpress  14159  rngass  14167  rngcl  14172  isrngd  14181  rngpropd  14183  dfur2g  14190  srgcl  14198  srgass  14199  srgideu  14200  srgidcl  14204  srgidmlem  14206  issrgid  14209  srg1zr  14215  srgpcomp  14218  srgpcompp  14219  srgpcomppsc  14220  ringcl  14241  crngcom  14242  iscrng2  14243  ringass  14244  ringideu  14245  ringidcl  14248  ringidmlem  14250  isringid  14253  ringidss  14257  ringpropd  14266  crngpropd  14267  isringd  14269  iscrngd  14270  ring1  14287  oppr1g  14311  unitgrpbasd  14345  unitsubm  14349  rngidpropdg  14376  dfrhm2  14384  rhmmul  14394  isrhm2d  14395  rhmf1o  14398  subrgsubm  14465  issubrg3  14478  rhmpropd  14485  rnglidlmmgm  14756  rnglidlmsgrp  14757  cnfldexp  14837  expghmap  14867  lgseisenlem3  16057  lgseisenlem4  16058