Theorem mgpbasg 14169

Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpbasg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝑀))

Proof of Theorem mgpbasg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		mulrslid 13433	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	slotex 13327	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
4		baseslid 13358	. . . . 5 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
5		basendxnplusgndx 13426	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
6		plusgslid 13413	. . . . . 6 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
7	6	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
8	4, 5, 7	setsslnid 13352	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (.r‘𝑅) ∈ V) → (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)))
9	3, 8	mpdan 421	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)))
10		mgpbas.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
11		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	10, 11	mgpvalg 14166	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
13	12	fveq2d 5679	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑀) = (Base‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)))
14	9, 13	eqtr4d 2270	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀))
15	1, 14	eqtrid 2279	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815  ⟨cop 3697  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℕcn 9257  ndxcnx 13297   sSet csts 13298  Slot cslot 13299  Basecbs 13300  +_gcplusg 13378  ._rcmulr 13379  mulGrpcmgp 14163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-ndx 13303  df-slot 13304  df-base 13306  df-sets 13307  df-plusg 13391  df-mulr 13392  df-mgp 14164

This theorem is referenced by:  mgptopng  14172  mgpress  14174  rngass  14182  rngcl  14187  isrngd  14196  rngpropd  14198  rng1zrlem  14202  dfur2g  14209  srgcl  14217  srgass  14218  srgideu  14219  srgidcl  14223  srgidmlem  14225  issrgid  14228  srgpcomp  14237  srgpcompp  14238  srgpcomppsc  14239  ringcl  14260  crngcom  14261  iscrng2  14262  ringass  14263  ringideu  14264  ringidcl  14267  ringidmlem  14269  isringid  14272  ringidss  14276  ringpropd  14285  crngpropd  14286  isringd  14288  iscrngd  14289  ring1  14306  oppr1g  14330  unitgrpbasd  14364  unitsubm  14368  rngidpropdg  14395  dfrhm2  14403  rhmmul  14413  isrhm2d  14414  rhmf1o  14417  subrgsubm  14484  issubrg3  14497  rhmpropd  14504  rnglidlmmgm  14774  rnglidlmsgrp  14775  cnfldexp  14855  expghmap  14885  lgseisenlem3  16075  lgseisenlem4  16076