Theorem mgpbasg 13942

Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpbasg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝑀))

Proof of Theorem mgpbasg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		mulrslid 13217	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	slotex 13111	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
4		baseslid 13142	. . . . 5 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
5		basendxnplusgndx 13210	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
6		plusgslid 13197	. . . . . 6 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
7	6	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
8	4, 5, 7	setsslnid 13136	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (.r‘𝑅) ∈ V) → (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)))
9	3, 8	mpdan 421	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)))
10		mgpbas.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
11		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	10, 11	mgpvalg 13939	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
13	12	fveq2d 5643	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑀) = (Base‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)))
14	9, 13	eqtr4d 2267	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀))
15	1, 14	eqtrid 2276	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802  ⟨cop 3672  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℕcn 9143  ndxcnx 13081   sSet csts 13082  Slot cslot 13083  Basecbs 13084  +_gcplusg 13162  ._rcmulr 13163  mulGrpcmgp 13936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-sets 13091  df-plusg 13175  df-mulr 13176  df-mgp 13937

This theorem is referenced by:  mgptopng  13945  mgpress  13947  rngass  13955  rngcl  13960  isrngd  13969  rngpropd  13971  dfur2g  13978  srgcl  13986  srgass  13987  srgideu  13988  srgidcl  13992  srgidmlem  13994  issrgid  13997  srg1zr  14003  srgpcomp  14006  srgpcompp  14007  srgpcomppsc  14008  ringcl  14029  crngcom  14030  iscrng2  14031  ringass  14032  ringideu  14033  ringidcl  14036  ringidmlem  14038  isringid  14041  ringidss  14045  ringpropd  14054  crngpropd  14055  isringd  14057  iscrngd  14058  ring1  14075  oppr1g  14098  unitgrpbasd  14132  unitsubm  14136  rngidpropdg  14163  dfrhm2  14171  rhmmul  14181  isrhm2d  14182  rhmf1o  14185  subrgsubm  14251  issubrg3  14264  rhmpropd  14271  rnglidlmmgm  14513  rnglidlmsgrp  14514  cnfldexp  14594  expghmap  14624  lgseisenlem3  15804  lgseisenlem4  15805