Theorem mgpbasg 13738

Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpbasg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝑀))

Proof of Theorem mgpbasg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		mulrslid 13014	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	slotex 12909	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
4		baseslid 12939	. . . . 5 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
5		basendxnplusgndx 13007	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
6		plusgslid 12994	. . . . . 6 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
7	6	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
8	4, 5, 7	setsslnid 12934	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (.r‘𝑅) ∈ V) → (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)))
9	3, 8	mpdan 421	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)))
10		mgpbas.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
11		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	10, 11	mgpvalg 13735	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
13	12	fveq2d 5590	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑀) = (Base‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)))
14	9, 13	eqtr4d 2242	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀))
15	1, 14	eqtrid 2251	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773  ⟨cop 3638  ‘cfv 5277  (class class class)co 5954  ℕcn 9049  ndxcnx 12879   sSet csts 12880  Slot cslot 12881  Basecbs 12882  +_gcplusg 12959  ._rcmulr 12960  mulGrpcmgp 13732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-addcom 8038  ax-addass 8040  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltadd 8054

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-fv 5285  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-ltxr 8125  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-ndx 12885  df-slot 12886  df-base 12888  df-sets 12889  df-plusg 12972  df-mulr 12973  df-mgp 13733

This theorem is referenced by:  mgptopng  13741  mgpress  13743  rngass  13751  rngcl  13756  isrngd  13765  rngpropd  13767  dfur2g  13774  srgcl  13782  srgass  13783  srgideu  13784  srgidcl  13788  srgidmlem  13790  issrgid  13793  srg1zr  13799  srgpcomp  13802  srgpcompp  13803  srgpcomppsc  13804  ringcl  13825  crngcom  13826  iscrng2  13827  ringass  13828  ringideu  13829  ringidcl  13832  ringidmlem  13834  isringid  13837  ringidss  13841  ringpropd  13850  crngpropd  13851  isringd  13853  iscrngd  13854  ring1  13871  oppr1g  13894  unitgrpbasd  13927  unitsubm  13931  rngidpropdg  13958  dfrhm2  13966  rhmmul  13976  isrhm2d  13977  rhmf1o  13980  subrgsubm  14046  issubrg3  14059  rhmpropd  14066  rnglidlmmgm  14308  rnglidlmsgrp  14309  cnfldexp  14389  expghmap  14419  lgseisenlem3  15599  lgseisenlem4  15600