Theorem nqex 7566

Description: The class of positive fractions exists. (Contributed by NM, 16-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nqex	⊢ Q ∈ V

Proof of Theorem nqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7551	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		niex 7515	. . . 4 ⊢ N ∈ V
3	2, 2	xpex 4837	. . 3 ⊢ (N × N) ∈ V
4	3	qsex 6752	. 2 ⊢ ((N × N) / ~Q ) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2302	1 ⊢ Q ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   × cxp 4718   / cqs 6692  Ncnpi 7475   ~_Q ceq 7482  Qcnq 7483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-iinf 4681

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-qs 6699  df-ni 7507  df-nqqs 7551

This theorem is referenced by:  npex  7676  elinp  7677  genipv  7712  genpelxp  7714  genpelvl  7715  genpelvu  7716  genipdm  7719  ltnqex  7752  gtnqex  7753  ltexprlemell  7801  ltexprlemelu  7802  ltexprlempr  7811  recexprlemell  7825  recexprlemelu  7826  recexprlempr  7835  cauappcvgprlemm  7848  cauappcvgprlemopl  7849  cauappcvgprlemlol  7850  cauappcvgprlemopu  7851  cauappcvgprlemupu  7852  cauappcvgprlemdisj  7854  cauappcvgprlemloc  7855  cauappcvgprlemcl  7856  cauappcvgprlemladdfu  7857  cauappcvgprlemladdfl  7858  cauappcvgprlemladdru  7859  cauappcvgprlemladdrl  7860  cauappcvgprlemladd  7861  cauappcvgprlem1  7862  cauappcvgprlem2  7863  caucvgprlemm  7871  caucvgprlemopl  7872  caucvgprlemlol  7873  caucvgprlemopu  7874  caucvgprlemupu  7875  caucvgprlemdisj  7877  caucvgprlemloc  7878  caucvgprlemcl  7879  caucvgprlemladdfu  7880  caucvgprlem2  7883  caucvgprprlemell  7888  caucvgprprlemelu  7889  caucvgprprlemml  7897  caucvgprprlemmu  7898  caucvgprprlemcl  7907  caucvgprprlemexbt  7909  caucvgprprlem2  7913  suplocexprlem2b  7917  suplocexprlemlub  7927