Theorem nqex 7737

Description: The class of positive fractions exists. (Contributed by NM, 16-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nqex	⊢ Q ∈ V

Proof of Theorem nqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7722	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		niex 7686	. . . 4 ⊢ N ∈ V
3	2, 2	xpex 4893	. . 3 ⊢ (N × N) ∈ V
4	3	qsex 6870	. 2 ⊢ ((N × N) / ~Q ) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2311	1 ⊢ Q ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   × cxp 4774   / cqs 6810  Ncnpi 7646   ~_Q ceq 7653  Qcnq 7654

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-qs 6817  df-ni 7678  df-nqqs 7722

This theorem is used by:  npex  7847  elinp  7848  genipv  7883  genpelxp  7885  genpelvl  7886  genpelvu  7887  genipdm  7890  ltnqex  7923  gtnqex  7924  ltexprlemell  7972  ltexprlemelu  7973  ltexprlempr  7982  recexprlemell  7996  recexprlemelu  7997  recexprlempr  8006  cauappcvgprlemm  8019  cauappcvgprlemopl  8020  cauappcvgprlemlol  8021  cauappcvgprlemopu  8022  cauappcvgprlemupu  8023  cauappcvgprlemdisj  8025  cauappcvgprlemloc  8026  cauappcvgprlemcl  8027  cauappcvgprlemladdfu  8028  cauappcvgprlemladdfl  8029  cauappcvgprlemladdru  8030  cauappcvgprlemladdrl  8031  cauappcvgprlemladd  8032  cauappcvgprlem1  8033  cauappcvgprlem2  8034  caucvgprlemm  8042  caucvgprlemopl  8043  caucvgprlemlol  8044  caucvgprlemopu  8045  caucvgprlemupu  8046  caucvgprlemdisj  8048  caucvgprlemloc  8049  caucvgprlemcl  8050  caucvgprlemladdfu  8051  caucvgprlem2  8054  caucvgprprlemell  8059  caucvgprprlemelu  8060  caucvgprprlemml  8068  caucvgprprlemmu  8069  caucvgprprlemcl  8078  caucvgprprlemexbt  8080  caucvgprprlem2  8084  suplocexprlem2b  8088  suplocexprlemlub  8098