Theorem nqex 7447

Description: The class of positive fractions exists. (Contributed by NM, 16-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nqex	⊢ Q ∈ V

Proof of Theorem nqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7432	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		niex 7396	. . . 4 ⊢ N ∈ V
3	2, 2	xpex 4779	. . 3 ⊢ (N × N) ∈ V
4	3	qsex 6660	. 2 ⊢ ((N × N) / ~Q ) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2269	1 ⊢ Q ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   × cxp 4662   / cqs 6600  Ncnpi 7356   ~_Q ceq 7363  Qcnq 7364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-qs 6607  df-ni 7388  df-nqqs 7432

This theorem is referenced by:  npex  7557  elinp  7558  genipv  7593  genpelxp  7595  genpelvl  7596  genpelvu  7597  genipdm  7600  ltnqex  7633  gtnqex  7634  ltexprlemell  7682  ltexprlemelu  7683  ltexprlempr  7692  recexprlemell  7706  recexprlemelu  7707  recexprlempr  7716  cauappcvgprlemm  7729  cauappcvgprlemopl  7730  cauappcvgprlemlol  7731  cauappcvgprlemopu  7732  cauappcvgprlemupu  7733  cauappcvgprlemdisj  7735  cauappcvgprlemloc  7736  cauappcvgprlemcl  7737  cauappcvgprlemladdfu  7738  cauappcvgprlemladdfl  7739  cauappcvgprlemladdru  7740  cauappcvgprlemladdrl  7741  cauappcvgprlemladd  7742  cauappcvgprlem1  7743  cauappcvgprlem2  7744  caucvgprlemm  7752  caucvgprlemopl  7753  caucvgprlemlol  7754  caucvgprlemopu  7755  caucvgprlemupu  7756  caucvgprlemdisj  7758  caucvgprlemloc  7759  caucvgprlemcl  7760  caucvgprlemladdfu  7761  caucvgprlem2  7764  caucvgprprlemell  7769  caucvgprprlemelu  7770  caucvgprprlemml  7778  caucvgprprlemmu  7779  caucvgprprlemcl  7788  caucvgprprlemexbt  7790  caucvgprprlem2  7794  suplocexprlem2b  7798  suplocexprlemlub  7808