Theorem nqex 7518

Description: The class of positive fractions exists. (Contributed by NM, 16-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nqex	⊢ Q ∈ V

Proof of Theorem nqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7503	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		niex 7467	. . . 4 ⊢ N ∈ V
3	2, 2	xpex 4811	. . 3 ⊢ (N × N) ∈ V
4	3	qsex 6709	. 2 ⊢ ((N × N) / ~Q ) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2282	1 ⊢ Q ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2180  Vcvv 2779   × cxp 4694   / cqs 6649  Ncnpi 7427   ~_Q ceq 7434  Qcnq 7435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-iinf 4657

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-qs 6656  df-ni 7459  df-nqqs 7503

This theorem is referenced by:  npex  7628  elinp  7629  genipv  7664  genpelxp  7666  genpelvl  7667  genpelvu  7668  genipdm  7671  ltnqex  7704  gtnqex  7705  ltexprlemell  7753  ltexprlemelu  7754  ltexprlempr  7763  recexprlemell  7777  recexprlemelu  7778  recexprlempr  7787  cauappcvgprlemm  7800  cauappcvgprlemopl  7801  cauappcvgprlemlol  7802  cauappcvgprlemopu  7803  cauappcvgprlemupu  7804  cauappcvgprlemdisj  7806  cauappcvgprlemloc  7807  cauappcvgprlemcl  7808  cauappcvgprlemladdfu  7809  cauappcvgprlemladdfl  7810  cauappcvgprlemladdru  7811  cauappcvgprlemladdrl  7812  cauappcvgprlemladd  7813  cauappcvgprlem1  7814  cauappcvgprlem2  7815  caucvgprlemm  7823  caucvgprlemopl  7824  caucvgprlemlol  7825  caucvgprlemopu  7826  caucvgprlemupu  7827  caucvgprlemdisj  7829  caucvgprlemloc  7830  caucvgprlemcl  7831  caucvgprlemladdfu  7832  caucvgprlem2  7835  caucvgprprlemell  7840  caucvgprprlemelu  7841  caucvgprprlemml  7849  caucvgprprlemmu  7850  caucvgprprlemcl  7859  caucvgprprlemexbt  7861  caucvgprprlem2  7865  suplocexprlem2b  7869  suplocexprlemlub  7879