Theorem nqex 7588

Description: The class of positive fractions exists. (Contributed by NM, 16-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nqex	⊢ Q ∈ V

Proof of Theorem nqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7573	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		niex 7537	. . . 4 ⊢ N ∈ V
3	2, 2	xpex 4844	. . 3 ⊢ (N × N) ∈ V
4	3	qsex 6766	. 2 ⊢ ((N × N) / ~Q ) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2303	1 ⊢ Q ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2201  Vcvv 2801   × cxp 4725   / cqs 6706  Ncnpi 7497   ~_Q ceq 7504  Qcnq 7505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-iinf 4688

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-qs 6713  df-ni 7529  df-nqqs 7573

This theorem is referenced by:  npex  7698  elinp  7699  genipv  7734  genpelxp  7736  genpelvl  7737  genpelvu  7738  genipdm  7741  ltnqex  7774  gtnqex  7775  ltexprlemell  7823  ltexprlemelu  7824  ltexprlempr  7833  recexprlemell  7847  recexprlemelu  7848  recexprlempr  7857  cauappcvgprlemm  7870  cauappcvgprlemopl  7871  cauappcvgprlemlol  7872  cauappcvgprlemopu  7873  cauappcvgprlemupu  7874  cauappcvgprlemdisj  7876  cauappcvgprlemloc  7877  cauappcvgprlemcl  7878  cauappcvgprlemladdfu  7879  cauappcvgprlemladdfl  7880  cauappcvgprlemladdru  7881  cauappcvgprlemladdrl  7882  cauappcvgprlemladd  7883  cauappcvgprlem1  7884  cauappcvgprlem2  7885  caucvgprlemm  7893  caucvgprlemopl  7894  caucvgprlemlol  7895  caucvgprlemopu  7896  caucvgprlemupu  7897  caucvgprlemdisj  7899  caucvgprlemloc  7900  caucvgprlemcl  7901  caucvgprlemladdfu  7902  caucvgprlem2  7905  caucvgprprlemell  7910  caucvgprprlemelu  7911  caucvgprprlemml  7919  caucvgprprlemmu  7920  caucvgprprlemcl  7929  caucvgprprlemexbt  7931  caucvgprprlem2  7935  suplocexprlem2b  7939  suplocexprlemlub  7949