Theorem nqex 7674

Description: The class of positive fractions exists. (Contributed by NM, 16-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nqex	⊢ Q ∈ V

Proof of Theorem nqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7659	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		niex 7623	. . . 4 ⊢ N ∈ V
3	2, 2	xpex 4865	. . 3 ⊢ (N × N) ∈ V
4	3	qsex 6825	. 2 ⊢ ((N × N) / ~Q ) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2305	1 ⊢ Q ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812   × cxp 4746   / cqs 6765  Ncnpi 7583   ~_Q ceq 7590  Qcnq 7591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-iinf 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-qs 6772  df-ni 7615  df-nqqs 7659

This theorem is referenced by:  npex  7784  elinp  7785  genipv  7820  genpelxp  7822  genpelvl  7823  genpelvu  7824  genipdm  7827  ltnqex  7860  gtnqex  7861  ltexprlemell  7909  ltexprlemelu  7910  ltexprlempr  7919  recexprlemell  7933  recexprlemelu  7934  recexprlempr  7943  cauappcvgprlemm  7956  cauappcvgprlemopl  7957  cauappcvgprlemlol  7958  cauappcvgprlemopu  7959  cauappcvgprlemupu  7960  cauappcvgprlemdisj  7962  cauappcvgprlemloc  7963  cauappcvgprlemcl  7964  cauappcvgprlemladdfu  7965  cauappcvgprlemladdfl  7966  cauappcvgprlemladdru  7967  cauappcvgprlemladdrl  7968  cauappcvgprlemladd  7969  cauappcvgprlem1  7970  cauappcvgprlem2  7971  caucvgprlemm  7979  caucvgprlemopl  7980  caucvgprlemlol  7981  caucvgprlemopu  7982  caucvgprlemupu  7983  caucvgprlemdisj  7985  caucvgprlemloc  7986  caucvgprlemcl  7987  caucvgprlemladdfu  7988  caucvgprlem2  7991  caucvgprprlemell  7996  caucvgprprlemelu  7997  caucvgprprlemml  8005  caucvgprprlemmu  8006  caucvgprprlemcl  8015  caucvgprprlemexbt  8017  caucvgprprlem2  8021  suplocexprlem2b  8025  suplocexprlemlub  8035