Theorem nqex 7724

Description: The class of positive fractions exists. (Contributed by NM, 16-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nqex	⊢ Q ∈ V

Proof of Theorem nqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7709	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		niex 7673	. . . 4 ⊢ N ∈ V
3	2, 2	xpex 4889	. . 3 ⊢ (N × N) ∈ V
4	3	qsex 6860	. 2 ⊢ ((N × N) / ~Q ) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2311	1 ⊢ Q ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   × cxp 4770   / cqs 6800  Ncnpi 7633   ~_Q ceq 7640  Qcnq 7641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-qs 6807  df-ni 7665  df-nqqs 7709

This theorem is referenced by:  npex  7834  elinp  7835  genipv  7870  genpelxp  7872  genpelvl  7873  genpelvu  7874  genipdm  7877  ltnqex  7910  gtnqex  7911  ltexprlemell  7959  ltexprlemelu  7960  ltexprlempr  7969  recexprlemell  7983  recexprlemelu  7984  recexprlempr  7993  cauappcvgprlemm  8006  cauappcvgprlemopl  8007  cauappcvgprlemlol  8008  cauappcvgprlemopu  8009  cauappcvgprlemupu  8010  cauappcvgprlemdisj  8012  cauappcvgprlemloc  8013  cauappcvgprlemcl  8014  cauappcvgprlemladdfu  8015  cauappcvgprlemladdfl  8016  cauappcvgprlemladdru  8017  cauappcvgprlemladdrl  8018  cauappcvgprlemladd  8019  cauappcvgprlem1  8020  cauappcvgprlem2  8021  caucvgprlemm  8029  caucvgprlemopl  8030  caucvgprlemlol  8031  caucvgprlemopu  8032  caucvgprlemupu  8033  caucvgprlemdisj  8035  caucvgprlemloc  8036  caucvgprlemcl  8037  caucvgprlemladdfu  8038  caucvgprlem2  8041  caucvgprprlemell  8046  caucvgprprlemelu  8047  caucvgprprlemml  8055  caucvgprprlemmu  8056  caucvgprprlemcl  8065  caucvgprprlemexbt  8067  caucvgprprlem2  8071  suplocexprlem2b  8075  suplocexprlemlub  8085