Theorem nqex 7019

Description: The class of positive fractions exists. (Contributed by NM, 16-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nqex	⊢ Q ∈ V

Proof of Theorem nqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7004	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		niex 6968	. . . 4 ⊢ N ∈ V
3	2, 2	xpex 4582	. . 3 ⊢ (N × N) ∈ V
4	3	qsex 6389	. 2 ⊢ ((N × N) / ~Q ) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2167	1 ⊢ Q ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 1445  Vcvv 2633   × cxp 4465   / cqs 6331  Ncnpi 6928   ~_Q ceq 6935  Qcnq 6936

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-iinf 4431

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-qs 6338  df-ni 6960  df-nqqs 7004

This theorem is referenced by:  npex  7129  elinp  7130  genipv  7165  genpelxp  7167  genpelvl  7168  genpelvu  7169  genipdm  7172  ltnqex  7205  gtnqex  7206  ltexprlemell  7254  ltexprlemelu  7255  ltexprlempr  7264  recexprlemell  7278  recexprlemelu  7279  recexprlempr  7288  cauappcvgprlemm  7301  cauappcvgprlemopl  7302  cauappcvgprlemlol  7303  cauappcvgprlemopu  7304  cauappcvgprlemupu  7305  cauappcvgprlemdisj  7307  cauappcvgprlemloc  7308  cauappcvgprlemcl  7309  cauappcvgprlemladdfu  7310  cauappcvgprlemladdfl  7311  cauappcvgprlemladdru  7312  cauappcvgprlemladdrl  7313  cauappcvgprlemladd  7314  cauappcvgprlem1  7315  cauappcvgprlem2  7316  caucvgprlemm  7324  caucvgprlemopl  7325  caucvgprlemlol  7326  caucvgprlemopu  7327  caucvgprlemupu  7328  caucvgprlemdisj  7330  caucvgprlemloc  7331  caucvgprlemcl  7332  caucvgprlemladdfu  7333  caucvgprlem2  7336  caucvgprprlemell  7341  caucvgprprlemelu  7342  caucvgprprlemml  7350  caucvgprprlemmu  7351  caucvgprprlemcl  7360  caucvgprprlemexbt  7362  caucvgprprlem2  7366