Theorem nqex 7696

Description: The class of positive fractions exists. (Contributed by NM, 16-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nqex	⊢ Q ∈ V

Proof of Theorem nqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7681	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		niex 7645	. . . 4 ⊢ N ∈ V
3	2, 2	xpex 4873	. . 3 ⊢ (N × N) ∈ V
4	3	qsex 6841	. 2 ⊢ ((N × N) / ~Q ) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2307	1 ⊢ Q ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   × cxp 4754   / cqs 6781  Ncnpi 7605   ~_Q ceq 7612  Qcnq 7613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-iinf 4717

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-iom 4720  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-qs 6788  df-ni 7637  df-nqqs 7681

This theorem is referenced by:  npex  7806  elinp  7807  genipv  7842  genpelxp  7844  genpelvl  7845  genpelvu  7846  genipdm  7849  ltnqex  7882  gtnqex  7883  ltexprlemell  7931  ltexprlemelu  7932  ltexprlempr  7941  recexprlemell  7955  recexprlemelu  7956  recexprlempr  7965  cauappcvgprlemm  7978  cauappcvgprlemopl  7979  cauappcvgprlemlol  7980  cauappcvgprlemopu  7981  cauappcvgprlemupu  7982  cauappcvgprlemdisj  7984  cauappcvgprlemloc  7985  cauappcvgprlemcl  7986  cauappcvgprlemladdfu  7987  cauappcvgprlemladdfl  7988  cauappcvgprlemladdru  7989  cauappcvgprlemladdrl  7990  cauappcvgprlemladd  7991  cauappcvgprlem1  7992  cauappcvgprlem2  7993  caucvgprlemm  8001  caucvgprlemopl  8002  caucvgprlemlol  8003  caucvgprlemopu  8004  caucvgprlemupu  8005  caucvgprlemdisj  8007  caucvgprlemloc  8008  caucvgprlemcl  8009  caucvgprlemladdfu  8010  caucvgprlem2  8013  caucvgprprlemell  8018  caucvgprprlemelu  8019  caucvgprprlemml  8027  caucvgprprlemmu  8028  caucvgprprlemcl  8037  caucvgprprlemexbt  8039  caucvgprprlem2  8043  suplocexprlem2b  8047  suplocexprlemlub  8057