Theorem nqex 7576

Description: The class of positive fractions exists. (Contributed by NM, 16-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nqex	⊢ Q ∈ V

Proof of Theorem nqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7561	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		niex 7525	. . . 4 ⊢ N ∈ V
3	2, 2	xpex 4840	. . 3 ⊢ (N × N) ∈ V
4	3	qsex 6756	. 2 ⊢ ((N × N) / ~Q ) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2302	1 ⊢ Q ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800   × cxp 4721   / cqs 6696  Ncnpi 7485   ~_Q ceq 7492  Qcnq 7493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-qs 6703  df-ni 7517  df-nqqs 7561

This theorem is referenced by:  npex  7686  elinp  7687  genipv  7722  genpelxp  7724  genpelvl  7725  genpelvu  7726  genipdm  7729  ltnqex  7762  gtnqex  7763  ltexprlemell  7811  ltexprlemelu  7812  ltexprlempr  7821  recexprlemell  7835  recexprlemelu  7836  recexprlempr  7845  cauappcvgprlemm  7858  cauappcvgprlemopl  7859  cauappcvgprlemlol  7860  cauappcvgprlemopu  7861  cauappcvgprlemupu  7862  cauappcvgprlemdisj  7864  cauappcvgprlemloc  7865  cauappcvgprlemcl  7866  cauappcvgprlemladdfu  7867  cauappcvgprlemladdfl  7868  cauappcvgprlemladdru  7869  cauappcvgprlemladdrl  7870  cauappcvgprlemladd  7871  cauappcvgprlem1  7872  cauappcvgprlem2  7873  caucvgprlemm  7881  caucvgprlemopl  7882  caucvgprlemlol  7883  caucvgprlemopu  7884  caucvgprlemupu  7885  caucvgprlemdisj  7887  caucvgprlemloc  7888  caucvgprlemcl  7889  caucvgprlemladdfu  7890  caucvgprlem2  7893  caucvgprprlemell  7898  caucvgprprlemelu  7899  caucvgprprlemml  7907  caucvgprprlemmu  7908  caucvgprprlemcl  7917  caucvgprprlemexbt  7919  caucvgprprlem2  7923  suplocexprlem2b  7927  suplocexprlemlub  7937