Theorem nqex 7683

Description: The class of positive fractions exists. (Contributed by NM, 16-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nqex	⊢ Q ∈ V

Proof of Theorem nqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7668	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		niex 7632	. . . 4 ⊢ N ∈ V
3	2, 2	xpex 4868	. . 3 ⊢ (N × N) ∈ V
4	3	qsex 6828	. 2 ⊢ ((N × N) / ~Q ) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2307	1 ⊢ Q ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   × cxp 4749   / cqs 6768  Ncnpi 7592   ~_Q ceq 7599  Qcnq 7600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-qs 6775  df-ni 7624  df-nqqs 7668

This theorem is referenced by:  npex  7793  elinp  7794  genipv  7829  genpelxp  7831  genpelvl  7832  genpelvu  7833  genipdm  7836  ltnqex  7869  gtnqex  7870  ltexprlemell  7918  ltexprlemelu  7919  ltexprlempr  7928  recexprlemell  7942  recexprlemelu  7943  recexprlempr  7952  cauappcvgprlemm  7965  cauappcvgprlemopl  7966  cauappcvgprlemlol  7967  cauappcvgprlemopu  7968  cauappcvgprlemupu  7969  cauappcvgprlemdisj  7971  cauappcvgprlemloc  7972  cauappcvgprlemcl  7973  cauappcvgprlemladdfu  7974  cauappcvgprlemladdfl  7975  cauappcvgprlemladdru  7976  cauappcvgprlemladdrl  7977  cauappcvgprlemladd  7978  cauappcvgprlem1  7979  cauappcvgprlem2  7980  caucvgprlemm  7988  caucvgprlemopl  7989  caucvgprlemlol  7990  caucvgprlemopu  7991  caucvgprlemupu  7992  caucvgprlemdisj  7994  caucvgprlemloc  7995  caucvgprlemcl  7996  caucvgprlemladdfu  7997  caucvgprlem2  8000  caucvgprprlemell  8005  caucvgprprlemelu  8006  caucvgprprlemml  8014  caucvgprprlemmu  8015  caucvgprprlemcl  8024  caucvgprprlemexbt  8026  caucvgprprlem2  8030  suplocexprlem2b  8034  suplocexprlemlub  8044