Theorem 0finon 43438

Description: 0 is a finite ordinal. See peano1 7813. (Contributed by RP, 27-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
0finon	⊢ ∅ ∈ (On ∩ Fin)

Proof of Theorem 0finon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7813	. 2 ⊢ ∅ ∈ ω
2		onfin2 9119	. 2 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
3	1, 2	eleqtri 2826	1 ⊢ ∅ ∈ (On ∩ Fin)

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3898  ∅c0 4280  Oncon0 6301  ωcom 7790  Fincfn 8863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5367  ax-un 7662

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-om 7791  df-1o 8379  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867

This theorem is referenced by: (None)