Theorem onfin2 9230

Description: A set is a natural number iff it is a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
onfin2	⊢ ω = (On ∩ Fin)

Proof of Theorem onfin2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7857	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
2		onfin 9229	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑥 ∈ ω))
3	2	biimprcd 249	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∈ On → 𝑥 ∈ Fin))
4	1, 3	jcai 516	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Fin))
5	2	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ ω)
6	4, 5	impbii 208	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω ↔ (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Fin))
7		elin 3959	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (On ∩ Fin) ↔ (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Fin))
8	6, 7	bitr4i 278	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ω ↔ 𝑥 ∈ (On ∩ Fin))
9	8	eqriv 2723	1 ⊢ ω = (On ∩ Fin)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942  Oncon0 6357  ωcom 7851  Fincfn 8938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7852  df-1o 8464  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942

This theorem is referenced by:  nnfiOLD  9231  cantnfcl  9661  ackbij1lem9  10222  ackbij1lem10  10223  ackbij1b  10233  sdom2en01  10296  fin23lem26  10319  fin56  10387  fin1a2lem9  10402  fzfi  13940  fz1isolem  14426  ackbijnn  15778  hauspwdom  23356  0finon  42756  1finon  42757  2finon  42758  3finon  42759  4finon  42760  finona1cl  42761  finonex  42762  dfom6  42839