Theorem onfin2 8695

Description: A set is a natural number iff it is a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
onfin2	⊢ ω = (On ∩ Fin)

Proof of Theorem onfin2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7566	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
2		onfin 8694	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑥 ∈ ω))
3	2	biimprcd 253	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∈ On → 𝑥 ∈ Fin))
4	1, 3	jcai 520	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Fin))
5	2	biimpa 480	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ ω)
6	4, 5	impbii 212	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω ↔ (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Fin))
7		elin 3897	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (On ∩ Fin) ↔ (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Fin))
8	6, 7	bitr4i 281	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ω ↔ 𝑥 ∈ (On ∩ Fin))
9	8	eqriv 2795	1 ⊢ ω = (On ∩ Fin)

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3880  Oncon0 6159  ωcom 7560  Fincfn 8492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-om 7561  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496

This theorem is referenced by:  nnfi  8696  cantnfcl  9114  ackbij1lem9  9639  ackbij1lem10  9640  ackbij1b  9650  sdom2en01  9713  fin23lem26  9736  fin56  9804  fin1a2lem9  9819  fzfi  13335  fz1isolem  13815  ackbijnn  15175  hauspwdom  22106  dfom6  40239