Theorem onfin2 9202

Description: A set is a natural number iff it is a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
onfin2	⊢ ω = (On ∩ Fin)

Proof of Theorem onfin2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7869	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
2		onfin 9200	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑥 ∈ ω))
3	2	biimprcd 253	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∈ On → 𝑥 ∈ Fin))
4	1, 3	jcai 525	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Fin))
5	2	biimpa 481	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ ω)
6	4, 5	impbii 212	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω ↔ (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Fin))
7		elin 3922	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (On ∩ Fin) ↔ (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Fin))
8	6, 7	bitr4i 281	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ω ↔ 𝑥 ∈ (On ∩ Fin))
9	8	eqriv 2760	1 ⊢ ω = (On ∩ Fin)

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∩ cin 3905  Oncon0 6362  ωcom 7863  Fincfn 8944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-om 7864  df-1o 8454  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948

This theorem is referenced by:  cantnfcl  9637  ackbij1lem9  10211  ackbij1lem10  10212  ackbij1b  10222  sdom2en01  10287  fin23lem26  10310  fin56  10378  fin1a2lem9  10393  fzfi  14010  fz1isolem  14500  ackbijnn  15884  hauspwdom  23639  fineqvomon  35509  0finon  44154  1finon  44155  2finon  44156  3finon  44157  4finon  44158  finona1cl  44159  finonex  44160  dfom6  44237