MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onfin2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onfin2 8686
Description: A set is a natural number iff it is a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
onfin2 ω = (On ∩ Fin)

Proof of Theorem onfin2
StepHypRef Expression
1 nnon 7562 . . . . 5 (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
2 onfin 8685 . . . . . 6 (𝑥 ∈ On → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑥 ∈ ω))
32biimprcd 252 . . . . 5 (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∈ On → 𝑥 ∈ Fin))
41, 3jcai 519 . . . 4 (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Fin))
52biimpa 479 . . . 4 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ ω)
64, 5impbii 211 . . 3 (𝑥 ∈ ω ↔ (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Fin))
7 elin 4145 . . 3 (𝑥 ∈ (On ∩ Fin) ↔ (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Fin))
86, 7bitr4i 280 . 2 (𝑥 ∈ ω ↔ 𝑥 ∈ (On ∩ Fin))
98eqriv 2817 1 ω = (On ∩ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  cin 3911  Oncon0 6165  ωcom 7556  Fincfn 8485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-br 5041  df-opab 5103  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-om 7557  df-er 8265  df-en 8486  df-dom 8487  df-sdom 8488  df-fin 8489
This theorem is referenced by:  nnfi  8687  cantnfcl  9106  ackbij1lem9  9626  ackbij1lem10  9627  ackbij1b  9637  sdom2en01  9700  fin23lem26  9723  fin56  9791  fin1a2lem9  9806  fzfi  13322  fz1isolem  13802  ackbijnn  15161  hauspwdom  22082  dfom6  40020
  Copyright terms: Public domain W3C validator