Theorem onfin2 9227

Description: A set is a natural number iff it is a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
onfin2	⊢ ω = (On ∩ Fin)

Proof of Theorem onfin2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7857	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
2		onfin 9226	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑥 ∈ ω))
3	2	biimprcd 249	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∈ On → 𝑥 ∈ Fin))
4	1, 3	jcai 517	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Fin))
5	2	biimpa 477	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ ω)
6	4, 5	impbii 208	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω ↔ (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Fin))
7		elin 3963	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (On ∩ Fin) ↔ (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Fin))
8	6, 7	bitr4i 277	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ω ↔ 𝑥 ∈ (On ∩ Fin))
9	8	eqriv 2729	1 ⊢ ω = (On ∩ Fin)

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3946  Oncon0 6361  ωcom 7851  Fincfn 8935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7852  df-1o 8462  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939

This theorem is referenced by:  nnfiOLD  9228  cantnfcl  9658  ackbij1lem9  10219  ackbij1lem10  10220  ackbij1b  10230  sdom2en01  10293  fin23lem26  10316  fin56  10384  fin1a2lem9  10399  fzfi  13933  fz1isolem  14418  ackbijnn  15770  hauspwdom  22996  0finon  42184  1finon  42185  2finon  42186  3finon  42187  4finon  42188  finona1cl  42189  finonex  42190  dfom6  42267