Theorem onfin2 9186

Description: A set is a natural number iff it is a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
onfin2	⊢ ω = (On ∩ Fin)

Proof of Theorem onfin2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7851	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
2		onfin 9185	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑥 ∈ ω))
3	2	biimprcd 250	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∈ On → 𝑥 ∈ Fin))
4	1, 3	jcai 516	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Fin))
5	2	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ ω)
6	4, 5	impbii 209	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω ↔ (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Fin))
7		elin 3933	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (On ∩ Fin) ↔ (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Fin))
8	6, 7	bitr4i 278	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ω ↔ 𝑥 ∈ (On ∩ Fin))
9	8	eqriv 2727	1 ⊢ ω = (On ∩ Fin)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3916  Oncon0 6335  ωcom 7845  Fincfn 8921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-om 7846  df-1o 8437  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925

This theorem is referenced by:  cantnfcl  9627  ackbij1lem9  10187  ackbij1lem10  10188  ackbij1b  10198  sdom2en01  10262  fin23lem26  10285  fin56  10353  fin1a2lem9  10368  fzfi  13944  fz1isolem  14433  ackbijnn  15801  hauspwdom  23395  0finon  43444  1finon  43445  2finon  43446  3finon  43447  4finon  43448  finona1cl  43449  finonex  43450  dfom6  43527