MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ghm 18836
Description: The constant zero linear function between two groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
0ghm.z 0 = (0g𝑁)
0ghm.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
0ghm ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))

Proof of Theorem 0ghm
StepHypRef Expression
1 grpmnd 18572 . . 3 (𝑀 ∈ Grp → 𝑀 ∈ Mnd)
2 grpmnd 18572 . . 3 (𝑁 ∈ Grp → 𝑁 ∈ Mnd)
3 0ghm.z . . . 4 0 = (0g𝑁)
4 0ghm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑀)
53, 40mhm 18446 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
61, 2, 5syl2an 596 . 2 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
7 ghmmhmb 18833 . 2 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝑀 GrpHom 𝑁) = (𝑀 MndHom 𝑁))
86, 7eleqtrrd 2842 1 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  {csn 4562   × cxp 5583  cfv 6427  (class class class)co 7268  Basecbs 16900  0gc0g 17138  Mndcmnd 18373   MndHom cmhm 18416  Grpcgrp 18565   GrpHom cghm 18819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5485  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-map 8605  df-0g 17140  df-mgm 18314  df-sgrp 18363  df-mnd 18374  df-mhm 18418  df-grp 18568  df-ghm 18820
This theorem is referenced by:  0frgp  19373  0lmhm  20290  nmo0  23887  0nghm  23893
  Copyright terms: Public domain W3C validator