Theorem 0ghm 19295

Description: The constant zero linear function between two groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ghm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑁)
0ghm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
0ghm	⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))

Proof of Theorem 0ghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 19002	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → 𝑀 ∈ Mnd)
2		grpmnd 19002	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Grp → 𝑁 ∈ Mnd)
3		0ghm.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑁)
4		0ghm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
5	3, 4	0mhm 18873	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
6	1, 2, 5	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
7		ghmmhmb 19292	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝑀 GrpHom 𝑁) = (𝑀 MndHom 𝑁))
8	6, 7	eleqtrrd 2866	1 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {csn 4589   × cxp 5659  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  0_gc0g 17487  Mndcmnd 18787   MndHom cmhm 18834  Grpcgrp 18995   GrpHom cghm 19278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-map 8822  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-grp 18998  df-ghm 19279

This theorem is referenced by:  0frgp  19844  0lmhm  21161  nmo0  24892  0nghm  24898