Theorem 0ghm 19271

Description: The constant zero linear function between two groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ghm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑁)
0ghm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
0ghm	⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))

Proof of Theorem 0ghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18983	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → 𝑀 ∈ Mnd)
2		grpmnd 18983	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Grp → 𝑁 ∈ Mnd)
3		0ghm.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑁)
4		0ghm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
5	3, 4	0mhm 18854	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
6	1, 2, 5	syl2an 605	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
7		ghmmhmb 19268	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝑀 GrpHom 𝑁) = (𝑀 MndHom 𝑁))
8	6, 7	eleqtrrd 2866	1 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  {csn 4583   × cxp 5646  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  Basecbs 17246  0_gc0g 17469  Mndcmnd 18769   MndHom cmhm 18816  Grpcgrp 18976   GrpHom cghm 19254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8811  df-0g 17471  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-mhm 18818  df-grp 18979  df-ghm 19255

This theorem is referenced by:  0frgp  19820  0lmhm  21108  nmo0  24796  0nghm  24802