Theorem 0ghm 19157

Description: The constant zero linear function between two groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ghm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑁)
0ghm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
0ghm	⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))

Proof of Theorem 0ghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18868	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → 𝑀 ∈ Mnd)
2		grpmnd 18868	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Grp → 𝑁 ∈ Mnd)
3		0ghm.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑁)
4		0ghm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
5	3, 4	0mhm 18742	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
6	1, 2, 5	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
7		ghmmhmb 19154	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝑀 GrpHom 𝑁) = (𝑀 MndHom 𝑁))
8	6, 7	eleqtrrd 2837	1 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4578   × cxp 5620  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  0_gc0g 17357  Mndcmnd 18657   MndHom cmhm 18704  Grpcgrp 18861   GrpHom cghm 19139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-map 8763  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-grp 18864  df-ghm 19140

This theorem is referenced by:  0frgp  19706  0lmhm  20990  nmo0  24677  0nghm  24683