Theorem 0ghm 19199

Description: The constant zero linear function between two groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ghm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑁)
0ghm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
0ghm	⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))

Proof of Theorem 0ghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18910	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → 𝑀 ∈ Mnd)
2		grpmnd 18910	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Grp → 𝑁 ∈ Mnd)
3		0ghm.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑁)
4		0ghm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
5	3, 4	0mhm 18781	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
6	1, 2, 5	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
7		ghmmhmb 19196	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝑀 GrpHom 𝑁) = (𝑀 MndHom 𝑁))
8	6, 7	eleqtrrd 2840	1 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4568   × cxp 5623  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173  0_gc0g 17396  Mndcmnd 18696   MndHom cmhm 18743  Grpcgrp 18903   GrpHom cghm 19181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-map 8769  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-grp 18906  df-ghm 19182

This theorem is referenced by:  0frgp  19748  0lmhm  21030  nmo0  24713  0nghm  24719