MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ghm 19248
Description: The constant zero linear function between two groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
0ghm.z 0 = (0g𝑁)
0ghm.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
0ghm ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))

Proof of Theorem 0ghm
StepHypRef Expression
1 grpmnd 18958 . . 3 (𝑀 ∈ Grp → 𝑀 ∈ Mnd)
2 grpmnd 18958 . . 3 (𝑁 ∈ Grp → 𝑁 ∈ Mnd)
3 0ghm.z . . . 4 0 = (0g𝑁)
4 0ghm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑀)
53, 40mhm 18832 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
61, 2, 5syl2an 596 . 2 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
7 ghmmhmb 19245 . 2 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝑀 GrpHom 𝑁) = (𝑀 MndHom 𝑁))
86, 7eleqtrrd 2844 1 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {csn 4626   × cxp 5683  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  0gc0g 17484  Mndcmnd 18747   MndHom cmhm 18794  Grpcgrp 18951   GrpHom cghm 19230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-map 8868  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-ghm 19231
This theorem is referenced by:  0frgp  19797  0lmhm  21039  nmo0  24756  0nghm  24762
  Copyright terms: Public domain W3C validator