MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ghm 19147
Description: The constant zero linear function between two groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
0ghm.z 0 = (0g𝑁)
0ghm.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
0ghm ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))

Proof of Theorem 0ghm
StepHypRef Expression
1 grpmnd 18862 . . 3 (𝑀 ∈ Grp → 𝑀 ∈ Mnd)
2 grpmnd 18862 . . 3 (𝑁 ∈ Grp → 𝑁 ∈ Mnd)
3 0ghm.z . . . 4 0 = (0g𝑁)
4 0ghm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑀)
53, 40mhm 18736 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
61, 2, 5syl2an 595 . 2 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
7 ghmmhmb 19144 . 2 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝑀 GrpHom 𝑁) = (𝑀 MndHom 𝑁))
86, 7eleqtrrd 2828 1 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {csn 4621   × cxp 5665  cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17145  0gc0g 17386  Mndcmnd 18659   MndHom cmhm 18703  Grpcgrp 18855   GrpHom cghm 19130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-map 8819  df-0g 17388  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-ghm 19131
This theorem is referenced by:  0frgp  19691  0lmhm  20880  nmo0  24576  0nghm  24582
  Copyright terms: Public domain W3C validator