MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ghm 19261
Description: The constant zero linear function between two groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
0ghm.z 0 = (0g𝑁)
0ghm.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
0ghm ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))

Proof of Theorem 0ghm
StepHypRef Expression
1 grpmnd 18971 . . 3 (𝑀 ∈ Grp → 𝑀 ∈ Mnd)
2 grpmnd 18971 . . 3 (𝑁 ∈ Grp → 𝑁 ∈ Mnd)
3 0ghm.z . . . 4 0 = (0g𝑁)
4 0ghm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑀)
53, 40mhm 18845 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
61, 2, 5syl2an 596 . 2 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
7 ghmmhmb 19258 . 2 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝑀 GrpHom 𝑁) = (𝑀 MndHom 𝑁))
86, 7eleqtrrd 2842 1 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {csn 4631   × cxp 5687  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  0gc0g 17486  Mndcmnd 18760   MndHom cmhm 18807  Grpcgrp 18964   GrpHom cghm 19243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-map 8867  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-ghm 19244
This theorem is referenced by:  0frgp  19812  0lmhm  21057  nmo0  24772  0nghm  24778
  Copyright terms: Public domain W3C validator