Theorem nmo0 23805

Description: The operator norm of the zero operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmo0.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmo0.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmo0.3	⊢ 0 = (0g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmo0	⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0)

Proof of Theorem nmo0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmo0.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2		nmo0.2	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
5		eqid 2738	. . 3 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
6		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
7		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
8		ngpgrp 23661	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
9		ngpgrp 23661	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → 𝑇 ∈ Grp)
10		nmo0.3	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
11	10, 2	0ghm 18763	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
12	8, 9, 11	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
13		0red 10909	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 0 ∈ ℝ)
14		0le0 12004	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 0 ≤ 0)
16	10	fvexi 6770	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
17	16	fvconst2 7061	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
18	17	ad2antrl 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑆))) → ((𝑉 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
19	18	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑆))) → ((norm‘𝑇)‘((𝑉 × { 0 })‘𝑥)) = ((norm‘𝑇)‘ 0 ))
20	4, 10	nm0 23691	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → ((norm‘𝑇)‘ 0 ) = 0)
21	20	ad2antlr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑆))) → ((norm‘𝑇)‘ 0 ) = 0)
22	19, 21	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑆))) → ((norm‘𝑇)‘((𝑉 × { 0 })‘𝑥)) = 0)
23	2, 3	nmcl 23678	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
24	23	ad2ant2r 743	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑆))) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
25	24	recnd 10934	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑆))) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℂ)
26	25	mul02d 11103	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑆))) → (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = 0)
27	14, 26	breqtrrid 5108	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑆))) → 0 ≤ (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
28	22, 27	eqbrtrd 5092	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑆))) → ((norm‘𝑇)‘((𝑉 × { 0 })‘𝑥)) ≤ (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13, 15, 28	nmolb2d 23788	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ≤ 0)
30	1	nmoge0 23791	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑉 × { 0 })))
31	12, 30	mpd3an3 1460	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑉 × { 0 })))
32	1	nmocl 23790	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ∈ ℝ*)
33	12, 32	mpd3an3 1460	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ∈ ℝ*)
34		0xr 10953	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
35		xrletri3 12817	. . 3 ⊢ (((𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0 ↔ ((𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑉 × { 0 })))))
36	33, 34, 35	sylancl 585	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → ((𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0 ↔ ((𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑉 × { 0 })))))
37	29, 31, 36	mpbir2and 709	1 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  {csn 4558   class class class wbr 5070   × cxp 5578  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802   · cmul 10807  ℝ^*cxr 10939   ≤ cle 10941  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  Grpcgrp 18492   GrpHom cghm 18746  normcnm 23638  NrmGrpcngp 23639   normOp cnmo 23775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ico 13014  df-0g 17069  df-topgen 17071  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-grp 18495  df-ghm 18747  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-xms 23381  df-ms 23382  df-nm 23644  df-ngp 23645  df-nmo 23778

This theorem is referenced by:  nmoeq0  23806  0nghm  23811  idnghm  23813