MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmo0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmo0 24576
Description: The operator norm of the zero operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmo0.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmo0.2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
nmo0.3 0 = (0gβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
nmo0 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) = 0)
Proof of Theorem nmo0
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmo0.1 . . 3 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2 nmo0.2 . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
3 eqid 2724 . . 3 (normβ€˜π‘†) = (normβ€˜π‘†)
4 eqid 2724 . . 3 (normβ€˜π‘‡) = (normβ€˜π‘‡)
5 eqid 2724 . . 3 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
6 simpl 482 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
7 simpr 484 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
8 ngpgrp 24432 . . . 4 (𝑆 ∈ NrmGrp β†’ 𝑆 ∈ Grp)
9 ngpgrp 24432 . . . 4 (𝑇 ∈ NrmGrp β†’ 𝑇 ∈ Grp)
10 nmo0.3 . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘‡)
1110, 20ghm 19147 . . . 4 ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) β†’ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
128, 9, 11syl2an 595 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
13 0red 11215 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ 0 ∈ ℝ)
14 0le0 12311 . . . 4 0 ≀ 0
1514a1i 11 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ 0 ≀ 0)
1610fvexi 6896 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1716fvconst2 7198 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯) = 0 )
1817ad2antrl 725 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯) = 0 )
1918fveq2d 6886 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯)) = ((normβ€˜π‘‡)β€˜ 0 ))
204, 10nm0 24462 . . . . . 6 (𝑇 ∈ NrmGrp β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜ 0 ) = 0)
2120ad2antlr 724 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜ 0 ) = 0)
2219, 21eqtrd 2764 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯)) = 0)
232, 3nmcl 24449 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2423ad2ant2r 744 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2524recnd 11240 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2625mul02d 11410 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (0 Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) = 0)
2714, 26breqtrrid 5177 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 0 ≀ (0 Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
2822, 27eqbrtrd 5161 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯)) ≀ (0 Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
291, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13, 15, 28nmolb2d 24559 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) ≀ 0)
301nmoge0 24562 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })))
3112, 30mpd3an3 1458 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })))
321nmocl 24561 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) ∈ ℝ*)
3312, 32mpd3an3 1458 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) ∈ ℝ*)
34 0xr 11259 . . 3 0 ∈ ℝ*
35 xrletri3 13131 . . 3 (((π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) = 0 ↔ ((π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })))))
3633, 34, 35sylancl 585 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ ((π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) = 0 ↔ ((π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })))))
3729, 31, 36mpbir2and 710 1 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  {csn 4621   class class class wbr 5139   Γ— cxp 5665  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„cr 11106  0cc0 11107   Β· cmul 11112  β„*cxr 11245   ≀ cle 11247  Basecbs 17145  0gc0g 17386  Grpcgrp 18855   GrpHom cghm 19130  normcnm 24409  NrmGrpcngp 24410   normOp cnmo 24546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-xneg 13090  df-xadd 13091  df-xmul 13092  df-ico 13328  df-0g 17388  df-topgen 17390  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-ghm 19131  df-psmet 21222  df-xmet 21223  df-met 21224  df-bl 21225  df-mopn 21226  df-top 22720  df-topon 22737  df-topsp 22759  df-bases 22773  df-xms 24150  df-ms 24151  df-nm 24415  df-ngp 24416  df-nmo 24549
This theorem is referenced by:  nmoeq0  24577  0nghm  24582  idnghm  24584
  Copyright terms: Public domain W3C validator