Theorem nmo0 24672

Description: The operator norm of the zero operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmo0.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmo0.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmo0.3	⊢ 0 = (0g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmo0	⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0)

Proof of Theorem nmo0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmo0.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2		nmo0.2	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2735	. . 3 ⊢ (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
4		eqid 2735	. . 3 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
5		eqid 2735	. . 3 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
6		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
7		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
8		ngpgrp 24536	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
9		ngpgrp 24536	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → 𝑇 ∈ Grp)
10		nmo0.3	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
11	10, 2	0ghm 19211	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
12	8, 9, 11	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
13		0red 11236	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 0 ∈ ℝ)
14		0le0 12339	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 0 ≤ 0)
16	10	fvexi 6889	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
17	16	fvconst2 7195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
18	17	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑆))) → ((𝑉 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
19	18	fveq2d 6879	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑆))) → ((norm‘𝑇)‘((𝑉 × { 0 })‘𝑥)) = ((norm‘𝑇)‘ 0 ))
20	4, 10	nm0 24566	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → ((norm‘𝑇)‘ 0 ) = 0)
21	20	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑆))) → ((norm‘𝑇)‘ 0 ) = 0)
22	19, 21	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑆))) → ((norm‘𝑇)‘((𝑉 × { 0 })‘𝑥)) = 0)
23	2, 3	nmcl 24553	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
24	23	ad2ant2r 747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑆))) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11261	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑆))) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℂ)
26	25	mul02d 11431	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑆))) → (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = 0)
27	14, 26	breqtrrid 5157	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑆))) → 0 ≤ (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
28	22, 27	eqbrtrd 5141	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑆))) → ((norm‘𝑇)‘((𝑉 × { 0 })‘𝑥)) ≤ (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13, 15, 28	nmolb2d 24655	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ≤ 0)
30	1	nmoge0 24658	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑉 × { 0 })))
31	12, 30	mpd3an3 1464	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑉 × { 0 })))
32	1	nmocl 24657	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ∈ ℝ*)
33	12, 32	mpd3an3 1464	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ∈ ℝ*)
34		0xr 11280	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
35		xrletri3 13168	. . 3 ⊢ (((𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0 ↔ ((𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑉 × { 0 })))))
36	33, 34, 35	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → ((𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0 ↔ ((𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑉 × { 0 })))))
37	29, 31, 36	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  {csn 4601   class class class wbr 5119   × cxp 5652  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℝcr 11126  0cc0 11127   · cmul 11132  ℝ^*cxr 11266   ≤ cle 11268  Basecbs 17226  0_gc0g 17451  Grpcgrp 18914   GrpHom cghm 19193  normcnm 24513  NrmGrpcngp 24514   normOp cnmo 24642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-ico 13366  df-0g 17453  df-topgen 17455  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-mhm 18759  df-grp 18917  df-ghm 19194  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-top 22830  df-topon 22847  df-topsp 22869  df-bases 22882  df-xms 24257  df-ms 24258  df-nm 24519  df-ngp 24520  df-nmo 24645

This theorem is referenced by:  nmoeq0  24673  0nghm  24678  idnghm  24680