MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmo0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmo0 24646
Description: The operator norm of the zero operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmo0.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmo0.2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
nmo0.3 0 = (0gβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
nmo0 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) = 0)
Proof of Theorem nmo0
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmo0.1 . . 3 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2 nmo0.2 . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
3 eqid 2728 . . 3 (normβ€˜π‘†) = (normβ€˜π‘†)
4 eqid 2728 . . 3 (normβ€˜π‘‡) = (normβ€˜π‘‡)
5 eqid 2728 . . 3 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
6 simpl 482 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
7 simpr 484 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
8 ngpgrp 24502 . . . 4 (𝑆 ∈ NrmGrp β†’ 𝑆 ∈ Grp)
9 ngpgrp 24502 . . . 4 (𝑇 ∈ NrmGrp β†’ 𝑇 ∈ Grp)
10 nmo0.3 . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘‡)
1110, 20ghm 19178 . . . 4 ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) β†’ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
128, 9, 11syl2an 595 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
13 0red 11242 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ 0 ∈ ℝ)
14 0le0 12338 . . . 4 0 ≀ 0
1514a1i 11 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ 0 ≀ 0)
1610fvexi 6906 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1716fvconst2 7211 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯) = 0 )
1817ad2antrl 727 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯) = 0 )
1918fveq2d 6896 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯)) = ((normβ€˜π‘‡)β€˜ 0 ))
204, 10nm0 24532 . . . . . 6 (𝑇 ∈ NrmGrp β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜ 0 ) = 0)
2120ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜ 0 ) = 0)
2219, 21eqtrd 2768 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯)) = 0)
232, 3nmcl 24519 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2423ad2ant2r 746 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2524recnd 11267 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2625mul02d 11437 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (0 Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) = 0)
2714, 26breqtrrid 5181 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 0 ≀ (0 Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
2822, 27eqbrtrd 5165 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯)) ≀ (0 Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
291, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13, 15, 28nmolb2d 24629 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) ≀ 0)
301nmoge0 24632 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })))
3112, 30mpd3an3 1459 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })))
321nmocl 24631 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) ∈ ℝ*)
3312, 32mpd3an3 1459 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) ∈ ℝ*)
34 0xr 11286 . . 3 0 ∈ ℝ*
35 xrletri3 13160 . . 3 (((π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) = 0 ↔ ((π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })))))
3633, 34, 35sylancl 585 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ ((π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) = 0 ↔ ((π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })))))
3729, 31, 36mpbir2and 712 1 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2936  {csn 4625   class class class wbr 5143   Γ— cxp 5671  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7415  β„cr 11132  0cc0 11133   Β· cmul 11138  β„*cxr 11272   ≀ cle 11274  Basecbs 17174  0gc0g 17415  Grpcgrp 18884   GrpHom cghm 19161  normcnm 24479  NrmGrpcngp 24480   normOp cnmo 24616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-map 8841  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ico 13357  df-0g 17417  df-topgen 17419  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-grp 18887  df-ghm 19162  df-psmet 21265  df-xmet 21266  df-met 21267  df-bl 21268  df-mopn 21269  df-top 22790  df-topon 22807  df-topsp 22829  df-bases 22843  df-xms 24220  df-ms 24221  df-nm 24485  df-ngp 24486  df-nmo 24619
This theorem is referenced by:  nmoeq0  24647  0nghm  24652  idnghm  24654
  Copyright terms: Public domain W3C validator