Theorem nmo0 24853

Description: The operator norm of the zero operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmo0.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmo0.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmo0.3	⊢ 0 = (0g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmo0	⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0)

Proof of Theorem nmo0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmo0.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2		nmo0.2	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
3		eqid 2765	. . 3 ⊢ (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
4		eqid 2765	. . 3 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
5		eqid 2765	. . 3 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
6		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
7		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
8		ngpgrp 24717	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
9		ngpgrp 24717	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → 𝑇 ∈ Grp)
10		nmo0.3	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
11	10, 2	0ghm 19291	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
12	8, 9, 11	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
13		0red 11199	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 0 ∈ ℝ)
14		0le0 12333	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 0 ≤ 0)
16	10	fvexi 6885	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
17	16	fvconst2 7192	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
18	17	ad2antrl 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑆))) → ((𝑉 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
19	18	fveq2d 6875	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑆))) → ((norm‘𝑇)‘((𝑉 × { 0 })‘𝑥)) = ((norm‘𝑇)‘ 0 ))
20	4, 10	nm0 24747	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → ((norm‘𝑇)‘ 0 ) = 0)
21	20	ad2antlr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑆))) → ((norm‘𝑇)‘ 0 ) = 0)
22	19, 21	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑆))) → ((norm‘𝑇)‘((𝑉 × { 0 })‘𝑥)) = 0)
23	2, 3	nmcl 24734	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
24	23	ad2ant2r 759	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑆))) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11225	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑆))) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℂ)
26	25	mul02d 11396	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑆))) → (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = 0)
27	14, 26	breqtrrid 5143	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑆))) → 0 ≤ (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
28	22, 27	eqbrtrd 5127	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑆))) → ((norm‘𝑇)‘((𝑉 × { 0 })‘𝑥)) ≤ (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13, 15, 28	nmolb2d 24836	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ≤ 0)
30	1	nmoge0 24839	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑉 × { 0 })))
31	12, 30	mpd3an3 1486	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑉 × { 0 })))
32	1	nmocl 24838	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ∈ ℝ*)
33	12, 32	mpd3an3 1486	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ∈ ℝ*)
34		0xr 11244	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
35		xrletri3 13170	. . 3 ⊢ (((𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0 ↔ ((𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑉 × { 0 })))))
36	33, 34, 35	sylancl 597	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → ((𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0 ↔ ((𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑉 × { 0 })))))
37	29, 31, 36	mpbir2and 725	1 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  {csn 4585   class class class wbr 5105   × cxp 5650  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088   · cmul 11093  ℝ^*cxr 11230   ≤ cle 11232  Basecbs 17259  0_gc0g 17482  Grpcgrp 18990   GrpHom cghm 19274  normcnm 24694  NrmGrpcngp 24695   normOp cnmo 24823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ico 13369  df-0g 17484  df-topgen 17486  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-mhm 18831  df-grp 18993  df-ghm 19275  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-bases 23064  df-xms 24438  df-ms 24439  df-nm 24700  df-ngp 24701  df-nmo 24826

This theorem is referenced by:  nmoeq0  24854  0nghm  24859  idnghm  24861