MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmo0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmo0 24251
Description: The operator norm of the zero operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmo0.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmo0.2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
nmo0.3 0 = (0gβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
nmo0 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) = 0)
Proof of Theorem nmo0
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmo0.1 . . 3 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2 nmo0.2 . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
3 eqid 2732 . . 3 (normβ€˜π‘†) = (normβ€˜π‘†)
4 eqid 2732 . . 3 (normβ€˜π‘‡) = (normβ€˜π‘‡)
5 eqid 2732 . . 3 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
6 simpl 483 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
7 simpr 485 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
8 ngpgrp 24107 . . . 4 (𝑆 ∈ NrmGrp β†’ 𝑆 ∈ Grp)
9 ngpgrp 24107 . . . 4 (𝑇 ∈ NrmGrp β†’ 𝑇 ∈ Grp)
10 nmo0.3 . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘‡)
1110, 20ghm 19105 . . . 4 ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) β†’ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
128, 9, 11syl2an 596 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
13 0red 11216 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ 0 ∈ ℝ)
14 0le0 12312 . . . 4 0 ≀ 0
1514a1i 11 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ 0 ≀ 0)
1610fvexi 6905 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1716fvconst2 7204 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯) = 0 )
1817ad2antrl 726 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯) = 0 )
1918fveq2d 6895 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯)) = ((normβ€˜π‘‡)β€˜ 0 ))
204, 10nm0 24137 . . . . . 6 (𝑇 ∈ NrmGrp β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜ 0 ) = 0)
2120ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜ 0 ) = 0)
2219, 21eqtrd 2772 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯)) = 0)
232, 3nmcl 24124 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2423ad2ant2r 745 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2524recnd 11241 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2625mul02d 11411 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (0 Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) = 0)
2714, 26breqtrrid 5186 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 0 ≀ (0 Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
2822, 27eqbrtrd 5170 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜((𝑉 Γ— { 0 })β€˜π‘₯)) ≀ (0 Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
291, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13, 15, 28nmolb2d 24234 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) ≀ 0)
301nmoge0 24237 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })))
3112, 30mpd3an3 1462 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })))
321nmocl 24236 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) ∈ ℝ*)
3312, 32mpd3an3 1462 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) ∈ ℝ*)
34 0xr 11260 . . 3 0 ∈ ℝ*
35 xrletri3 13132 . . 3 (((π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) = 0 ↔ ((π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })))))
3633, 34, 35sylancl 586 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ ((π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) = 0 ↔ ((π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })))))
3729, 31, 36mpbir2and 711 1 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  {csn 4628   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„cr 11108  0cc0 11109   Β· cmul 11114  β„*cxr 11246   ≀ cle 11248  Basecbs 17143  0gc0g 17384  Grpcgrp 18818   GrpHom cghm 19088  normcnm 24084  NrmGrpcngp 24085   normOp cnmo 24221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ico 13329  df-0g 17386  df-topgen 17388  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-grp 18821  df-ghm 19089  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-xms 23825  df-ms 23826  df-nm 24090  df-ngp 24091  df-nmo 24224
This theorem is referenced by:  nmoeq0  24252  0nghm  24257  idnghm  24259
  Copyright terms: Public domain W3C validator