Theorem 0nghm 24725

Description: The zero operator is a normed group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
0nghm.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
0nghm.3	⊢ 0 = (0g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
0nghm	⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))

Proof of Theorem 0nghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (𝑆 normOp 𝑇) = (𝑆 normOp 𝑇)
2		0nghm.2	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
3		0nghm.3	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
4	1, 2, 3	nmo0 24719	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → ((𝑆 normOp 𝑇)‘(𝑉 × { 0 })) = 0)
5		0re 11138	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
6	4, 5	eqeltrdi 2847	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → ((𝑆 normOp 𝑇)‘(𝑉 × { 0 })) ∈ ℝ)
7		ngpgrp 24583	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
8		ngpgrp 24583	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → 𝑇 ∈ Grp)
9	3, 2	0ghm 19197	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
10	7, 8, 9	syl2an 602	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
11	1	isnghm2 24708	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 normOp 𝑇)‘(𝑉 × { 0 })) ∈ ℝ))
12	10, 11	mpd3an3 1470	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → ((𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 normOp 𝑇)‘(𝑉 × { 0 })) ∈ ℝ))
13	6, 12	mpbird 258	1 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {csn 4556   × cxp 5617  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  ℝcr 11029  0cc0 11030  Basecbs 17171  0_gc0g 17394  Grpcgrp 18901   GrpHom cghm 19179  NrmGrpcngp 24561   normOp cnmo 24689   NGHom cnghm 24690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-q 12891  df-rp 12935  df-xneg 13055  df-xadd 13056  df-xmul 13057  df-ico 13296  df-0g 17396  df-topgen 17398  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18743  df-grp 18904  df-ghm 19180  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-top 22878  df-topon 22895  df-topsp 22917  df-bases 22930  df-xms 24304  df-ms 24305  df-nm 24566  df-ngp 24567  df-nmo 24692  df-nghm 24693

This theorem is referenced by:  0nmhm  24739