Theorem 0nghm 22953

Description: The zero operator is a normed group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
0nghm.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
0nghm.3	⊢ 0 = (0g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
0nghm	⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))

Proof of Theorem 0nghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2777	. . . 4 ⊢ (𝑆 normOp 𝑇) = (𝑆 normOp 𝑇)
2		0nghm.2	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
3		0nghm.3	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
4	1, 2, 3	nmo0 22947	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → ((𝑆 normOp 𝑇)‘(𝑉 × { 0 })) = 0)
5		0re 10378	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
6	4, 5	syl6eqel 2866	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → ((𝑆 normOp 𝑇)‘(𝑉 × { 0 })) ∈ ℝ)
7		ngpgrp 22811	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
8		ngpgrp 22811	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → 𝑇 ∈ Grp)
9	3, 2	0ghm 18058	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
10	7, 8, 9	syl2an 589	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
11	1	isnghm2 22936	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 normOp 𝑇)‘(𝑉 × { 0 })) ∈ ℝ))
12	10, 11	mpd3an3 1535	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → ((𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 normOp 𝑇)‘(𝑉 × { 0 })) ∈ ℝ))
13	6, 12	mpbird 249	1 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  {csn 4397   × cxp 5353  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℝcr 10271  0cc0 10272  Basecbs 16255  0_gc0g 16486  Grpcgrp 17809   GrpHom cghm 18041  NrmGrpcngp 22790   normOp cnmo 22917   NGHom cnghm 22918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ico 12493  df-0g 16488  df-topgen 16490  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-grp 17812  df-ghm 18042  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-xms 22533  df-ms 22534  df-nm 22795  df-ngp 22796  df-nmo 22920  df-nghm 22921

This theorem is referenced by:  0nmhm  22967