Theorem sucdom 9200

Description: Strict dominance of a set over a natural number is the same as dominance over its successor. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.) Avoid ax-pow 5336. (Revised by BTernaryTau, 4-Dec-2024.) (Proof shortened by BJ, 11-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sucdom	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem sucdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucdom2 9183	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → suc 𝐴 ≼ 𝐵)
2		nnfi 9148	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
3		php4 9190	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
4		sdomdomtrfi 9181	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)
5	4	3expia 1139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ suc 𝐴) → (suc 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≺ 𝐵))
6	2, 3, 5	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (suc 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≺ 𝐵))
7	1, 6	impbid2 229	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  suc csuc 6362  ωcom 7858   ≼ cdom 8937   ≺ csdm 8938  Fincfn 8939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7859  df-1o 8449  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943

This theorem is referenced by:  0sdom1domALT  9203  harsucnn  9980  isnzr2  20615