Theorem sucdom 9148

Description: Strict dominance of a set over a natural number is the same as dominance over its successor. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.) Avoid ax-pow 5303. (Revised by BTernaryTau, 4-Dec-2024.) (Proof shortened by BJ, 11-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sucdom	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem sucdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucdom2 9131	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → suc 𝐴 ≼ 𝐵)
2		nnfi 9096	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
3		php4 9138	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
4		sdomdomtrfi 9129	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)
5	4	3expia 1122	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ suc 𝐴) → (suc 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≺ 𝐵))
6	2, 3, 5	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (suc 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≺ 𝐵))
7	1, 6	impbid2 226	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  suc csuc 6320  ωcom 7811   ≼ cdom 8885   ≺ csdm 8886  Fincfn 8887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-om 7812  df-1o 8399  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891

This theorem is referenced by:  0sdom1domALT  9151  harsucnn  9916  isnzr2  20489