MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sucdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sucdom 8880
Description: Strict dominance of a set over a natural number is the same as dominance over its successor. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
sucdom (𝐴 ∈ ω → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴𝐵))

Proof of Theorem sucdom
StepHypRef Expression
1 sucdom2 8760 . 2 (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵)
2 php4 8838 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
3 sdomdomtr 8784 . . . 4 ((𝐴 ≺ suc 𝐴 ∧ suc 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
43ex 416 . . 3 (𝐴 ≺ suc 𝐴 → (suc 𝐴𝐵𝐴𝐵))
52, 4syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ω → (suc 𝐴𝐵𝐴𝐵))
61, 5impbid2 229 1 (𝐴 ∈ ω → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wcel 2110   class class class wbr 5058  suc csuc 6220  ωcom 7649  cdom 8629  csdm 8630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5197  ax-nul 5204  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7528
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3415  df-dif 3874  df-un 3876  df-in 3878  df-ss 3888  df-pss 3890  df-nul 4243  df-if 4445  df-pw 4520  df-sn 4547  df-pr 4549  df-tp 4551  df-op 4553  df-uni 4825  df-br 5059  df-opab 5121  df-tr 5167  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5562  df-rel 5563  df-cnv 5564  df-co 5565  df-dm 5566  df-rn 5567  df-res 5568  df-ima 5569  df-ord 6221  df-on 6222  df-lim 6223  df-suc 6224  df-iota 6343  df-fun 6387  df-fn 6388  df-f 6389  df-f1 6390  df-fo 6391  df-f1o 6392  df-fv 6393  df-om 7650  df-er 8396  df-en 8632  df-dom 8633  df-sdom 8634
This theorem is referenced by:  0sdom1dom  8881  1sdom  8886  harsucnn  9619  isnzr2  20306
  Copyright terms: Public domain W3C validator