MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sucdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sucdom 9260
Description: Strict dominance of a set over a natural number is the same as dominance over its successor. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.) Avoid ax-pow 5365. (Revised by BTernaryTau, 4-Dec-2024.) (Proof shortened by BJ, 11-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
sucdom (𝐴 ∈ ω → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴𝐵))

Proof of Theorem sucdom
StepHypRef Expression
1 sucdom2 9231 . 2 (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵)
2 nnfi 9192 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
3 php4 9238 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
4 sdomdomtrfi 9229 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ suc 𝐴 ∧ suc 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
543expia 1119 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ suc 𝐴) → (suc 𝐴𝐵𝐴𝐵))
62, 3, 5syl2anc 583 . 2 (𝐴 ∈ ω → (suc 𝐴𝐵𝐴𝐵))
71, 6impbid2 225 1 (𝐴 ∈ ω → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2099   class class class wbr 5148  suc csuc 6371  ωcom 7870  cdom 8962  csdm 8963  Fincfn 8964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-om 7871  df-1o 8487  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968
This theorem is referenced by:  0sdom1domALT  9264  1sdomOLD  9274  harsucnn  10022  isnzr2  20457
  Copyright terms: Public domain W3C validator