Theorem sucdom 9234

Description: Strict dominance of a set over a natural number is the same as dominance over its successor. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.) Avoid ax-pow 5356. (Revised by BTernaryTau, 4-Dec-2024.) (Proof shortened by BJ, 11-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sucdom	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem sucdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucdom2 9205	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → suc 𝐴 ≼ 𝐵)
2		nnfi 9166	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
3		php4 9212	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
4		sdomdomtrfi 9203	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)
5	4	3expia 1118	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ suc 𝐴) → (suc 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≺ 𝐵))
6	2, 3, 5	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (suc 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≺ 𝐵))
7	1, 6	impbid2 225	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  suc csuc 6359  ωcom 7851   ≼ cdom 8936   ≺ csdm 8937  Fincfn 8938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7852  df-1o 8464  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942

This theorem is referenced by:  0sdom1domALT  9238  1sdomOLD  9248  harsucnn  9992  isnzr2  20418