Theorem sucdom 9259

Description: Strict dominance of a set over a natural number is the same as dominance over its successor. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.) Avoid ax-pow 5365. (Revised by BTernaryTau, 4-Dec-2024.) (Proof shortened by BJ, 11-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sucdom	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem sucdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucdom2 9230	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → suc 𝐴 ≼ 𝐵)
2		nnfi 9191	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
3		php4 9237	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
4		sdomdomtrfi 9228	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)
5	4	3expia 1119	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ suc 𝐴) → (suc 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≺ 𝐵))
6	2, 3, 5	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (suc 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≺ 𝐵))
7	1, 6	impbid2 225	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  suc csuc 6371  ωcom 7870   ≼ cdom 8961   ≺ csdm 8962  Fincfn 8963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-om 7871  df-1o 8486  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967

This theorem is referenced by:  0sdom1domALT  9263  1sdomOLD  9273  harsucnn  10021  isnzr2  20456