Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1dimN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1dimN 37963
Description: An atom is covered by a height-2 element (1-dimensional line). (Contributed by NM, 3-May-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2dim.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2dim.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
2dim.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
1dimN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘ž   ∨ ,π‘ž   𝐾,π‘ž   𝑃,π‘ž
Allowed substitution hint:   𝐢(π‘ž)

Proof of Theorem 1dimN
Dummy variable π‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2dim.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2 2dim.c . . 3 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
3 2dim.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
41, 2, 32dim 37962 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
5 r19.42v 3188 . . . 4 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ (𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
65simplbi 499 . . 3 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) β†’ 𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž))
76reximi 3088 . 2 (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž))
84, 7syl 17 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  joincjn 18207   β‹– ccvr 37753  Atomscatm 37754  HLchlt 37841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator