Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1dimN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1dimN 35483
Description: An atom is covered by a height-2 element (1-dimensional line). (Contributed by NM, 3-May-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2dim.j = (join‘𝐾)
2dim.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
2dim.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
1dimN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → ∃𝑞𝐴 𝑃𝐶(𝑃 𝑞))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   ,𝑞   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑞)

Proof of Theorem 1dimN
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2dim.j . . 3 = (join‘𝐾)
2 2dim.c . . 3 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
3 2dim.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 32dim 35482 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 𝑞) ∧ (𝑃 𝑞)𝐶((𝑃 𝑞) 𝑟)))
5 r19.42v 3271 . . . 4 (∃𝑟𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 𝑞) ∧ (𝑃 𝑞)𝐶((𝑃 𝑞) 𝑟)) ↔ (𝑃𝐶(𝑃 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 (𝑃 𝑞)𝐶((𝑃 𝑞) 𝑟)))
65simplbi 492 . . 3 (∃𝑟𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 𝑞) ∧ (𝑃 𝑞)𝐶((𝑃 𝑞) 𝑟)) → 𝑃𝐶(𝑃 𝑞))
76reximi 3189 . 2 (∃𝑞𝐴𝑟𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 𝑞) ∧ (𝑃 𝑞)𝐶((𝑃 𝑞) 𝑟)) → ∃𝑞𝐴 𝑃𝐶(𝑃 𝑞))
84, 7syl 17 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → ∃𝑞𝐴 𝑃𝐶(𝑃 𝑞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wrex 3088   class class class wbr 4841  cfv 6099  (class class class)co 6876  joincjn 17255  ccvr 35274  Atomscatm 35275  HLchlt 35362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2375  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-proset 17239  df-poset 17257  df-plt 17269  df-lub 17285  df-glb 17286  df-join 17287  df-meet 17288  df-p0 17350  df-p1 17351  df-lat 17357  df-clat 17419  df-oposet 35188  df-ol 35190  df-oml 35191  df-covers 35278  df-ats 35279  df-atl 35310  df-cvlat 35334  df-hlat 35363
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator