Theorem 1dimN 38330

Description: An atom is covered by a height-2 element (1-dimensional line). (Contributed by NM, 3-May-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2dim.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2dim.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
2dim.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
1dimN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   ∨ ,𝑞   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑞)

Proof of Theorem 1dimN

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2dim.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2		2dim.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
3		2dim.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	2dim 38329	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
5		r19.42v 3190	. . . 4 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
6	5	simplbi 498	. . 3 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) → 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞))
7	6	reximi 3084	. 2 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞))
8	4, 7	syl 17	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  joincjn 18260   ⋖ ccvr 38120  Atomscatm 38121  HLchlt 38208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209

This theorem is referenced by: (None)