Theorem 1dimN 38845

Description: An atom is covered by a height-2 element (1-dimensional line). (Contributed by NM, 3-May-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2dim.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2dim.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
2dim.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
1dimN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   ∨ ,𝑞   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑞)

Proof of Theorem 1dimN

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2dim.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2		2dim.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
3		2dim.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	2dim 38844	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
5		r19.42v 3182	. . . 4 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
6	5	simplbi 497	. . 3 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) → 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞))
7	6	reximi 3076	. 2 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞))
8	4, 7	syl 17	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3062   class class class wbr 5139  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  joincjn 18272   ⋖ ccvr 38635  Atomscatm 38636  HLchlt 38723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-proset 18256  df-poset 18274  df-plt 18291  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-p0 18386  df-p1 18387  df-lat 18393  df-clat 18460  df-oposet 38549  df-ol 38551  df-oml 38552  df-covers 38639  df-ats 38640  df-atl 38671  df-cvlat 38695  df-hlat 38724

This theorem is referenced by: (None)