Theorem 2dim 38329

Description: Generate a height-3 element (2-dimensional plane) from an atom. (Contributed by NM, 3-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
2dim.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2dim.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
2dim.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2dim	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐴   ∨ ,𝑞,𝑟   𝐾,𝑞,𝑟   𝑃,𝑞,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑟,𝑞)

Proof of Theorem 2dim

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2dim.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2		eqid 2732	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		2dim.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	3dim1 38326	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
5		df-3an 1089	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
6	5	rexbii 3094	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
7		r19.42v 3190	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
8	6, 7	bitri 274	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
9	8	simplbi 498	. . . . 5 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) → (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞)))
10		simplll 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
11		hlatl 38218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
13		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴)
14		simpllr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
15	2, 3	atncmp 38170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃 ↔ 𝑞 ≠ 𝑃))
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃 ↔ 𝑞 ≠ 𝑃))
17		necom 2994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ≠ 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑞)
18	16, 17	bitr2di 287	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑞 ↔ ¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃))
19		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20	19, 3	atbase 38147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
21	14, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
22		2dim.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
23	19, 2, 1, 22, 3	cvr1 38269	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃 ↔ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞)))
24	10, 21, 13, 23	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃 ↔ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞)))
25	18, 24	bitrd 278	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑞 ↔ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞)))
26	19, 1, 3	hlatjcl 38225	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
27	10, 14, 13, 26	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
28		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝐴)
29	19, 2, 1, 22, 3	cvr1 38269	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ↔ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
30	10, 27, 28, 29	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ↔ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
31	25, 30	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞)) ↔ (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
32	9, 31	imbitrid 243	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) → (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
33	32	reximdva 3168	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
34	33	reximdva 3168	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
35	4, 34	mpd 15	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260   ⋖ ccvr 38120  Atomscatm 38121  AtLatcal 38122  HLchlt 38208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209

This theorem is referenced by:  1dimN  38330  1cvratex  38332