Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2dim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2dim 36475
Description: Generate a height-3 element (2-dimensional plane) from an atom. (Contributed by NM, 3-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2dim.j = (join‘𝐾)
2dim.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
2dim.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2dim ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 𝑞) ∧ (𝑃 𝑞)𝐶((𝑃 𝑞) 𝑟)))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐴   ,𝑞,𝑟   𝐾,𝑞,𝑟   𝑃,𝑞,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑟,𝑞)

Proof of Theorem 2dim
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2dim.j . . 3 = (join‘𝐾)
2 eqid 2825 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 2dim.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 33dim1 36472 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 𝑞) 𝑟)))
5 df-3an 1083 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 𝑞) 𝑟)) ↔ ((𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 𝑞) 𝑟)))
65rexbii 3251 . . . . . . 7 (∃𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 𝑞) 𝑟)) ↔ ∃𝑠𝐴 ((𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 𝑞) 𝑟)))
7 r19.42v 3354 . . . . . . 7 (∃𝑠𝐴 ((𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 𝑞) 𝑟)) ↔ ((𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞)) ∧ ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 𝑞) 𝑟)))
86, 7bitri 276 . . . . . 6 (∃𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 𝑞) 𝑟)) ↔ ((𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞)) ∧ ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 𝑞) 𝑟)))
98simplbi 498 . . . . 5 (∃𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 𝑞) 𝑟)) → (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞)))
10 simplll 771 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
11 hlatl 36365 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
13 simplr 765 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑞𝐴)
14 simpllr 772 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑃𝐴)
152, 3atncmp 36317 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞𝐴𝑃𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃𝑞𝑃))
1612, 13, 14, 15syl3anc 1365 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃𝑞𝑃))
17 necom 3073 . . . . . . . 8 (𝑞𝑃𝑃𝑞)
1816, 17syl6rbb 289 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑃𝑞 ↔ ¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃))
19 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2019, 3atbase 36294 . . . . . . . . 9 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
2114, 20syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
22 2dim.c . . . . . . . . 9 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
2319, 2, 1, 22, 3cvr1 36415 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑞𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃𝑃𝐶(𝑃 𝑞)))
2410, 21, 13, 23syl3anc 1365 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃𝑃𝐶(𝑃 𝑞)))
2518, 24bitrd 280 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑃𝑞𝑃𝐶(𝑃 𝑞)))
2619, 1, 3hlatjcl 36372 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑞𝐴) → (𝑃 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
2710, 14, 13, 26syl3anc 1365 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑃 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
28 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟𝐴)
2919, 2, 1, 22, 3cvr1 36415 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟𝐴) → (¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞) ↔ (𝑃 𝑞)𝐶((𝑃 𝑞) 𝑟)))
3010, 27, 28, 29syl3anc 1365 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞) ↔ (𝑃 𝑞)𝐶((𝑃 𝑞) 𝑟)))
3125, 30anbi12d 630 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → ((𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞)) ↔ (𝑃𝐶(𝑃 𝑞) ∧ (𝑃 𝑞)𝐶((𝑃 𝑞) 𝑟))))
329, 31syl5ib 245 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (∃𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 𝑞) 𝑟)) → (𝑃𝐶(𝑃 𝑞) ∧ (𝑃 𝑞)𝐶((𝑃 𝑞) 𝑟))))
3332reximdva 3278 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → (∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 𝑞) 𝑟)) → ∃𝑟𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 𝑞) ∧ (𝑃 𝑞)𝐶((𝑃 𝑞) 𝑟))))
3433reximdva 3278 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 𝑞) 𝑟)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 𝑞) ∧ (𝑃 𝑞)𝐶((𝑃 𝑞) 𝑟))))
354, 34mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 𝑞) ∧ (𝑃 𝑞)𝐶((𝑃 𝑞) 𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020  wrex 3143   class class class wbr 5062  cfv 6351  (class class class)co 7151  Basecbs 16475  lecple 16564  joincjn 17546  ccvr 36267  Atomscatm 36268  AtLatcal 36269  HLchlt 36355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36181  df-ol 36183  df-oml 36184  df-covers 36271  df-ats 36272  df-atl 36303  df-cvlat 36327  df-hlat 36356
This theorem is referenced by:  1dimN  36476  1cvratex  36478
  Copyright terms: Public domain W3C validator