Theorem 2dim 40222

Description: Generate a height-3 element (2-dimensional plane) from an atom. (Contributed by NM, 3-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
2dim.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2dim.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
2dim.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2dim	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐴   ∨ ,𝑞,𝑟   𝐾,𝑞,𝑟   𝑃,𝑞,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑟,𝑞)

Proof of Theorem 2dim

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2dim.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		2dim.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	3dim1 40219	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
5		df-3an 1105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
6	5	rexbii 3112	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
7		r19.42v 3197	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
8	6, 7	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
9	8	simplbi 501	. . . . 5 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) → (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞)))
10		simplll 786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
11		hlatl 40112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
13		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴)
14		simpllr 787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
15	2, 3	atncmp 40064	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃 ↔ 𝑞 ≠ 𝑃))
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃 ↔ 𝑞 ≠ 𝑃))
17		necom 3011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ≠ 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑞)
18	16, 17	bitr2di 291	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑞 ↔ ¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃))
19		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20	19, 3	atbase 40041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
21	14, 20	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
22		2dim.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
23	19, 2, 1, 22, 3	cvr1 40162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃 ↔ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞)))
24	10, 21, 13, 23	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃 ↔ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞)))
25	18, 24	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑞 ↔ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞)))
26	19, 1, 3	hlatjcl 40119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
27	10, 14, 13, 26	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
28		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝐴)
29	19, 2, 1, 22, 3	cvr1 40162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ↔ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
30	10, 27, 28, 29	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ↔ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
31	25, 30	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞)) ↔ (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
32	9, 31	imbitrid 247	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) → (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
33	32	reximdva 3178	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
34	33	reximdva 3178	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
35	4, 34	mpd 16	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  lecple 17318  joincjn 18368   ⋖ ccvr 40014  Atomscatm 40015  AtLatcal 40016  HLchlt 40102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18385  df-lub 18401  df-glb 18402  df-join 18403  df-meet 18404  df-p0 18480  df-p1 18481  df-lat 18489  df-clat 18556  df-oposet 39928  df-ol 39930  df-oml 39931  df-covers 40018  df-ats 40019  df-atl 40050  df-cvlat 40074  df-hlat 40103

This theorem is referenced by:  1dimN  40223  1cvratex  40225