Theorem 2dim 40620

Description: Generate a height-3 element (2-dimensional plane) from an atom. (Contributed by NM, 3-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
2dim.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2dim.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
2dim.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2dim	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐴   ∨ ,𝑞,𝑟   𝐾,𝑞,𝑟   𝑃,𝑞,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑟, 𝑞)

Proof of Theorem 2dim

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2dim.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		2dim.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	3dim1 40617	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
5		df-3an 1105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
6	5	rexbii 3109	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
7		r19.42v 3194	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
8	6, 7	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
9	8	simplbi 502	. . . . 5 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) → (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞)))
10		simplll 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
11		hlatl 40510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
13		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴)
14		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
15	2, 3	atncmp 40462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃 ↔ 𝑞 ≠ 𝑃))
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃 ↔ 𝑞 ≠ 𝑃))
17		necom 3008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ≠ 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑞)
18	16, 17	bitr2di 291	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑞 ↔ ¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃))
19		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20	19, 3	atbase 40439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
21	14, 20	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
22		2dim.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
23	19, 2, 1, 22, 3	cvr1 40560	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃 ↔ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞)))
24	10, 21, 13, 23	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃 ↔ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞)))
25	18, 24	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑞 ↔ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞)))
26	19, 1, 3	hlatjcl 40517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
27	10, 14, 13, 26	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
28		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝐴)
29	19, 2, 1, 22, 3	cvr1 40560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ↔ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
30	10, 27, 28, 29	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ↔ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
31	25, 30	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞)) ↔ (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
32	9, 31	imbitrid 247	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) → (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
33	32	reximdva 3175	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
34	33	reximdva 3175	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
35	4, 34	mpd 16	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑞) ∧ (𝑃 ∨ 𝑞)𝐶((𝑃 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  lecple 17440  joincjn 18490   ⋖ ccvr 40412  Atomscatm 40413  AtLatcal 40414  HLchlt 40500

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18473  df-poset 18492  df-plt 18507  df-lub 18523  df-glb 18524  df-join 18525  df-meet 18526  df-p0 18602  df-p1 18603  df-lat 18611  df-clat 18678  df-oposet 40326  df-ol 40328  df-oml 40329  df-covers 40416  df-ats 40417  df-atl 40448  df-cvlat 40472  df-hlat 40501

This theorem is used by:  1dimN  40621  1cvratex  40623