Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2dim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2dim 38937
Description: Generate a height-3 element (2-dimensional plane) from an atom. (Contributed by NM, 3-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2dim.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2dim.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
2dim.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2dim ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
Distinct variable groups:   π‘Ÿ,π‘ž,𝐴   ∨ ,π‘ž,π‘Ÿ   𝐾,π‘ž,π‘Ÿ   𝑃,π‘ž,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘Ÿ,π‘ž)

Proof of Theorem 2dim
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2dim.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2 eqid 2728 . . 3 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 2dim.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
41, 2, 33dim1 38934 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
5 df-3an 1087 . . . . . . . 8 ((𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ ((𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž)) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
65rexbii 3090 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž)) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
7 r19.42v 3186 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž)) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ ((𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž)) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
86, 7bitri 275 . . . . . 6 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ ((𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž)) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
98simplbi 497 . . . . 5 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) β†’ (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž)))
10 simplll 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
11 hlatl 38826 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
13 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
14 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
152, 3atncmp 38778 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑃 ↔ π‘ž β‰  𝑃))
1612, 13, 14, 15syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑃 ↔ π‘ž β‰  𝑃))
17 necom 2990 . . . . . . . 8 (π‘ž β‰  𝑃 ↔ 𝑃 β‰  π‘ž)
1816, 17bitr2di 288 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 β‰  π‘ž ↔ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑃))
19 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2019, 3atbase 38755 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2114, 20syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
22 2dim.c . . . . . . . . 9 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
2319, 2, 1, 22, 3cvr1 38877 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑃 ↔ 𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž)))
2410, 21, 13, 23syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑃 ↔ 𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž)))
2518, 24bitrd 279 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 β‰  π‘ž ↔ 𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž)))
2619, 1, 3hlatjcl 38833 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2710, 14, 13, 26syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
28 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
2919, 2, 1, 22, 3cvr1 38877 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ↔ (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
3010, 27, 28, 29syl3anc 1369 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ↔ (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
3125, 30anbi12d 631 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž)) ↔ (𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
329, 31imbitrid 243 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) β†’ (𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
3332reximdva 3164 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
3433reximdva 3164 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
354, 34mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2936  βˆƒwrex 3066   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  lecple 17233  joincjn 18296   β‹– ccvr 38728  Atomscatm 38729  AtLatcal 38730  HLchlt 38816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18280  df-poset 18298  df-plt 18315  df-lub 18331  df-glb 18332  df-join 18333  df-meet 18334  df-p0 18410  df-p1 18411  df-lat 18417  df-clat 18484  df-oposet 38642  df-ol 38644  df-oml 38645  df-covers 38732  df-ats 38733  df-atl 38764  df-cvlat 38788  df-hlat 38817
This theorem is referenced by:  1dimN  38938  1cvratex  38940
  Copyright terms: Public domain W3C validator