Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2dim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2dim 38835
Description: Generate a height-3 element (2-dimensional plane) from an atom. (Contributed by NM, 3-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2dim.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2dim.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
2dim.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2dim ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
Distinct variable groups:   π‘Ÿ,π‘ž,𝐴   ∨ ,π‘ž,π‘Ÿ   𝐾,π‘ž,π‘Ÿ   𝑃,π‘ž,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘Ÿ,π‘ž)

Proof of Theorem 2dim
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2dim.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2 eqid 2724 . . 3 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 2dim.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
41, 2, 33dim1 38832 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
5 df-3an 1086 . . . . . . . 8 ((𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ ((𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž)) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
65rexbii 3086 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž)) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
7 r19.42v 3182 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž)) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ ((𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž)) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
86, 7bitri 275 . . . . . 6 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ ((𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž)) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
98simplbi 497 . . . . 5 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) β†’ (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž)))
10 simplll 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
11 hlatl 38724 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
13 simplr 766 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
14 simpllr 773 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
152, 3atncmp 38676 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑃 ↔ π‘ž β‰  𝑃))
1612, 13, 14, 15syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑃 ↔ π‘ž β‰  𝑃))
17 necom 2986 . . . . . . . 8 (π‘ž β‰  𝑃 ↔ 𝑃 β‰  π‘ž)
1816, 17bitr2di 288 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 β‰  π‘ž ↔ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑃))
19 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2019, 3atbase 38653 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2114, 20syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
22 2dim.c . . . . . . . . 9 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
2319, 2, 1, 22, 3cvr1 38775 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑃 ↔ 𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž)))
2410, 21, 13, 23syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑃 ↔ 𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž)))
2518, 24bitrd 279 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 β‰  π‘ž ↔ 𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž)))
2619, 1, 3hlatjcl 38731 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2710, 14, 13, 26syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
28 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
2919, 2, 1, 22, 3cvr1 38775 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ↔ (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
3010, 27, 28, 29syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ↔ (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
3125, 30anbi12d 630 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž)) ↔ (𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
329, 31imbitrid 243 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) β†’ (𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
3332reximdva 3160 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
3433reximdva 3160 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
354, 34mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆƒwrex 3062   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17145  lecple 17205  joincjn 18268   β‹– ccvr 38626  Atomscatm 38627  AtLatcal 38628  HLchlt 38714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38540  df-ol 38542  df-oml 38543  df-covers 38630  df-ats 38631  df-atl 38662  df-cvlat 38686  df-hlat 38715
This theorem is referenced by:  1dimN  38836  1cvratex  38838
  Copyright terms: Public domain W3C validator