Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2dim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2dim 37962
Description: Generate a height-3 element (2-dimensional plane) from an atom. (Contributed by NM, 3-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2dim.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2dim.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
2dim.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2dim ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
Distinct variable groups:   π‘Ÿ,π‘ž,𝐴   ∨ ,π‘ž,π‘Ÿ   𝐾,π‘ž,π‘Ÿ   𝑃,π‘ž,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘Ÿ,π‘ž)

Proof of Theorem 2dim
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2dim.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2 eqid 2737 . . 3 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 2dim.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
41, 2, 33dim1 37959 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
5 df-3an 1090 . . . . . . . 8 ((𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ ((𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž)) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
65rexbii 3098 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž)) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
7 r19.42v 3188 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž)) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ ((𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž)) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
86, 7bitri 275 . . . . . 6 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ ((𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž)) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
98simplbi 499 . . . . 5 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) β†’ (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž)))
10 simplll 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
11 hlatl 37851 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
13 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
14 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
152, 3atncmp 37803 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑃 ↔ π‘ž β‰  𝑃))
1612, 13, 14, 15syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑃 ↔ π‘ž β‰  𝑃))
17 necom 2998 . . . . . . . 8 (π‘ž β‰  𝑃 ↔ 𝑃 β‰  π‘ž)
1816, 17bitr2di 288 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 β‰  π‘ž ↔ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑃))
19 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2019, 3atbase 37780 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2114, 20syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
22 2dim.c . . . . . . . . 9 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
2319, 2, 1, 22, 3cvr1 37902 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑃 ↔ 𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž)))
2410, 21, 13, 23syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑃 ↔ 𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž)))
2518, 24bitrd 279 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 β‰  π‘ž ↔ 𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž)))
2619, 1, 3hlatjcl 37858 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2710, 14, 13, 26syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
28 simpr 486 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
2919, 2, 1, 22, 3cvr1 37902 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ↔ (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
3010, 27, 28, 29syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ↔ (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
3125, 30anbi12d 632 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž)) ↔ (𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
329, 31imbitrid 243 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) β†’ (𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
3332reximdva 3166 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
3433reximdva 3166 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠(leβ€˜πΎ)((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
354, 34mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑃𝐢(𝑃 ∨ π‘ž) ∧ (𝑃 ∨ π‘ž)𝐢((𝑃 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  lecple 17147  joincjn 18207   β‹– ccvr 37753  Atomscatm 37754  AtLatcal 37755  HLchlt 37841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842
This theorem is referenced by:  1dimN  37963  1cvratex  37965
  Copyright terms: Public domain W3C validator