Theorem baerlem5blem2 42336

Description: Lemma for baerlem5b 42339. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
baerlem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
baerlem3.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
baerlem3.l	⊢ 𝐿 = (-g‘𝑅)
baerlem3.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
baerlem3.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
baerlem5blem2	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))

Proof of Theorem baerlem5blem2

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21173	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		baerlem3.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5	4	eldifad 3916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
6		baerlem3.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
7	6	eldifad 3916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
8		baerlem3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		baerlem3.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
10		baerlem3.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
11		baerlem3.s	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
12	8, 9, 10, 11	lspsntri 21164	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
13	3, 5, 7, 12	syl3anc 1390	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})))
14		baerlem3.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑊)
15		baerlem3.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
16	8, 9	lmodvacl 20942	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
17	3, 5, 7, 16	syl3anc 1390	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
18	8, 14	lmodvsubcl 20974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
19	3, 15, 17, 18	syl3anc 1390	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
20	8, 14, 10, 3, 19, 15	lspsnsub 21074	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 − (𝑌 + 𝑍)) − 𝑋)}) = (𝑁‘{(𝑋 − (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)))}))
21		lmodabl 20976	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
22	3, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
23	8, 14, 22, 15, 17	ablnncan 19860	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) = (𝑌 + 𝑍))
24	23	sneqd 4594	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(𝑋 − (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)))} = {(𝑌 + 𝑍)})
25	24	fveq2d 6871	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)))}) = (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
26	20, 25	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 − (𝑌 + 𝑍)) − 𝑋)}) = (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
27	8, 14, 11, 10	lspsntrim 21165	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((𝑋 − (𝑌 + 𝑍)) − 𝑋)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
28	3, 19, 15, 27	syl3anc 1390	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 − (𝑌 + 𝑍)) − 𝑋)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
29	26, 28	eqsstrrd 3971	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
30	13, 29	ssind 4192	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
31		elin 3920	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ↔ (𝑗 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
32		baerlem3.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
33		baerlem3.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
34		baerlem3.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
35	8, 9, 32, 33, 34, 11, 10, 3, 5, 7	lsmspsn 21151	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
36	8, 9, 32, 33, 34, 11, 10, 3, 19, 15	lsmspsn 21151	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))))
37	35, 36	anbi12d 641	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))))
38	31, 37	bitrid 285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))))
39		baerlem3.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
40		simp11 1217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝜑)
41	40, 1	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑊 ∈ LVec)
42	40, 15	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
43		baerlem3.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
44	40, 43	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
45		baerlem3.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
46	40, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
47	40, 4	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
48	40, 6	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
49		baerlem3.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
50		baerlem3.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = (-g‘𝑅)
51		baerlem3.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
52		baerlem3.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
53		simp12l 1300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑎 ∈ 𝐵)
54		simp12r 1301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑏 ∈ 𝐵)
55		simp2l 1213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑑 ∈ 𝐵)
56		simp2r 1214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑒 ∈ 𝐵)
57		simp13 1219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
58		simp3 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
59	8, 14, 39, 11, 10, 41, 42, 44, 46, 47, 48, 9, 34, 32, 33, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58	baerlem5blem1 42333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑗 = ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍)))
60	40, 3	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑊 ∈ LMod)
61	32	lmodring 20935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
62		ringgrp 20288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
63	40, 3, 61, 62	4syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑅 ∈ Grp)
64	33, 52	grpinvcl 19029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵)
65	63, 55, 64	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵)
66	40, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
67	8, 34, 32, 33, 10, 60, 65, 66	ellspsni 21068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → ((𝐼‘𝑑) · (𝑌 + 𝑍)) ∈ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
68	59, 67	eqeltrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
69	68	3exp 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) → ((𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))))
70	69	rexlimdvv 3218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) → (∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})))
71	70	3exp 1132	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})))))
72	71	rexlimdvv 3218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))))
73	72	impd 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐵 ∃𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})))
74	38, 73	sylbid 242	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})))
75	74	ssrdv 3942	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ⊆ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
76	30, 75	eqssd 3953	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3901   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  {csn 4582  {cpr 4584  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  +_gcplusg 17286  Scalarcsca 17289   ·_𝑠 cvsca 17290  0_gc0g 17468  Grpcgrp 18975  inv_gcminusg 18976  -_gcsg 18977  LSSumclsm 19674  Abelcabl 19821  Ringcrg 20283  LModclmod 20927  LSpanclspn 21038  LVecclvec 21169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-0g 17470  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-subg 19165  df-cntz 19357  df-lsm 19676  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-ring 20285  df-oppr 20386  df-dvdsr 20406  df-unit 20407  df-invr 20437  df-drng 20781  df-lmod 20929  df-lss 20999  df-lsp 21039  df-lvec 21170

This theorem is referenced by:  baerlem5b  42339