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Theorem baerlem5blem2 40571
Description: Lemma for baerlem5b 40574. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
baerlem3.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
baerlem3.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
baerlem3.s βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
baerlem3.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
baerlem3.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
baerlem3.d (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
baerlem3.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
baerlem3.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
baerlem3.p + = (+gβ€˜π‘Š)
baerlem3.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
baerlem3.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
baerlem3.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
baerlem3.a ⨣ = (+gβ€˜π‘…)
baerlem3.l 𝐿 = (-gβ€˜π‘…)
baerlem3.q 𝑄 = (0gβ€˜π‘…)
baerlem3.i 𝐼 = (invgβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
baerlem5blem2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) = (((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))))
Proof of Theorem baerlem5blem2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑑 𝑒 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 baerlem3.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 lveclmod 20709 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 baerlem3.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
54eldifad 3959 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
6 baerlem3.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
76eldifad 3959 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
8 baerlem3.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
9 baerlem3.p . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘Š)
10 baerlem3.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
11 baerlem3.s . . . . 5 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
128, 9, 10, 11lspsntri 20700 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) βŠ† ((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})))
133, 5, 7, 12syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) βŠ† ((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})))
14 baerlem3.m . . . . . 6 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
15 baerlem3.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
168, 9lmodvacl 20478 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
173, 5, 7, 16syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
188, 14lmodvsubcl 20509 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍)) ∈ 𝑉)
193, 15, 17, 18syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍)) ∈ 𝑉)
208, 14, 10, 3, 19, 15lspsnsub 20610 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{((𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍)) βˆ’ 𝑋)}) = (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍)))}))
21 lmodabl 20511 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
223, 21syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Abel)
238, 14, 22, 15, 17ablnncan 19682 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) = (π‘Œ + 𝑍))
2423sneqd 4639 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {(𝑋 βˆ’ (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍)))} = {(π‘Œ + 𝑍)})
2524fveq2d 6892 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍)))}) = (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
2620, 25eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{((𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍)) βˆ’ 𝑋)}) = (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
278, 14, 11, 10lspsntrim 20701 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍)) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{((𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍)) βˆ’ 𝑋)}) βŠ† ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
283, 19, 15, 27syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{((𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍)) βˆ’ 𝑋)}) βŠ† ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
2926, 28eqsstrrd 4020 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) βŠ† ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
3013, 29ssind 4231 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) βŠ† (((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))))
31 elin 3963 . . . . 5 (𝑗 ∈ (((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ↔ (𝑗 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))))
32 baerlem3.r . . . . . . 7 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
33 baerlem3.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
34 baerlem3.t . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
358, 9, 32, 33, 34, 11, 10, 3, 5, 7lsmspsn 20687 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))))
368, 9, 32, 33, 34, 11, 10, 3, 19, 15lsmspsn 20687 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))))
3735, 36anbi12d 631 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑗 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋)))))
3831, 37bitrid 282 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ (((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋)))))
39 baerlem3.o . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜π‘Š)
40 simp11 1203 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ πœ‘)
4140, 1syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
4240, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
43 baerlem3.c . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
4440, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
45 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
4640, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
4740, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
4840, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
49 baerlem3.a . . . . . . . . . . 11 ⨣ = (+gβ€˜π‘…)
50 baerlem3.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (-gβ€˜π‘…)
51 baerlem3.q . . . . . . . . . . 11 𝑄 = (0gβ€˜π‘…)
52 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = (invgβ€˜π‘…)
53 simp12l 1286 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
54 simp12r 1287 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
55 simp2l 1199 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐡)
56 simp2r 1200 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
57 simp13 1205 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)))
58 simp3 1138 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋)))
598, 14, 39, 11, 10, 41, 42, 44, 46, 47, 48, 9, 34, 32, 33, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58baerlem5blem1 40568 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ 𝑗 = ((πΌβ€˜π‘‘) Β· (π‘Œ + 𝑍)))
6040, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
6132lmodring 20471 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
62 ringgrp 20054 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
6340, 3, 61, 624syl 19 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
6433, 52grpinvcl 18868 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘‘) ∈ 𝐡)
6563, 55, 64syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ (πΌβ€˜π‘‘) ∈ 𝐡)
6640, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
678, 34, 32, 33, 10, 60, 65, 66lspsneli 20604 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ ((πΌβ€˜π‘‘) Β· (π‘Œ + 𝑍)) ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
6859, 67eqeltrd 2833 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ 𝑗 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
69683exp 1119 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋)) β†’ 𝑗 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))))
7069rexlimdvv 3210 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋)) β†’ 𝑗 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)})))
71703exp 1119 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋)) β†’ 𝑗 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)})))))
7271rexlimdvv 3210 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋)) β†’ 𝑗 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))))
7372impd 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ 𝑗 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)})))
7438, 73sylbid 239 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ (((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ 𝑗 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)})))
7574ssrdv 3987 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) βŠ† (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
7630, 75eqssd 3998 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) = (((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  {csn 4627  {cpr 4629  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381  Grpcgrp 18815  invgcminusg 18816  -gcsg 18817  LSSumclsm 19496  Abelcabl 19643  Ringcrg 20049  LModclmod 20463  LSpanclspn 20574  LVecclvec 20705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706
This theorem is referenced by:  baerlem5b  40574
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