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Theorem baerlem5blem2 37861
Description: Lemma for baerlem5b 37864. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m = (-g𝑊)
baerlem3.o 0 = (0g𝑊)
baerlem3.s = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x (𝜑𝑋𝑉)
baerlem3.c (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p + = (+g𝑊)
baerlem3.t · = ( ·𝑠𝑊)
baerlem3.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a = (+g𝑅)
baerlem3.l 𝐿 = (-g𝑅)
baerlem3.q 𝑄 = (0g𝑅)
baerlem3.i 𝐼 = (invg𝑅)
Assertion
Ref Expression
baerlem5blem2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋}))))

Proof of Theorem baerlem5blem2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 baerlem3.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19501 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 baerlem3.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
54eldifad 3803 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
6 baerlem3.z . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
76eldifad 3803 . . . 4 (𝜑𝑍𝑉)
8 baerlem3.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 baerlem3.p . . . . 5 + = (+g𝑊)
10 baerlem3.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
11 baerlem3.s . . . . 5 = (LSSum‘𝑊)
128, 9, 10, 11lspsntri 19492 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})))
133, 5, 7, 12syl3anc 1439 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})))
14 baerlem3.m . . . . . 6 = (-g𝑊)
15 baerlem3.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
168, 9lmodvacl 19269 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
173, 5, 7, 16syl3anc 1439 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
188, 14lmodvsubcl 19300 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑋 (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
193, 15, 17, 18syl3anc 1439 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
208, 14, 10, 3, 19, 15lspsnsub 19402 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 (𝑌 + 𝑍)) 𝑋)}) = (𝑁‘{(𝑋 (𝑋 (𝑌 + 𝑍)))}))
21 lmodabl 19302 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
223, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
238, 14, 22, 15, 17ablnncan 18612 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) = (𝑌 + 𝑍))
2423sneqd 4409 . . . . . 6 (𝜑 → {(𝑋 (𝑋 (𝑌 + 𝑍)))} = {(𝑌 + 𝑍)})
2524fveq2d 6450 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑋 (𝑌 + 𝑍)))}) = (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
2620, 25eqtrd 2813 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 (𝑌 + 𝑍)) 𝑋)}) = (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
278, 14, 11, 10lspsntrim 19493 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉𝑋𝑉) → (𝑁‘{((𝑋 (𝑌 + 𝑍)) 𝑋)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋})))
283, 19, 15, 27syl3anc 1439 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 (𝑌 + 𝑍)) 𝑋)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋})))
2926, 28eqsstr3d 3858 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋})))
3013, 29ssind 4056 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋}))))
31 elin 4018 . . . . 5 (𝑗 ∈ (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋}))) ↔ (𝑗 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋}))))
32 baerlem3.r . . . . . . 7 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
33 baerlem3.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
34 baerlem3.t . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑊)
358, 9, 32, 33, 34, 11, 10, 3, 5, 7lsmspsn 19479 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
368, 9, 32, 33, 34, 11, 10, 3, 19, 15lsmspsn 19479 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))))
3735, 36anbi12d 624 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋}))) ↔ (∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))))
3831, 37syl5bb 275 . . . 4 (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋}))) ↔ (∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))))
39 baerlem3.o . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑊)
40 simp11 1217 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝜑)
4140, 1syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑊 ∈ LVec)
4240, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑋𝑉)
43 baerlem3.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
4440, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
45 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
4640, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
4740, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4840, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
49 baerlem3.a . . . . . . . . . . 11 = (+g𝑅)
50 baerlem3.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (-g𝑅)
51 baerlem3.q . . . . . . . . . . 11 𝑄 = (0g𝑅)
52 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = (invg𝑅)
53 simp12l 1342 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑎𝐵)
54 simp12r 1343 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑏𝐵)
55 simp2l 1213 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑑𝐵)
56 simp2r 1214 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑒𝐵)
57 simp13 1219 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
58 simp3 1129 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
598, 14, 39, 11, 10, 41, 42, 44, 46, 47, 48, 9, 34, 32, 33, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58baerlem5blem1 37858 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑗 = ((𝐼𝑑) · (𝑌 + 𝑍)))
6040, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑊 ∈ LMod)
6132lmodring 19263 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
62 ringgrp 18939 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6340, 3, 61, 624syl 19 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑅 ∈ Grp)
6433, 52grpinvcl 17854 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑𝐵) → (𝐼𝑑) ∈ 𝐵)
6563, 55, 64syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → (𝐼𝑑) ∈ 𝐵)
6640, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
678, 34, 32, 33, 10, 60, 65, 66lspsneli 19396 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → ((𝐼𝑑) · (𝑌 + 𝑍)) ∈ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
6859, 67eqeltrd 2858 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
69683exp 1109 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) → ((𝑑𝐵𝑒𝐵) → (𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))))
7069rexlimdvv 3219 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) → (∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})))
71703exp 1109 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})))))
7271rexlimdvv 3219 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))))
7372impd 400 . . . 4 (𝜑 → ((∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})))
7438, 73sylbid 232 . . 3 (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})))
7574ssrdv 3826 . 2 (𝜑 → (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋}))) ⊆ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
7630, 75eqssd 3837 1 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  wne 2968  wrex 3090  cdif 3788  cin 3790  wss 3791  {csn 4397  {cpr 4399  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  +gcplusg 16338  Scalarcsca 16341   ·𝑠 cvsca 16342  0gc0g 16486  Grpcgrp 17809  invgcminusg 17810  -gcsg 17811  LSSumclsm 18433  Abelcabl 18580  Ringcrg 18934  LModclmod 19255  LSpanclspn 19366  LVecclvec 19497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-cntz 18133  df-lsm 18435  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-drng 19141  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-lvec 19498
This theorem is referenced by:  baerlem5b  37864
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