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Theorem baerlem5blem2 41073
Description: Lemma for baerlem5b 41076. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
baerlem3.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
baerlem3.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
baerlem3.s βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
baerlem3.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
baerlem3.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
baerlem3.d (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
baerlem3.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
baerlem3.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
baerlem3.p + = (+gβ€˜π‘Š)
baerlem3.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
baerlem3.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
baerlem3.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
baerlem3.a ⨣ = (+gβ€˜π‘…)
baerlem3.l 𝐿 = (-gβ€˜π‘…)
baerlem3.q 𝑄 = (0gβ€˜π‘…)
baerlem3.i 𝐼 = (invgβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
baerlem5blem2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) = (((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))))
Proof of Theorem baerlem5blem2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑑 𝑒 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 baerlem3.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 lveclmod 20944 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 baerlem3.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
54eldifad 3952 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
6 baerlem3.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
76eldifad 3952 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
8 baerlem3.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
9 baerlem3.p . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘Š)
10 baerlem3.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
11 baerlem3.s . . . . 5 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
128, 9, 10, 11lspsntri 20935 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) βŠ† ((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})))
133, 5, 7, 12syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) βŠ† ((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})))
14 baerlem3.m . . . . . 6 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
15 baerlem3.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
168, 9lmodvacl 20711 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
173, 5, 7, 16syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
188, 14lmodvsubcl 20743 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍)) ∈ 𝑉)
193, 15, 17, 18syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍)) ∈ 𝑉)
208, 14, 10, 3, 19, 15lspsnsub 20844 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{((𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍)) βˆ’ 𝑋)}) = (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍)))}))
21 lmodabl 20745 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
223, 21syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Abel)
238, 14, 22, 15, 17ablnncan 19730 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) = (π‘Œ + 𝑍))
2423sneqd 4632 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {(𝑋 βˆ’ (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍)))} = {(π‘Œ + 𝑍)})
2524fveq2d 6885 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍)))}) = (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
2620, 25eqtrd 2764 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{((𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍)) βˆ’ 𝑋)}) = (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
278, 14, 11, 10lspsntrim 20936 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍)) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{((𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍)) βˆ’ 𝑋)}) βŠ† ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
283, 19, 15, 27syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{((𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍)) βˆ’ 𝑋)}) βŠ† ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
2926, 28eqsstrrd 4013 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) βŠ† ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
3013, 29ssind 4224 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) βŠ† (((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))))
31 elin 3956 . . . . 5 (𝑗 ∈ (((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ↔ (𝑗 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))))
32 baerlem3.r . . . . . . 7 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
33 baerlem3.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
34 baerlem3.t . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
358, 9, 32, 33, 34, 11, 10, 3, 5, 7lsmspsn 20922 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))))
368, 9, 32, 33, 34, 11, 10, 3, 19, 15lsmspsn 20922 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))))
3735, 36anbi12d 630 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑗 ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋)))))
3831, 37bitrid 283 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ (((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋)))))
39 baerlem3.o . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜π‘Š)
40 simp11 1200 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ πœ‘)
4140, 1syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
4240, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
43 baerlem3.c . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
4440, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
45 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
4640, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
4740, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
4840, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
49 baerlem3.a . . . . . . . . . . 11 ⨣ = (+gβ€˜π‘…)
50 baerlem3.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (-gβ€˜π‘…)
51 baerlem3.q . . . . . . . . . . 11 𝑄 = (0gβ€˜π‘…)
52 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = (invgβ€˜π‘…)
53 simp12l 1283 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
54 simp12r 1284 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
55 simp2l 1196 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐡)
56 simp2r 1197 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
57 simp13 1202 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)))
58 simp3 1135 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋)))
598, 14, 39, 11, 10, 41, 42, 44, 46, 47, 48, 9, 34, 32, 33, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58baerlem5blem1 41070 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ 𝑗 = ((πΌβ€˜π‘‘) Β· (π‘Œ + 𝑍)))
6040, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
6132lmodring 20704 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
62 ringgrp 20133 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
6340, 3, 61, 624syl 19 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
6433, 52grpinvcl 18907 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘‘) ∈ 𝐡)
6563, 55, 64syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ (πΌβ€˜π‘‘) ∈ 𝐡)
6640, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
678, 34, 32, 33, 10, 60, 65, 66lspsneli 20838 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ ((πΌβ€˜π‘‘) Β· (π‘Œ + 𝑍)) ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
6859, 67eqeltrd 2825 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ 𝑗 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
69683exp 1116 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋)) β†’ 𝑗 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))))
7069rexlimdvv 3202 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋)) β†’ 𝑗 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)})))
71703exp 1116 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋)) β†’ 𝑗 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)})))))
7271rexlimdvv 3202 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋)) β†’ 𝑗 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))))
7372impd 410 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))) + (𝑒 Β· 𝑋))) β†’ 𝑗 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)})))
7438, 73sylbid 239 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ (((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ 𝑗 ∈ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)})))
7574ssrdv 3980 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) βŠ† (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
7630, 75eqssd 3991 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) = (((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) ∩ ((π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))}) βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆƒwrex 3062   βˆ– cdif 3937   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  {csn 4620  {cpr 4622  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  0gc0g 17384  Grpcgrp 18853  invgcminusg 18854  -gcsg 18855  LSSumclsm 19544  Abelcabl 19691  Ringcrg 20128  LModclmod 20696  LSpanclspn 20808  LVecclvec 20940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17386  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-drng 20579  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-lsp 20809  df-lvec 20941
This theorem is referenced by:  baerlem5b  41076
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