Theorem nncan 11515

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nncan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsub2 11514	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)))
2	1	3anidm12 1446	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)))
3		pncan3 11493	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	2, 3	eqtrd 2797	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  ℂcc 11126   + caddc 11131   − cmin 11469

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276  df-sub 11471

This theorem is used by:  nnncan1  11522  nncand  11602  elz2  12637  fzrev2  13647  fzrevral  13671  fzrevral2  13672  bccmpl  14377  revrev  14840  fsumrev  15869  geolim2  15964  dvdssub2  16397  efgredleme  19876  psrcom  22188  psropprmul  22468  icccvx  25184  lebnumii  25200  pcorevlem  25260  pcorev2  25262  pi1xfrcnv  25291  efcvx  26692  cosne0  26774  logtayl  26905  logtayl2  26907  logccv  26908  acoscos  27138  sinacos  27150  cvxcl  27229  scvxcvx  27230  basellem5  27329  logfacbnd3  27467  bposlem1  27528  gausslemma2dlem1a  27609  lgsquadlem2  27625  chtppilimlem2  27718  rplogsumlem1  27728  rpvmasumlem  27731  brbtwn2  29370  ax5seglem1  29393  resconn  35833  dvasin  38461  fouriersw  47067  subsubelfzo0  48223  minusmod5ne  48251