Theorem nncan 11519

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nncan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsub2 11518	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)))
2	1	3anidm12 1417	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)))
3		pncan3 11498	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
4	2, 3	eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7420  ℂcc 11136   + caddc 11141   − cmin 11474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-ltxr 11283  df-sub 11476

This theorem is referenced by:  nnncan1  11526  nncand  11606  elz2  12606  fzrev2  13597  fzrevral  13618  fzrevral2  13619  bccmpl  14300  revrev  14749  fsumrev  15757  geolim2  15849  dvdssub2  16277  efgredleme  19697  psrcom  21910  psropprmul  22155  icccvx  24874  lebnumii  24891  pcorevlem  24952  pcorev2  24954  pi1xfrcnv  24983  efcvx  26385  cosne0  26462  logtayl  26593  logtayl2  26595  logccv  26596  acoscos  26824  sinacos  26836  cvxcl  26916  scvxcvx  26917  basellem5  27016  logfacbnd3  27155  bposlem1  27216  gausslemma2dlem1a  27297  lgsquadlem2  27313  chtppilimlem2  27406  rplogsumlem1  27416  rpvmasumlem  27419  brbtwn2  28715  ax5seglem1  28738  resconn  34856  dvasin  37177  fouriersw  45619  subsubelfzo0  46706