Theorem ngpinvds 24534

Description: Two elements are the same distance apart as their inverses. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngpinvds.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpinvds.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
ngpinvds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ngpinvds	⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝐵)) = (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem ngpinvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpinvds.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
3		ngpinvds.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
4		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Abel)
5		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
6		simprl 770	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ablsub2inv 19722	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐼‘𝐵)(-g‘𝐺)(𝐼‘𝐴)) = (𝐴(-g‘𝐺)𝐵))
8	7	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((norm‘𝐺)‘((𝐼‘𝐵)(-g‘𝐺)(𝐼‘𝐴))) = ((norm‘𝐺)‘(𝐴(-g‘𝐺)𝐵)))
9		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
10		ngpgrp 24520	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
12	1, 3	grpinvcl 18901	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐼‘𝐴) ∈ 𝑋)
13	11, 6, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐼‘𝐴) ∈ 𝑋)
14	1, 3	grpinvcl 18901	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐼‘𝐵) ∈ 𝑋)
15	11, 5, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐼‘𝐵) ∈ 𝑋)
16		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
17		ngpinvds.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
18	16, 1, 2, 17	ngpdsr 24526	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐼‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐼‘𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝐵)) = ((norm‘𝐺)‘((𝐼‘𝐵)(-g‘𝐺)(𝐼‘𝐴))))
19	9, 13, 15, 18	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝐵)) = ((norm‘𝐺)‘((𝐼‘𝐵)(-g‘𝐺)(𝐼‘𝐴))))
20	16, 1, 2, 17	ngpds 24525	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = ((norm‘𝐺)‘(𝐴(-g‘𝐺)𝐵)))
21	9, 6, 5, 20	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) = ((norm‘𝐺)‘(𝐴(-g‘𝐺)𝐵)))
22	8, 19, 21	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝐵)) = (𝐴𝐷𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  distcds 17205  Grpcgrp 18847  inv_gcminusg 18848  -_gcsg 18849  Abelcabl 19695  normcnm 24497  NrmGrpcngp 24498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-0g 17380  df-topgen 17382  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22866  df-xms 24241  df-ms 24242  df-nm 24503  df-ngp 24504

This theorem is referenced by:  ngptgp  24557