MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpinvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ngpinvds 23149
Description: Two elements are the same distance apart as their inverses. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpinvds.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpinvds.i 𝐼 = (invg𝐺)
ngpinvds.d 𝐷 = (dist‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
ngpinvds (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝐵)) = (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem ngpinvds
StepHypRef Expression
1 ngpinvds.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2818 . . . 4 (-g𝐺) = (-g𝐺)
3 ngpinvds.i . . . 4 𝐼 = (invg𝐺)
4 simplr 765 . . . 4 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐺 ∈ Abel)
5 simprr 769 . . . 4 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐵𝑋)
6 simprl 767 . . . 4 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐴𝑋)
71, 2, 3, 4, 5, 6ablsub2inv 18860 . . 3 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐼𝐵)(-g𝐺)(𝐼𝐴)) = (𝐴(-g𝐺)𝐵))
87fveq2d 6667 . 2 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((norm‘𝐺)‘((𝐼𝐵)(-g𝐺)(𝐼𝐴))) = ((norm‘𝐺)‘(𝐴(-g𝐺)𝐵)))
9 simpll 763 . . 3 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
10 ngpgrp 23135 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
119, 10syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
121, 3grpinvcl 18089 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐼𝐴) ∈ 𝑋)
1311, 6, 12syl2anc 584 . . 3 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐼𝐴) ∈ 𝑋)
141, 3grpinvcl 18089 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑋) → (𝐼𝐵) ∈ 𝑋)
1511, 5, 14syl2anc 584 . . 3 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐼𝐵) ∈ 𝑋)
16 eqid 2818 . . . 4 (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
17 ngpinvds.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝐺)
1816, 1, 2, 17ngpdsr 23141 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐼𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐼𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝐵)) = ((norm‘𝐺)‘((𝐼𝐵)(-g𝐺)(𝐼𝐴))))
199, 13, 15, 18syl3anc 1363 . 2 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝐵)) = ((norm‘𝐺)‘((𝐼𝐵)(-g𝐺)(𝐼𝐴))))
2016, 1, 2, 17ngpds 23140 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = ((norm‘𝐺)‘(𝐴(-g𝐺)𝐵)))
219, 6, 5, 20syl3anc 1363 . 2 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) = ((norm‘𝐺)‘(𝐴(-g𝐺)𝐵)))
228, 19, 213eqtr4d 2863 1 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝐵)) = (𝐴𝐷𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  distcds 16562  Grpcgrp 18041  invgcminusg 18042  -gcsg 18043  Abelcabl 18836  normcnm 23113  NrmGrpcngp 23114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-0g 16703  df-topgen 16705  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-xms 22857  df-ms 22858  df-nm 23119  df-ngp 23120
This theorem is referenced by:  ngptgp  23172
  Copyright terms: Public domain W3C validator