Theorem ngpinvds 23840

Description: Two elements are the same distance apart as their inverses. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngpinvds.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpinvds.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
ngpinvds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ngpinvds	⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝐵)) = (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem ngpinvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpinvds.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
3		ngpinvds.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
4		simplr 766	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Abel)
5		simprr 770	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
6		simprl 768	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ablsub2inv 19479	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐼‘𝐵)(-g‘𝐺)(𝐼‘𝐴)) = (𝐴(-g‘𝐺)𝐵))
8	7	fveq2d 6813	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((norm‘𝐺)‘((𝐼‘𝐵)(-g‘𝐺)(𝐼‘𝐴))) = ((norm‘𝐺)‘(𝐴(-g‘𝐺)𝐵)))
9		simpll 764	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
10		ngpgrp 23826	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
12	1, 3	grpinvcl 18694	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐼‘𝐴) ∈ 𝑋)
13	11, 6, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐼‘𝐴) ∈ 𝑋)
14	1, 3	grpinvcl 18694	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐼‘𝐵) ∈ 𝑋)
15	11, 5, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐼‘𝐵) ∈ 𝑋)
16		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
17		ngpinvds.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
18	16, 1, 2, 17	ngpdsr 23832	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐼‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐼‘𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝐵)) = ((norm‘𝐺)‘((𝐼‘𝐵)(-g‘𝐺)(𝐼‘𝐴))))
19	9, 13, 15, 18	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝐵)) = ((norm‘𝐺)‘((𝐼‘𝐵)(-g‘𝐺)(𝐼‘𝐴))))
20	16, 1, 2, 17	ngpds 23831	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = ((norm‘𝐺)‘(𝐴(-g‘𝐺)𝐵)))
21	9, 6, 5, 20	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) = ((norm‘𝐺)‘(𝐴(-g‘𝐺)𝐵)))
22	8, 19, 21	3eqtr4d 2787	1 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝐵)) = (𝐴𝐷𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6463  (class class class)co 7313  Basecbs 16979  distcds 17038  Grpcgrp 18644  inv_gcminusg 18645  -_gcsg 18646  Abelcabl 19454  normcnm 23803  NrmGrpcngp 23804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018  ax-pre-sup 11019

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-er 8544  df-map 8663  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-sup 9269  df-inf 9270  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-div 11703  df-nn 12044  df-2 12106  df-n0 12304  df-z 12390  df-uz 12653  df-q 12759  df-rp 12801  df-xneg 12918  df-xadd 12919  df-xmul 12920  df-0g 17219  df-topgen 17221  df-mgm 18393  df-sgrp 18442  df-mnd 18453  df-grp 18647  df-minusg 18648  df-sbg 18649  df-cmn 19455  df-abl 19456  df-psmet 20660  df-xmet 20661  df-met 20662  df-bl 20663  df-mopn 20664  df-top 22114  df-topon 22131  df-topsp 22153  df-bases 22167  df-xms 23544  df-ms 23545  df-nm 23809  df-ngp 23810

This theorem is referenced by:  ngptgp  23863