Theorem ngpinvds 23769

Description: Two elements are the same distance apart as their inverses. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngpinvds.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpinvds.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
ngpinvds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ngpinvds	⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝐵)) = (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem ngpinvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpinvds.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
3		ngpinvds.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
4		simplr 766	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Abel)
5		simprr 770	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
6		simprl 768	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ablsub2inv 19412	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐼‘𝐵)(-g‘𝐺)(𝐼‘𝐴)) = (𝐴(-g‘𝐺)𝐵))
8	7	fveq2d 6778	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((norm‘𝐺)‘((𝐼‘𝐵)(-g‘𝐺)(𝐼‘𝐴))) = ((norm‘𝐺)‘(𝐴(-g‘𝐺)𝐵)))
9		simpll 764	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
10		ngpgrp 23755	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
12	1, 3	grpinvcl 18627	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐼‘𝐴) ∈ 𝑋)
13	11, 6, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐼‘𝐴) ∈ 𝑋)
14	1, 3	grpinvcl 18627	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐼‘𝐵) ∈ 𝑋)
15	11, 5, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐼‘𝐵) ∈ 𝑋)
16		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
17		ngpinvds.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
18	16, 1, 2, 17	ngpdsr 23761	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐼‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐼‘𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝐵)) = ((norm‘𝐺)‘((𝐼‘𝐵)(-g‘𝐺)(𝐼‘𝐴))))
19	9, 13, 15, 18	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝐵)) = ((norm‘𝐺)‘((𝐼‘𝐵)(-g‘𝐺)(𝐼‘𝐴))))
20	16, 1, 2, 17	ngpds 23760	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = ((norm‘𝐺)‘(𝐴(-g‘𝐺)𝐵)))
21	9, 6, 5, 20	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) = ((norm‘𝐺)‘(𝐴(-g‘𝐺)𝐵)))
22	8, 19, 21	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝐵)) = (𝐴𝐷𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  distcds 16971  Grpcgrp 18577  inv_gcminusg 18578  -_gcsg 18579  Abelcabl 19387  normcnm 23732  NrmGrpcngp 23733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-0g 17152  df-topgen 17154  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-xms 23473  df-ms 23474  df-nm 23738  df-ngp 23739

This theorem is referenced by:  ngptgp  23792