MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpinvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ngpinvds 24640
Description: Two elements are the same distance apart as their inverses. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpinvds.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpinvds.i 𝐼 = (invg𝐺)
ngpinvds.d 𝐷 = (dist‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
ngpinvds (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝐵)) = (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem ngpinvds
StepHypRef Expression
1 ngpinvds.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2734 . . . 4 (-g𝐺) = (-g𝐺)
3 ngpinvds.i . . . 4 𝐼 = (invg𝐺)
4 simplr 768 . . . 4 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐺 ∈ Abel)
5 simprr 772 . . . 4 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐵𝑋)
6 simprl 770 . . . 4 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐴𝑋)
71, 2, 3, 4, 5, 6ablsub2inv 19845 . . 3 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐼𝐵)(-g𝐺)(𝐼𝐴)) = (𝐴(-g𝐺)𝐵))
87fveq2d 6923 . 2 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((norm‘𝐺)‘((𝐼𝐵)(-g𝐺)(𝐼𝐴))) = ((norm‘𝐺)‘(𝐴(-g𝐺)𝐵)))
9 simpll 766 . . 3 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
10 ngpgrp 24626 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
119, 10syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
121, 3grpinvcl 19022 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐼𝐴) ∈ 𝑋)
1311, 6, 12syl2anc 583 . . 3 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐼𝐴) ∈ 𝑋)
141, 3grpinvcl 19022 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑋) → (𝐼𝐵) ∈ 𝑋)
1511, 5, 14syl2anc 583 . . 3 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐼𝐵) ∈ 𝑋)
16 eqid 2734 . . . 4 (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
17 ngpinvds.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝐺)
1816, 1, 2, 17ngpdsr 24632 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐼𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐼𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝐵)) = ((norm‘𝐺)‘((𝐼𝐵)(-g𝐺)(𝐼𝐴))))
199, 13, 15, 18syl3anc 1371 . 2 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝐵)) = ((norm‘𝐺)‘((𝐼𝐵)(-g𝐺)(𝐼𝐴))))
2016, 1, 2, 17ngpds 24631 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = ((norm‘𝐺)‘(𝐴(-g𝐺)𝐵)))
219, 6, 5, 20syl3anc 1371 . 2 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) = ((norm‘𝐺)‘(𝐴(-g𝐺)𝐵)))
228, 19, 213eqtr4d 2784 1 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝐵)) = (𝐴𝐷𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2103  cfv 6572  (class class class)co 7445  Basecbs 17253  distcds 17315  Grpcgrp 18968  invgcminusg 18969  -gcsg 18970  Abelcabl 19818  normcnm 24603  NrmGrpcngp 24604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-er 8759  df-map 8882  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-sup 9507  df-inf 9508  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-q 13010  df-rp 13054  df-xneg 13171  df-xadd 13172  df-xmul 13173  df-0g 17496  df-topgen 17498  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-grp 18971  df-minusg 18972  df-sbg 18973  df-cmn 19819  df-abl 19820  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22914  df-topon 22931  df-topsp 22953  df-bases 22967  df-xms 24344  df-ms 24345  df-nm 24609  df-ngp 24610
This theorem is referenced by:  ngptgp  24663
  Copyright terms: Public domain W3C validator