Theorem cnambpcma 47893

Description: ((a-b)+c)-a = c-a holds for complex numbers a,b,c. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cnambpcma	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 − 𝐵) + 𝐶) − 𝐴) = (𝐶 − 𝐵))

Proof of Theorem cnambpcma

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 11431	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2	1	3adant3 1146	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
3		simp3 1152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
4		simp1 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	addsubd 11565	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 − 𝐵) + 𝐶) − 𝐴) = (((𝐴 − 𝐵) − 𝐴) + 𝐶))
6		simpl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
8	6, 7, 6	3jca 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
9	8	3adant3 1146	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
10		sub32 11467	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐴) = ((𝐴 − 𝐴) − 𝐵))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐴) = ((𝐴 − 𝐴) − 𝐵))
12	11	oveq1d 7413	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 − 𝐵) − 𝐴) + 𝐶) = (((𝐴 − 𝐴) − 𝐵) + 𝐶))
13		subcl 11431	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐴) ∈ ℂ)
14	13	anidms 574	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 𝐴) ∈ ℂ)
15	14	3ad2ant1 1147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐴) ∈ ℂ)
16		simp2 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	15, 16, 3	subadd23d 11566	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 − 𝐴) − 𝐵) + 𝐶) = ((𝐴 − 𝐴) + (𝐶 − 𝐵)))
18		subid 11452	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 𝐴) = 0)
19	18	oveq1d 7413	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 𝐴) + (𝐶 − 𝐵)) = (0 + (𝐶 − 𝐵)))
20	19	3ad2ant1 1147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐴) + (𝐶 − 𝐵)) = (0 + (𝐶 − 𝐵)))
21		subcl 11431	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
22	21	ancoms 462	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
23	22	addlidd 11386	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (0 + (𝐶 − 𝐵)) = (𝐶 − 𝐵))
24	23	3adant1 1144	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (0 + (𝐶 − 𝐵)) = (𝐶 − 𝐵))
25	17, 20, 24	3eqtrd 2803	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 − 𝐴) − 𝐵) + 𝐶) = (𝐶 − 𝐵))
26	5, 12, 25	3eqtrd 2803	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 − 𝐵) + 𝐶) − 𝐴) = (𝐶 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7398  ℂcc 11073  0cc0 11075   + caddc 11078   − cmin 11416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-po 5557  df-so 5558  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-ltxr 11223  df-sub 11418

This theorem is referenced by: (None)