Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnambpcma Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnambpcma 43670
Description: ((a-b)+c)-a = c-a holds for complex numbers a,b,c. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
cnambpcma ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴𝐵) + 𝐶) − 𝐴) = (𝐶𝐵))

Proof of Theorem cnambpcma
StepHypRef Expression
1 subcl 10862 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
213adant3 1129 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
3 simp3 1135 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
4 simp1 1133 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
52, 3, 4addsubd 10995 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴𝐵) + 𝐶) − 𝐴) = (((𝐴𝐵) − 𝐴) + 𝐶))
6 simpl 486 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
7 simpr 488 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
86, 7, 63jca 1125 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
983adant3 1129 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
10 sub32 10897 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) − 𝐴) = ((𝐴𝐴) − 𝐵))
119, 10syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) − 𝐴) = ((𝐴𝐴) − 𝐵))
1211oveq1d 7145 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴𝐵) − 𝐴) + 𝐶) = (((𝐴𝐴) − 𝐵) + 𝐶))
13 subcl 10862 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴𝐴) ∈ ℂ)
1413anidms 570 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝐴) ∈ ℂ)
15143ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐴) ∈ ℂ)
16 simp2 1134 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
1715, 16, 3subadd23d 10996 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴𝐴) − 𝐵) + 𝐶) = ((𝐴𝐴) + (𝐶𝐵)))
18 subid 10882 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝐴) = 0)
1918oveq1d 7145 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝐴) + (𝐶𝐵)) = (0 + (𝐶𝐵)))
20193ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐴) + (𝐶𝐵)) = (0 + (𝐶𝐵)))
21 subcl 10862 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
2221ancoms 462 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
2322addid2d 10818 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (0 + (𝐶𝐵)) = (𝐶𝐵))
24233adant1 1127 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (0 + (𝐶𝐵)) = (𝐶𝐵))
2517, 20, 243eqtrd 2860 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴𝐴) − 𝐵) + 𝐶) = (𝐶𝐵))
265, 12, 253eqtrd 2860 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴𝐵) + 𝐶) − 𝐴) = (𝐶𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  (class class class)co 7130  cc 10512  0cc0 10514   + caddc 10517  cmin 10847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-ltxr 10657  df-sub 10849
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator