Theorem alephfplem2 10096

Description: Lemma for alephfp 10099. (Contributed by NM, 6-Nov-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
alephfplem.1	⊢ 𝐻 = (rec(ℵ, ω) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
alephfplem2	⊢ (𝑤 ∈ ω → (𝐻‘suc 𝑤) = (ℵ‘(𝐻‘𝑤)))

Distinct variable group:   𝑤,𝐻

Proof of Theorem alephfplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frsuc 8433	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ ω → ((rec(ℵ, ω) ↾ ω)‘suc 𝑤) = (ℵ‘((rec(ℵ, ω) ↾ ω)‘𝑤)))
2		alephfplem.1	. . 3 ⊢ 𝐻 = (rec(ℵ, ω) ↾ ω)
3	2	fveq1i 6889	. 2 ⊢ (𝐻‘suc 𝑤) = ((rec(ℵ, ω) ↾ ω)‘suc 𝑤)
4	2	fveq1i 6889	. . 3 ⊢ (𝐻‘𝑤) = ((rec(ℵ, ω) ↾ ω)‘𝑤)
5	4	fveq2i 6891	. 2 ⊢ (ℵ‘(𝐻‘𝑤)) = (ℵ‘((rec(ℵ, ω) ↾ ω)‘𝑤))
6	1, 3, 5	3eqtr4g 2797	1 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (𝐻‘suc 𝑤) = (ℵ‘(𝐻‘𝑤)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ↾ cres 5677  suc csuc 6363  ‘cfv 6540  ωcom 7851  reccrdg 8405  ℵcale 9927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406

This theorem is referenced by:  alephfplem3  10097  alephfp  10099