Theorem alephfplem2 10184

Description: Lemma for alephfp 10187. (Contributed by NM, 6-Nov-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
alephfplem.1	⊢ 𝐻 = (rec(ℵ, ω) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
alephfplem2	⊢ (𝑤 ∈ ω → (𝐻‘suc 𝑤) = (ℵ‘(𝐻‘𝑤)))

Distinct variable group:   𝑤,𝐻

Proof of Theorem alephfplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frsuc 8445	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ ω → ((rec(ℵ, ω) ↾ ω)‘suc 𝑤) = (ℵ‘((rec(ℵ, ω) ↾ ω)‘𝑤)))
2		alephfplem.1	. . 3 ⊢ 𝐻 = (rec(ℵ, ω) ↾ ω)
3	2	fveq1i 6886	. 2 ⊢ (𝐻‘suc 𝑤) = ((rec(ℵ, ω) ↾ ω)‘suc 𝑤)
4	2	fveq1i 6886	. . 3 ⊢ (𝐻‘𝑤) = ((rec(ℵ, ω) ↾ ω)‘𝑤)
5	4	fveq2i 6888	. 2 ⊢ (ℵ‘(𝐻‘𝑤)) = (ℵ‘((rec(ℵ, ω) ↾ ω)‘𝑤))
6	1, 3, 5	3eqtr4g 2820	1 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (𝐻‘suc 𝑤) = (ℵ‘(𝐻‘𝑤)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ↾ cres 5652  suc csuc 6364  ‘cfv 6538  ωcom 7877  reccrdg 8417  ℵcale 10017

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418

This theorem is used by:  alephfplem3  10185  alephfp  10187