Theorem alephfplem1 10149

Description: Lemma for alephfp 10153. (Contributed by NM, 6-Nov-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
alephfplem.1	⊢ 𝐻 = (rec(ℵ, ω) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
alephfplem1	⊢ (𝐻‘∅) ∈ ran ℵ

Proof of Theorem alephfplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9688	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
2		fr0g 8468	. . . 4 ⊢ (ω ∈ V → ((rec(ℵ, ω) ↾ ω)‘∅) = ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((rec(ℵ, ω) ↾ ω)‘∅) = ω
4		alephfplem.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (rec(ℵ, ω) ↾ ω)
5	4	fveq1i 6904	. . 3 ⊢ (𝐻‘∅) = ((rec(ℵ, ω) ↾ ω)‘∅)
6		aleph0 10111	. . 3 ⊢ (ℵ‘∅) = ω
7	3, 5, 6	3eqtr4i 2764	. 2 ⊢ (𝐻‘∅) = (ℵ‘∅)
8		alephfnon 10110	. . 3 ⊢ ℵ Fn On
9		0elon 6432	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
10		fnfvelrn 7096	. . 3 ⊢ ((ℵ Fn On ∧ ∅ ∈ On) → (ℵ‘∅) ∈ ran ℵ)
11	8, 9, 10	mp2an 690	. 2 ⊢ (ℵ‘∅) ∈ ran ℵ
12	7, 11	eqeltri 2822	1 ⊢ (𝐻‘∅) ∈ ran ℵ

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462  ∅c0 4325  ran crn 5685   ↾ cres 5686  Oncon0 6378   Fn wfn 6551  ‘cfv 6556  ωcom 7878  reccrdg 8441  ℵcale 9981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-inf2 9686

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-ov 7429  df-om 7879  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-aleph 9985

This theorem is referenced by:  alephfplem3  10151  alephfplem4  10152