Theorem alephfplem1 10018

Description: Lemma for alephfp 10022. (Contributed by NM, 6-Nov-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
alephfplem.1	⊢ 𝐻 = (rec(ℵ, ω) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
alephfplem1	⊢ (𝐻‘∅) ∈ ran ℵ

Proof of Theorem alephfplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9556	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
2		fr0g 8369	. . . 4 ⊢ (ω ∈ V → ((rec(ℵ, ω) ↾ ω)‘∅) = ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((rec(ℵ, ω) ↾ ω)‘∅) = ω
4		alephfplem.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (rec(ℵ, ω) ↾ ω)
5	4	fveq1i 6836	. . 3 ⊢ (𝐻‘∅) = ((rec(ℵ, ω) ↾ ω)‘∅)
6		aleph0 9980	. . 3 ⊢ (ℵ‘∅) = ω
7	3, 5, 6	3eqtr4i 2770	. 2 ⊢ (𝐻‘∅) = (ℵ‘∅)
8		alephfnon 9979	. . 3 ⊢ ℵ Fn On
9		0elon 6373	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
10		fnfvelrn 7027	. . 3 ⊢ ((ℵ Fn On ∧ ∅ ∈ On) → (ℵ‘∅) ∈ ran ℵ)
11	8, 9, 10	mp2an 693	. 2 ⊢ (ℵ‘∅) ∈ ran ℵ
12	7, 11	eqeltri 2833	1 ⊢ (𝐻‘∅) ∈ ran ℵ

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441  ∅c0 4286  ran crn 5626   ↾ cres 5627  Oncon0 6318   Fn wfn 6488  ‘cfv 6493  ωcom 7810  reccrdg 8342  ℵcale 9852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-aleph 9856

This theorem is referenced by:  alephfplem3  10020  alephfplem4  10021