Theorem alephfplem1 9326

Description: Lemma for alephfp 9330. (Contributed by NM, 6-Nov-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
alephfplem.1	⊢ 𝐻 = (rec(ℵ, ω) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
alephfplem1	⊢ (𝐻‘∅) ∈ ran ℵ

Proof of Theorem alephfplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 8902	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
2		fr0g 7877	. . . 4 ⊢ (ω ∈ V → ((rec(ℵ, ω) ↾ ω)‘∅) = ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((rec(ℵ, ω) ↾ ω)‘∅) = ω
4		alephfplem.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (rec(ℵ, ω) ↾ ω)
5	4	fveq1i 6502	. . 3 ⊢ (𝐻‘∅) = ((rec(ℵ, ω) ↾ ω)‘∅)
6		aleph0 9288	. . 3 ⊢ (ℵ‘∅) = ω
7	3, 5, 6	3eqtr4i 2812	. 2 ⊢ (𝐻‘∅) = (ℵ‘∅)
8		alephfnon 9287	. . 3 ⊢ ℵ Fn On
9		0elon 6084	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
10		fnfvelrn 6675	. . 3 ⊢ ((ℵ Fn On ∧ ∅ ∈ On) → (ℵ‘∅) ∈ ran ℵ)
11	8, 9, 10	mp2an 679	. 2 ⊢ (ℵ‘∅) ∈ ran ℵ
12	7, 11	eqeltri 2862	1 ⊢ (𝐻‘∅) ∈ ran ℵ

Syntax hints:   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  Vcvv 3415  ∅c0 4180  ran crn 5409   ↾ cres 5410  Oncon0 6031   Fn wfn 6185  ‘cfv 6190  ωcom 7398  reccrdg 7851  ℵcale 9161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-inf2 8900

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-om 7399  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-aleph 9165

This theorem is referenced by:  alephfplem3  9328  alephfplem4  9329