Theorem alephfplem1 10026

Description: Lemma for alephfp 10030. (Contributed by NM, 6-Nov-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
alephfplem.1	⊢ 𝐻 = (rec(ℵ, ω) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
alephfplem1	⊢ (𝐻‘∅) ∈ ran ℵ

Proof of Theorem alephfplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9564	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
2		fr0g 8375	. . . 4 ⊢ (ω ∈ V → ((rec(ℵ, ω) ↾ ω)‘∅) = ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((rec(ℵ, ω) ↾ ω)‘∅) = ω
4		alephfplem.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (rec(ℵ, ω) ↾ ω)
5	4	fveq1i 6842	. . 3 ⊢ (𝐻‘∅) = ((rec(ℵ, ω) ↾ ω)‘∅)
6		aleph0 9988	. . 3 ⊢ (ℵ‘∅) = ω
7	3, 5, 6	3eqtr4i 2770	. 2 ⊢ (𝐻‘∅) = (ℵ‘∅)
8		alephfnon 9987	. . 3 ⊢ ℵ Fn On
9		0elon 6379	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
10		fnfvelrn 7033	. . 3 ⊢ ((ℵ Fn On ∧ ∅ ∈ On) → (ℵ‘∅) ∈ ran ℵ)
11	8, 9, 10	mp2an 693	. 2 ⊢ (ℵ‘∅) ∈ ran ℵ
12	7, 11	eqeltri 2833	1 ⊢ (𝐻‘∅) ∈ ran ℵ

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ∅c0 4274  ran crn 5632   ↾ cres 5633  Oncon0 6324   Fn wfn 6494  ‘cfv 6499  ωcom 7817  reccrdg 8348  ℵcale 9860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-inf2 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-aleph 9864

This theorem is referenced by:  alephfplem3  10028  alephfplem4  10029