MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephfplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephfplem1 9326
Description: Lemma for alephfp 9330. (Contributed by NM, 6-Nov-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
alephfplem.1 𝐻 = (rec(ℵ, ω) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
alephfplem1 (𝐻‘∅) ∈ ran ℵ

Proof of Theorem alephfplem1
StepHypRef Expression
1 omex 8902 . . . 4 ω ∈ V
2 fr0g 7877 . . . 4 (ω ∈ V → ((rec(ℵ, ω) ↾ ω)‘∅) = ω)
31, 2ax-mp 5 . . 3 ((rec(ℵ, ω) ↾ ω)‘∅) = ω
4 alephfplem.1 . . . 4 𝐻 = (rec(ℵ, ω) ↾ ω)
54fveq1i 6502 . . 3 (𝐻‘∅) = ((rec(ℵ, ω) ↾ ω)‘∅)
6 aleph0 9288 . . 3 (ℵ‘∅) = ω
73, 5, 63eqtr4i 2812 . 2 (𝐻‘∅) = (ℵ‘∅)
8 alephfnon 9287 . . 3 ℵ Fn On
9 0elon 6084 . . 3 ∅ ∈ On
10 fnfvelrn 6675 . . 3 ((ℵ Fn On ∧ ∅ ∈ On) → (ℵ‘∅) ∈ ran ℵ)
118, 9, 10mp2an 679 . 2 (ℵ‘∅) ∈ ran ℵ
127, 11eqeltri 2862 1 (𝐻‘∅) ∈ ran ℵ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1507  wcel 2050  Vcvv 3415  c0 4180  ran crn 5409  cres 5410  Oncon0 6031   Fn wfn 6185  cfv 6190  ωcom 7398  reccrdg 7851  cale 9161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-inf2 8900
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-om 7399  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-aleph 9165
This theorem is referenced by:  alephfplem3  9328  alephfplem4  9329
  Copyright terms: Public domain W3C validator