Theorem trlnle 37482

Description: The atom not under the fiducial co-atom 𝑊 is not less than the trace of a lattice translation. Part of proof of Lemma C in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 26-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlne.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
trlne.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlne.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlne.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlne.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlnle	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑅‘𝐹))

Proof of Theorem trlnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1l 1221	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑃) = 𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
2		hlatl 36656	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑃) = 𝑃) → 𝐾 ∈ AtLat)
4		simpl3l 1225	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑃) = 𝑃) → 𝑃 ∈ 𝐴)
5		trlne.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7		trlne.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	5, 6, 7	atnle0 36605	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃 ≤ (0.‘𝐾))
9	3, 4, 8	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑃) = 𝑃) → ¬ 𝑃 ≤ (0.‘𝐾))
10		simpl1 1188	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑃) = 𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		simpl3 1190	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑃) = 𝑃) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
12		simpl2 1189	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑃) = 𝑃) → 𝐹 ∈ 𝑇)
13		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑃) = 𝑃) → (𝐹‘𝑃) = 𝑃)
14		trlne.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15		trlne.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
16		trlne.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
17	5, 6, 7, 14, 15, 16	trl0 37466	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) = 𝑃)) → (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾))
18	10, 11, 12, 13, 17	syl112anc 1371	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑃) = 𝑃) → (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾))
19	18	breq2d 5042	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑃) = 𝑃) → (𝑃 ≤ (𝑅‘𝐹) ↔ 𝑃 ≤ (0.‘𝐾)))
20	9, 19	mtbird 328	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑃) = 𝑃) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑅‘𝐹))
21	5, 7, 14, 15, 16	trlne 37481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ≠ (𝑅‘𝐹))
22	21	adantr 484	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃) → 𝑃 ≠ (𝑅‘𝐹))
23		simpl1l 1221	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
24	23, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃) → 𝐾 ∈ AtLat)
25		simpl3l 1225	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃) → 𝑃 ∈ 𝐴)
26		simpl1 1188	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
27		simpl3 1190	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
28		simpl2 1189	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃) → 𝐹 ∈ 𝑇)
29		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃) → (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)
30	5, 7, 14, 15, 16	trlat 37465	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
31	26, 27, 28, 29, 30	syl112anc 1371	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
32	5, 7	atncmp 36608	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ (𝑅‘𝐹) ↔ 𝑃 ≠ (𝑅‘𝐹)))
33	24, 25, 31, 32	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃) → (¬ 𝑃 ≤ (𝑅‘𝐹) ↔ 𝑃 ≠ (𝑅‘𝐹)))
34	22, 33	mpbird 260	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑅‘𝐹))
35	20, 34	pm2.61dane 3074	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑅‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  lecple 16564  0.cp0 17639  Atomscatm 36559  AtLatcal 36560  HLchlt 36646  LHypclh 37280  LTrncltrn 37397  trLctrl 37454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-map 8391  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36472  df-ol 36474  df-oml 36475  df-covers 36562  df-ats 36563  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647  df-lhyp 37284  df-laut 37285  df-ldil 37400  df-ltrn 37401  df-trl 37455

This theorem is referenced by:  cdlemc3  37489