Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlnle 39691
Description: The atom not under the fiducial co-atom π‘Š is not less than the trace of a lattice translation. Part of proof of Lemma C in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 26-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
trlne.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
trlne.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
trlne.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trlne.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trlne.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
trlnle (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ (π‘…β€˜πΉ))

Proof of Theorem trlnle
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1221 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 hlatl 38864 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
31, 2syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
4 simpl3l 1225 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
5 trlne.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 eqid 2728 . . . . 5 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
7 trlne.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
85, 6, 7atnle0 38813 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ (0.β€˜πΎ))
93, 4, 8syl2anc 582 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ (0.β€˜πΎ))
10 simpl1 1188 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
11 simpl3 1190 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
12 simpl2 1189 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
13 simpr 483 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃)
14 trlne.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
15 trlne.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
16 trlne.r . . . . . 6 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
175, 6, 7, 14, 15, 16trl0 39675 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ))
1810, 11, 12, 13, 17syl112anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ))
1918breq2d 5164 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑃 ≀ (π‘…β€˜πΉ) ↔ 𝑃 ≀ (0.β€˜πΎ)))
209, 19mtbird 324 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ (π‘…β€˜πΉ))
215, 7, 14, 15, 16trlne 39690 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 β‰  (π‘…β€˜πΉ))
2221adantr 479 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ 𝑃 β‰  (π‘…β€˜πΉ))
23 simpl1l 1221 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2423, 2syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
25 simpl3l 1225 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
26 simpl1 1188 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
27 simpl3 1190 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
28 simpl2 1189 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
29 simpr 483 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)
305, 7, 14, 15, 16trlat 39674 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
3126, 27, 28, 29, 30syl112anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
325, 7atncmp 38816 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ (π‘…β€˜πΉ) ↔ 𝑃 β‰  (π‘…β€˜πΉ)))
3324, 25, 31, 32syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ (π‘…β€˜πΉ) ↔ 𝑃 β‰  (π‘…β€˜πΉ)))
3422, 33mpbird 256 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ (π‘…β€˜πΉ))
3520, 34pm2.61dane 3026 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ (π‘…β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  lecple 17247  0.cp0 18422  Atomscatm 38767  AtLatcal 38768  HLchlt 38854  LHypclh 39489  LTrncltrn 39606  trLctrl 39663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-map 8853  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-lhyp 39493  df-laut 39494  df-ldil 39609  df-ltrn 39610  df-trl 39664
This theorem is referenced by:  cdlemc3  39698
  Copyright terms: Public domain W3C validator