Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlnle 39691
Description: The atom not under the fiducial co-atom 𝑊 is not less than the trace of a lattice translation. Part of proof of Lemma C in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 26-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
trlne.l = (le‘𝐾)
trlne.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlne.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlne.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlne.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlnle (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ¬ 𝑃 (𝑅𝐹))

Proof of Theorem trlnle
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1221 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
2 hlatl 38864 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
31, 2syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝐾 ∈ AtLat)
4 simpl3l 1225 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝑃𝐴)
5 trlne.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
6 eqid 2728 . . . . 5 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7 trlne.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
85, 6, 7atnle0 38813 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴) → ¬ 𝑃 (0.‘𝐾))
93, 4, 8syl2anc 582 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → ¬ 𝑃 (0.‘𝐾))
10 simpl1 1188 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
11 simpl3 1190 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
12 simpl2 1189 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝐹𝑇)
13 simpr 483 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝐹𝑃) = 𝑃)
14 trlne.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15 trlne.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
16 trlne.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
175, 6, 7, 14, 15, 16trl0 39675 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃)) → (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾))
1810, 11, 12, 13, 17syl112anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾))
1918breq2d 5164 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝑃 (𝑅𝐹) ↔ 𝑃 (0.‘𝐾)))
209, 19mtbird 324 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → ¬ 𝑃 (𝑅𝐹))
215, 7, 14, 15, 16trlne 39690 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃 ≠ (𝑅𝐹))
2221adantr 479 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → 𝑃 ≠ (𝑅𝐹))
23 simpl1l 1221 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
2423, 2syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → 𝐾 ∈ AtLat)
25 simpl3l 1225 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → 𝑃𝐴)
26 simpl1 1188 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
27 simpl3 1190 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
28 simpl2 1189 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → 𝐹𝑇)
29 simpr 483 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)
305, 7, 14, 15, 16trlat 39674 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
3126, 27, 28, 29, 30syl112anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
325, 7atncmp 38816 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 (𝑅𝐹) ↔ 𝑃 ≠ (𝑅𝐹)))
3324, 25, 31, 32syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → (¬ 𝑃 (𝑅𝐹) ↔ 𝑃 ≠ (𝑅𝐹)))
3422, 33mpbird 256 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → ¬ 𝑃 (𝑅𝐹))
3520, 34pm2.61dane 3026 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ¬ 𝑃 (𝑅𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937   class class class wbr 5152  cfv 6553  lecple 17247  0.cp0 18422  Atomscatm 38767  AtLatcal 38768  HLchlt 38854  LHypclh 39489  LTrncltrn 39606  trLctrl 39663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-map 8853  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-lhyp 39493  df-laut 39494  df-ldil 39609  df-ltrn 39610  df-trl 39664
This theorem is referenced by:  cdlemc3  39698
  Copyright terms: Public domain W3C validator