Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlnle 37192
Description: The atom not under the fiducial co-atom 𝑊 is not less than the trace of a lattice translation. Part of proof of Lemma C in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 26-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
trlne.l = (le‘𝐾)
trlne.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlne.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlne.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlne.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlnle (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ¬ 𝑃 (𝑅𝐹))

Proof of Theorem trlnle
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1218 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
2 hlatl 36366 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
31, 2syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝐾 ∈ AtLat)
4 simpl3l 1222 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝑃𝐴)
5 trlne.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
6 eqid 2826 . . . . 5 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7 trlne.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
85, 6, 7atnle0 36315 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴) → ¬ 𝑃 (0.‘𝐾))
93, 4, 8syl2anc 584 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → ¬ 𝑃 (0.‘𝐾))
10 simpl1 1185 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
11 simpl3 1187 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
12 simpl2 1186 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → 𝐹𝑇)
13 simpr 485 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝐹𝑃) = 𝑃)
14 trlne.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15 trlne.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
16 trlne.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
175, 6, 7, 14, 15, 16trl0 37176 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃)) → (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾))
1810, 11, 12, 13, 17syl112anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾))
1918breq2d 5075 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → (𝑃 (𝑅𝐹) ↔ 𝑃 (0.‘𝐾)))
209, 19mtbird 326 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = 𝑃) → ¬ 𝑃 (𝑅𝐹))
215, 7, 14, 15, 16trlne 37191 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃 ≠ (𝑅𝐹))
2221adantr 481 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → 𝑃 ≠ (𝑅𝐹))
23 simpl1l 1218 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
2423, 2syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → 𝐾 ∈ AtLat)
25 simpl3l 1222 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → 𝑃𝐴)
26 simpl1 1185 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
27 simpl3 1187 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
28 simpl2 1186 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → 𝐹𝑇)
29 simpr 485 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)
305, 7, 14, 15, 16trlat 37175 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
3126, 27, 28, 29, 30syl112anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
325, 7atncmp 36318 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 (𝑅𝐹) ↔ 𝑃 ≠ (𝑅𝐹)))
3324, 25, 31, 32syl3anc 1365 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → (¬ 𝑃 (𝑅𝐹) ↔ 𝑃 ≠ (𝑅𝐹)))
3422, 33mpbird 258 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → ¬ 𝑃 (𝑅𝐹))
3520, 34pm2.61dane 3109 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ¬ 𝑃 (𝑅𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021   class class class wbr 5063  cfv 6352  lecple 16562  0.cp0 17637  Atomscatm 36269  AtLatcal 36270  HLchlt 36356  LHypclh 36990  LTrncltrn 37107  trLctrl 37164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-map 8398  df-proset 17528  df-poset 17546  df-plt 17558  df-lub 17574  df-glb 17575  df-join 17576  df-meet 17577  df-p0 17639  df-p1 17640  df-lat 17646  df-clat 17708  df-oposet 36182  df-ol 36184  df-oml 36185  df-covers 36272  df-ats 36273  df-atl 36304  df-cvlat 36328  df-hlat 36357  df-lhyp 36994  df-laut 36995  df-ldil 37110  df-ltrn 37111  df-trl 37165
This theorem is referenced by:  cdlemc3  37199
  Copyright terms: Public domain W3C validator