Theorem cdlemg27b 40956

Description: TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 28-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg12.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemg12.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemg12.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg31.n	⊢ 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (𝑅‘𝐹)))

Assertion

Ref	Expression
cdlemg27b	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → ¬ (𝑅‘𝐹) ≤ (𝑄 ∨ 𝑧))

Proof of Theorem cdlemg27b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1204	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp12 1205	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
3		simp13 1206	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊))
4		simp22 1208	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊))
5		simp23l 1295	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
6		simp31 1210	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹))
7		cdlemg12.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
8		cdlemg12.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9		cdlemg12.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
10		cdlemg12.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11		cdlemg12.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
12		cdlemg12.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
13		cdlemg12b.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
14		cdlemg31.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (𝑅‘𝐹)))
15	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	cdlemg31b0a 40955	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 = (0.‘𝐾)))
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 15	syl132anc 1390	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 = (0.‘𝐾)))
17		simp23r 1296	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑧 ≠ 𝑁)
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 = (0.‘𝐾))) → 𝑧 ≠ 𝑁)
19		simp11l 1285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐾 ∈ HL)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
21		hlatl 39620	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
23		simpl21 1252	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
24		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) → 𝑁 ∈ 𝐴)
25	7, 10	atcmp 39571	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) → (𝑧 ≤ 𝑁 ↔ 𝑧 = 𝑁))
26	22, 23, 24, 25	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) → (𝑧 ≤ 𝑁 ↔ 𝑧 = 𝑁))
27	26	necon3bbid 2969	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑧 ≤ 𝑁 ↔ 𝑧 ≠ 𝑁))
28	19	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁 = (0.‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
29	28, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁 = (0.‘𝐾)) → 𝐾 ∈ AtLat)
30		simpl21 1252	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁 = (0.‘𝐾)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
31		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
32	7, 31, 10	atnle0 39569	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑧 ≤ (0.‘𝐾))
33	29, 30, 32	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁 = (0.‘𝐾)) → ¬ 𝑧 ≤ (0.‘𝐾))
34		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁 = (0.‘𝐾)) → 𝑁 = (0.‘𝐾))
35	34	breq2d 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁 = (0.‘𝐾)) → (𝑧 ≤ 𝑁 ↔ 𝑧 ≤ (0.‘𝐾)))
36	33, 35	mtbird 325	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁 = (0.‘𝐾)) → ¬ 𝑧 ≤ 𝑁)
37	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁 = (0.‘𝐾)) → 𝑧 ≠ 𝑁)
38	36, 37	2thd 265	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ 𝑁 = (0.‘𝐾)) → (¬ 𝑧 ≤ 𝑁 ↔ 𝑧 ≠ 𝑁))
39	27, 38	jaodan 959	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 = (0.‘𝐾))) → (¬ 𝑧 ≤ 𝑁 ↔ 𝑧 ≠ 𝑁))
40	18, 39	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 = (0.‘𝐾))) → ¬ 𝑧 ≤ 𝑁)
41	16, 40	mpdan 687	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → ¬ 𝑧 ≤ 𝑁)
42		simp32 1211	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣))
43	19	hllatd 39624	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐾 ∈ Lat)
44		simp21 1207	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
45		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
46	45, 10	atbase 39549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
47	44, 46	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
48		simp12l 1287	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
49		simp22l 1293	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑣 ∈ 𝐴)
50	45, 8, 10	hlatjcl 39627	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))
51	19, 48, 49, 50	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃 ∨ 𝑣) ∈ (Base‘𝐾))
52		simp13l 1289	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
53		simp33 1212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)
54	7, 10, 11, 12, 13	trlat 40429	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
55	1, 2, 5, 53, 54	syl112anc 1376	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
56	45, 8, 10	hlatjcl 39627	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ (𝑅‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
57	19, 52, 55, 56	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑄 ∨ (𝑅‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))
58	45, 7, 9	latlem12 18389	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑣) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ (𝑅‘𝐹)) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ 𝑧 ≤ (𝑄 ∨ (𝑅‘𝐹))) ↔ 𝑧 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (𝑅‘𝐹)))))
59	43, 47, 51, 57, 58	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ 𝑧 ≤ (𝑄 ∨ (𝑅‘𝐹))) ↔ 𝑧 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (𝑅‘𝐹)))))
60	14	breq2i 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ≤ 𝑁 ↔ 𝑧 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (𝑅‘𝐹))))
61	59, 60	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ 𝑧 ≤ (𝑄 ∨ (𝑅‘𝐹))) ↔ 𝑧 ≤ 𝑁))
62	61	biimpd 229	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ 𝑧 ≤ (𝑄 ∨ (𝑅‘𝐹))) → 𝑧 ≤ 𝑁))
63	42, 62	mpand 695	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑧 ≤ (𝑄 ∨ (𝑅‘𝐹)) → 𝑧 ≤ 𝑁))
64	41, 63	mtod 198	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → ¬ 𝑧 ≤ (𝑄 ∨ (𝑅‘𝐹)))
65	7, 11, 12, 13	trlle 40444	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑊)
66	1, 5, 65	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑊)
67		simp13r 1290	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)
68		nbrne2 5118	. . . 4 ⊢ (((𝑅‘𝐹) ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) → (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑄)
69	66, 67, 68	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑄)
70	7, 8, 10	hlatexch1 39655	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑄) → ((𝑅‘𝐹) ≤ (𝑄 ∨ 𝑧) → 𝑧 ≤ (𝑄 ∨ (𝑅‘𝐹))))
71	19, 55, 44, 52, 69, 70	syl131anc 1385	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝑅‘𝐹) ≤ (𝑄 ∨ 𝑧) → 𝑧 ≤ (𝑄 ∨ (𝑅‘𝐹))))
72	64, 71	mtod 198	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁)) ∧ (𝑣 ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃)) → ¬ (𝑅‘𝐹) ≤ (𝑄 ∨ 𝑧))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  lecple 17184  joincjn 18234  meetcmee 18235  0.cp0 18344  Latclat 18354  Atomscatm 39523  AtLatcal 39524  HLchlt 39610  LHypclh 40244  LTrncltrn 40361  trLctrl 40418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-map 8765  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-p1 18347  df-lat 18355  df-clat 18422  df-oposet 39436  df-ol 39438  df-oml 39439  df-covers 39526  df-ats 39527  df-atl 39558  df-cvlat 39582  df-hlat 39611  df-llines 39758  df-psubsp 39763  df-pmap 39764  df-padd 40056  df-lhyp 40248  df-laut 40249  df-ldil 40364  df-ltrn 40365  df-trl 40419

This theorem is referenced by:  cdlemg28b  40963