Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1204 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp12 1205 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
3 | | simp13 1206 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
4 | | simp22 1208 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) |
5 | | simp23l 1295 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β πΉ β π) |
6 | | simp31 1210 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β π£ β (π
βπΉ)) |
7 | | cdlemg12.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
8 | | cdlemg12.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
9 | | cdlemg12.m |
. . . . . 6
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
10 | | cdlemg12.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
11 | | cdlemg12.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
12 | | cdlemg12.t |
. . . . . 6
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
13 | | cdlemg12b.r |
. . . . . 6
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
14 | | cdlemg31.n |
. . . . . 6
β’ π = ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) |
15 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 | cdlemg31b0a 39187 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (πΉ β π β§ π£ β (π
βπΉ))) β (π β π΄ β¨ π = (0.βπΎ))) |
16 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 15 | syl132anc 1389 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β (π β π΄ β¨ π = (0.βπΎ))) |
17 | | simp23r 1296 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β π§ β π) |
18 | 17 | adantr 482 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β§ (π β π΄ β¨ π = (0.βπΎ))) β π§ β π) |
19 | | simp11l 1285 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β πΎ β HL) |
20 | 19 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β§ π β π΄) β πΎ β HL) |
21 | | hlatl 37851 |
. . . . . . . . 9
β’ (πΎ β HL β πΎ β AtLat) |
22 | 20, 21 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β§ π β π΄) β πΎ β AtLat) |
23 | | simpl21 1252 |
. . . . . . . 8
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β§ π β π΄) β π§ β π΄) |
24 | | simpr 486 |
. . . . . . . 8
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β§ π β π΄) β π β π΄) |
25 | 7, 10 | atcmp 37802 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β AtLat β§ π§ β π΄ β§ π β π΄) β (π§ β€ π β π§ = π)) |
26 | 22, 23, 24, 25 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β§ π β π΄) β (π§ β€ π β π§ = π)) |
27 | 26 | necon3bbid 2982 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β§ π β π΄) β (Β¬ π§ β€ π β π§ β π)) |
28 | 19 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β§ π = (0.βπΎ)) β πΎ β HL) |
29 | 28, 21 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β§ π = (0.βπΎ)) β πΎ β AtLat) |
30 | | simpl21 1252 |
. . . . . . . . 9
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β§ π = (0.βπΎ)) β π§ β π΄) |
31 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . 10
β’
(0.βπΎ) =
(0.βπΎ) |
32 | 7, 31, 10 | atnle0 37800 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β AtLat β§ π§ β π΄) β Β¬ π§ β€ (0.βπΎ)) |
33 | 29, 30, 32 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β§ π = (0.βπΎ)) β Β¬ π§ β€ (0.βπΎ)) |
34 | | simpr 486 |
. . . . . . . . 9
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β§ π = (0.βπΎ)) β π = (0.βπΎ)) |
35 | 34 | breq2d 5122 |
. . . . . . . 8
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β§ π = (0.βπΎ)) β (π§ β€ π β π§ β€ (0.βπΎ))) |
36 | 33, 35 | mtbird 325 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β§ π = (0.βπΎ)) β Β¬ π§ β€ π) |
37 | 17 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β§ π = (0.βπΎ)) β π§ β π) |
38 | 36, 37 | 2thd 265 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β§ π = (0.βπΎ)) β (Β¬ π§ β€ π β π§ β π)) |
39 | 27, 38 | jaodan 957 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β§ (π β π΄ β¨ π = (0.βπΎ))) β (Β¬ π§ β€ π β π§ β π)) |
40 | 18, 39 | mpbird 257 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β§ (π β π΄ β¨ π = (0.βπΎ))) β Β¬ π§ β€ π) |
41 | 16, 40 | mpdan 686 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β Β¬ π§ β€ π) |
42 | | simp32 1211 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β π§ β€ (π β¨ π£)) |
43 | 19 | hllatd 37855 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β πΎ β Lat) |
44 | | simp21 1207 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β π§ β π΄) |
45 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . 9
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
46 | 45, 10 | atbase 37780 |
. . . . . . . 8
β’ (π§ β π΄ β π§ β (BaseβπΎ)) |
47 | 44, 46 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β π§ β (BaseβπΎ)) |
48 | | simp12l 1287 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β π β π΄) |
49 | | simp22l 1293 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β π£ β π΄) |
50 | 45, 8, 10 | hlatjcl 37858 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π£ β π΄) β (π β¨ π£) β (BaseβπΎ)) |
51 | 19, 48, 49, 50 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β (π β¨ π£) β (BaseβπΎ)) |
52 | | simp13l 1289 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β π β π΄) |
53 | | simp33 1212 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β (πΉβπ) β π) |
54 | 7, 10, 11, 12, 13 | trlat 38661 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ (πΉβπ) β π)) β (π
βπΉ) β π΄) |
55 | 1, 2, 5, 53, 54 | syl112anc 1375 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β (π
βπΉ) β π΄) |
56 | 45, 8, 10 | hlatjcl 37858 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ (π
βπΉ) β π΄) β (π β¨ (π
βπΉ)) β (BaseβπΎ)) |
57 | 19, 52, 55, 56 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β (π β¨ (π
βπΉ)) β (BaseβπΎ)) |
58 | 45, 7, 9 | latlem12 18362 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (π§ β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π£) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ (π
βπΉ)) β (BaseβπΎ))) β ((π§ β€ (π β¨ π£) β§ π§ β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β π§ β€ ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))))) |
59 | 43, 47, 51, 57, 58 | syl13anc 1373 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β ((π§ β€ (π β¨ π£) β§ π§ β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β π§ β€ ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))))) |
60 | 14 | breq2i 5118 |
. . . . . 6
β’ (π§ β€ π β π§ β€ ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ)))) |
61 | 59, 60 | bitr4di 289 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β ((π§ β€ (π β¨ π£) β§ π§ β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β π§ β€ π)) |
62 | 61 | biimpd 228 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β ((π§ β€ (π β¨ π£) β§ π§ β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β π§ β€ π)) |
63 | 42, 62 | mpand 694 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β (π§ β€ (π β¨ (π
βπΉ)) β π§ β€ π)) |
64 | 41, 63 | mtod 197 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β Β¬ π§ β€ (π β¨ (π
βπΉ))) |
65 | 7, 11, 12, 13 | trlle 38676 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β (π
βπΉ) β€ π) |
66 | 1, 5, 65 | syl2anc 585 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β (π
βπΉ) β€ π) |
67 | | simp13r 1290 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β Β¬ π β€ π) |
68 | | nbrne2 5130 |
. . . 4
β’ (((π
βπΉ) β€ π β§ Β¬ π β€ π) β (π
βπΉ) β π) |
69 | 66, 67, 68 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β (π
βπΉ) β π) |
70 | 7, 8, 10 | hlatexch1 37887 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ ((π
βπΉ) β π΄ β§ π§ β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
βπΉ) β π) β ((π
βπΉ) β€ (π β¨ π§) β π§ β€ (π β¨ (π
βπΉ)))) |
71 | 19, 55, 44, 52, 69, 70 | syl131anc 1384 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β ((π
βπΉ) β€ (π β¨ π§) β π§ β€ (π β¨ (π
βπΉ)))) |
72 | 64, 71 | mtod 197 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π§)) |