Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg27b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg27b 40080
Description: TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 28-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg12.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg12.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg31.n 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
Assertion
Ref Expression
cdlemg27b ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑄 ∨ 𝑧))

Proof of Theorem cdlemg27b
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp12 1201 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
3 simp13 1202 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
4 simp22 1204 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š))
5 simp23l 1291 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
6 simp31 1206 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ))
7 cdlemg12.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 cdlemg12.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 cdlemg12.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
10 cdlemg12.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
11 cdlemg12.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
12 cdlemg12.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
13 cdlemg12b.r . . . . . 6 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 cdlemg31.n . . . . . 6 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
157, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemg31b0a 40079 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 = (0.β€˜πΎ)))
161, 2, 3, 4, 5, 6, 15syl132anc 1385 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 = (0.β€˜πΎ)))
17 simp23r 1292 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑧 β‰  𝑁)
1817adantr 480 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 = (0.β€˜πΎ))) β†’ 𝑧 β‰  𝑁)
19 simp11l 1281 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2019adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21 hlatl 38743 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
2220, 21syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
23 simpl21 1248 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
24 simpr 484 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) β†’ 𝑁 ∈ 𝐴)
257, 10atcmp 38694 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 ≀ 𝑁 ↔ 𝑧 = 𝑁))
2622, 23, 24, 25syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 ≀ 𝑁 ↔ 𝑧 = 𝑁))
2726necon3bbid 2972 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑧 ≀ 𝑁 ↔ 𝑧 β‰  𝑁))
2819adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) ∧ 𝑁 = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2928, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) ∧ 𝑁 = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
30 simpl21 1248 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) ∧ 𝑁 = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
31 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
327, 31, 10atnle0 38692 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ 𝑧 ≀ (0.β€˜πΎ))
3329, 30, 32syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) ∧ 𝑁 = (0.β€˜πΎ)) β†’ Β¬ 𝑧 ≀ (0.β€˜πΎ))
34 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) ∧ 𝑁 = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝑁 = (0.β€˜πΎ))
3534breq2d 5153 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) ∧ 𝑁 = (0.β€˜πΎ)) β†’ (𝑧 ≀ 𝑁 ↔ 𝑧 ≀ (0.β€˜πΎ)))
3633, 35mtbird 325 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) ∧ 𝑁 = (0.β€˜πΎ)) β†’ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑁)
3717adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) ∧ 𝑁 = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝑧 β‰  𝑁)
3836, 372thd 265 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) ∧ 𝑁 = (0.β€˜πΎ)) β†’ (Β¬ 𝑧 ≀ 𝑁 ↔ 𝑧 β‰  𝑁))
3927, 38jaodan 954 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 = (0.β€˜πΎ))) β†’ (Β¬ 𝑧 ≀ 𝑁 ↔ 𝑧 β‰  𝑁))
4018, 39mpbird 257 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 = (0.β€˜πΎ))) β†’ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑁)
4116, 40mpdan 684 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ Β¬ 𝑧 ≀ 𝑁)
42 simp32 1207 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣))
4319hllatd 38747 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
44 simp21 1203 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
45 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
4645, 10atbase 38672 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4744, 46syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
48 simp12l 1283 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
49 simp22l 1289 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
5045, 8, 10hlatjcl 38750 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑣) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5119, 48, 49, 50syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑣) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
52 simp13l 1285 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
53 simp33 1208 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)
547, 10, 11, 12, 13trlat 39553 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
551, 2, 5, 53, 54syl112anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
5645, 8, 10hlatjcl 38750 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5719, 52, 55, 56syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5845, 7, 9latlem12 18431 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑣) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ 𝑧 ≀ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ↔ 𝑧 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))))
5943, 47, 51, 57, 58syl13anc 1369 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ ((𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ 𝑧 ≀ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ↔ 𝑧 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))))
6014breq2i 5149 . . . . . 6 (𝑧 ≀ 𝑁 ↔ 𝑧 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ))))
6159, 60bitr4di 289 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ ((𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ 𝑧 ≀ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ↔ 𝑧 ≀ 𝑁))
6261biimpd 228 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ ((𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ 𝑧 ≀ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) β†’ 𝑧 ≀ 𝑁))
6342, 62mpand 692 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑧 ≀ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) β†’ 𝑧 ≀ 𝑁))
6441, 63mtod 197 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
657, 11, 12, 13trlle 39568 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š)
661, 5, 65syl2anc 583 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š)
67 simp13r 1286 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)
68 nbrne2 5161 . . . 4 (((π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  𝑄)
6966, 67, 68syl2anc 583 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  𝑄)
707, 8, 10hlatexch1 38779 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  𝑄) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑄 ∨ 𝑧) β†’ 𝑧 ≀ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ))))
7119, 55, 44, 52, 69, 70syl131anc 1380 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑄 ∨ 𝑧) β†’ 𝑧 ≀ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ))))
7264, 71mtod 197 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑄 ∨ 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  0.cp0 18388  Latclat 18396  Atomscatm 38646  AtLatcal 38647  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  trLctrl 39542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8824  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543
This theorem is referenced by:  cdlemg28b  40087
  Copyright terms: Public domain W3C validator