Theorem atltcvr 40187

Description: An equivalence of less-than ordering and covers relation. (Contributed by NM, 7-Feb-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atltcvr.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
atltcvr.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
atltcvr.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
atltcvr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atltcvr	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)))

Proof of Theorem atltcvr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑅))
2		simpr3 1215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
3		atltcvr.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		atltcvr.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	hlatjidm 40121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑅) = 𝑅)
6	2, 5	syldan 602	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ 𝑅) = 𝑅)
7	1, 6	sylan9eqr 2820	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑄 ∨ 𝑅) = 𝑅)
8	7	breq2d 5122	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ 𝑃 < 𝑅))
9		hlatl 40112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
10	9	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ AtLat)
11		simpr1 1213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
12		atltcvr.s	. . . . . . . 8 ⊢ < = (lt‘𝐾)
13	12, 4	atnlt 40065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃 < 𝑅)
14	10, 11, 2, 13	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ¬ 𝑃 < 𝑅)
15	14	pm2.21d 122	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑃 < 𝑅 → 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)))
16	15	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑃 < 𝑅 → 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)))
17	8, 16	sylbid 243	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)))
18		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
19		hllat 40115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
20	19	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
21		simpr2 1214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
22		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
23	22, 4	atbase 40041	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
24	21, 23	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
25	22, 4	atbase 40041	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
26	2, 25	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
27	22, 3	latjcl 18496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
28	20, 24, 26, 27	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
29		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
30	29, 12	pltle 18388	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅)))
31	18, 11, 28, 30	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅)))
32	31	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅)))
33		simpll 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
34		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴))
35		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))) → (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅)))
36	33, 34, 35	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))))
37	36	anassrs 472	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))))
38		atltcvr.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
39	29, 3, 38, 4	atcvrj2 40185	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅))
40	37, 39	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅))
41	40	ex 417	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → (𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)))
42	32, 41	syld 48	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)))
43	17, 42	pm2.61dane 3045	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)))
44	22, 4	atbase 40041	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
45	11, 44	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
46	22, 12, 38	cvrlt 40022	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅))
47	46	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅)))
48	18, 45, 28, 47	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅)))
49	43, 48	impbid 215	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  lecple 17318  ltcplt 18365  joincjn 18368  Latclat 18488   ⋖ ccvr 40014  Atomscatm 40015  AtLatcal 40016  HLchlt 40102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18385  df-lub 18401  df-glb 18402  df-join 18403  df-meet 18404  df-p0 18480  df-lat 18489  df-clat 18556  df-oposet 39928  df-ol 39930  df-oml 39931  df-covers 40018  df-ats 40019  df-atl 40050  df-cvlat 40074  df-hlat 40103

This theorem is referenced by:  atlt  40189  2atlt  40191  atexchltN  40193