Theorem atltcvr 38294

Description: An equivalence of less-than ordering and covers relation. (Contributed by NM, 7-Feb-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atltcvr.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
atltcvr.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
atltcvr.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
atltcvr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atltcvr	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)))

Proof of Theorem atltcvr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑅))
2		simpr3 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
3		atltcvr.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		atltcvr.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	hlatjidm 38227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑅) = 𝑅)
6	2, 5	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ 𝑅) = 𝑅)
7	1, 6	sylan9eqr 2794	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑄 ∨ 𝑅) = 𝑅)
8	7	breq2d 5159	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ 𝑃 < 𝑅))
9		hlatl 38218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
10	9	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ AtLat)
11		simpr1 1194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
12		atltcvr.s	. . . . . . . 8 ⊢ < = (lt‘𝐾)
13	12, 4	atnlt 38171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃 < 𝑅)
14	10, 11, 2, 13	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ¬ 𝑃 < 𝑅)
15	14	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑃 < 𝑅 → 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)))
16	15	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑃 < 𝑅 → 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)))
17	8, 16	sylbid 239	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)))
18		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
19		hllat 38221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
20	19	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
21		simpr2 1195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
22		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
23	22, 4	atbase 38147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
24	21, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
25	22, 4	atbase 38147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
26	2, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
27	22, 3	latjcl 18388	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
28	20, 24, 26, 27	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
29		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
30	29, 12	pltle 18282	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅)))
31	18, 11, 28, 30	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅)))
32	31	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅)))
33		simpll 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
34		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴))
35		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))) → (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅)))
36	33, 34, 35	3jca 1128	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))))
37	36	anassrs 468	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))))
38		atltcvr.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
39	29, 3, 38, 4	atcvrj2 38292	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅))
40	37, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅))
41	40	ex 413	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → (𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)))
42	32, 41	syld 47	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)))
43	17, 42	pm2.61dane 3029	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)))
44	22, 4	atbase 38147	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
45	11, 44	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
46	22, 12, 38	cvrlt 38128	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅))
47	46	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅)))
48	18, 45, 28, 47	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅)))
49	43, 48	impbid 211	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  ltcplt 18257  joincjn 18260  Latclat 18380   ⋖ ccvr 38120  Atomscatm 38121  AtLatcal 38122  HLchlt 38208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209

This theorem is referenced by:  atlt  38296  2atlt  38298  atexchltN  38300