Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atltcvr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atltcvr 36451
Description: An equivalence of less-than ordering and covers relation. (Contributed by NM, 7-Feb-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atltcvr.s < = (lt‘𝐾)
atltcvr.j = (join‘𝐾)
atltcvr.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
atltcvr.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atltcvr ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) ↔ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))

Proof of Theorem atltcvr
StepHypRef Expression
1 oveq1 7152 . . . . . 6 (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑅))
2 simpr3 1188 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐴)
3 atltcvr.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
4 atltcvr.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
53, 4hlatjidm 36385 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴) → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
62, 5syldan 591 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
71, 6sylan9eqr 2875 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑄 𝑅) = 𝑅)
87breq2d 5069 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) ↔ 𝑃 < 𝑅))
9 hlatl 36376 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
109adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ AtLat)
11 simpr1 1186 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃𝐴)
12 atltcvr.s . . . . . . . 8 < = (lt‘𝐾)
1312, 4atnlt 36329 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴) → ¬ 𝑃 < 𝑅)
1410, 11, 2, 13syl3anc 1363 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ¬ 𝑃 < 𝑅)
1514pm2.21d 121 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃 < 𝑅𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))
1615adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑃 < 𝑅𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))
178, 16sylbid 241 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) → 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))
18 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
19 hllat 36379 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2019adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
21 simpr2 1187 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄𝐴)
22 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2322, 4atbase 36305 . . . . . . . 8 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
2421, 23syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
2522, 4atbase 36305 . . . . . . . 8 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
262, 25syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
2722, 3latjcl 17649 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
2820, 24, 26, 27syl3anc 1363 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
29 eqid 2818 . . . . . . 7 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3029, 12pltle 17559 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅)))
3118, 11, 28, 30syl3anc 1363 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅)))
3231adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄𝑅) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅)))
33 simpll 763 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
34 simplr 765 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))) → (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴))
35 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))) → (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅)))
3633, 34, 353jca 1120 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))))
3736anassrs 468 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄𝑅) ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))))
38 atltcvr.c . . . . . . 7 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
3929, 3, 38, 4atcvrj2 36449 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))) → 𝑃𝐶(𝑄 𝑅))
4037, 39syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄𝑅) ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅)) → 𝑃𝐶(𝑄 𝑅))
4140ex 413 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄𝑅) → (𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅) → 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))
4232, 41syld 47 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄𝑅) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) → 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))
4317, 42pm2.61dane 3101 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) → 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))
4422, 4atbase 36305 . . . 4 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
4511, 44syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
4622, 12, 38cvrlt 36286 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝑃 < (𝑄 𝑅))
4746ex 413 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃𝐶(𝑄 𝑅) → 𝑃 < (𝑄 𝑅)))
4818, 45, 28, 47syl3anc 1363 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃𝐶(𝑄 𝑅) → 𝑃 < (𝑄 𝑅)))
4943, 48impbid 213 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) ↔ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  lecple 16560  ltcplt 17539  joincjn 17542  Latclat 17643  ccvr 36278  Atomscatm 36279  AtLatcal 36280  HLchlt 36366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367
This theorem is referenced by:  atlt  36453  2atlt  36455  atexchltN  36457
  Copyright terms: Public domain W3C validator