Theorem atltcvr 40585

Description: An equivalence of less-than ordering and covers relation. (Contributed by NM, 7-Feb-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atltcvr.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
atltcvr.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
atltcvr.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
atltcvr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atltcvr	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)))

Proof of Theorem atltcvr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑅))
2		simpr3 1215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
3		atltcvr.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		atltcvr.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	hlatjidm 40519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑅) = 𝑅)
6	2, 5	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ 𝑅) = 𝑅)
7	1, 6	sylan9eqr 2817	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑄 ∨ 𝑅) = 𝑅)
8	7	breq2d 5114	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ 𝑃 < 𝑅))
9		hlatl 40510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
10	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ AtLat)
11		simpr1 1213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
12		atltcvr.s	. . . . . . . 8 ⊢ < = (lt‘𝐾)
13	12, 4	atnlt 40463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃 < 𝑅)
14	10, 11, 2, 13	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ¬ 𝑃 < 𝑅)
15	14	pm2.21d 122	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑃 < 𝑅 → 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)))
16	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑃 < 𝑅 → 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)))
17	8, 16	sylbid 243	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)))
18		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
19		hllat 40513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
20	19	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
21		simpr2 1214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
22		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
23	22, 4	atbase 40439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
24	21, 23	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
25	22, 4	atbase 40439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
26	2, 25	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
27	22, 3	latjcl 18618	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
28	20, 24, 26, 27	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
29		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
30	29, 12	pltle 18510	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅)))
31	18, 11, 28, 30	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅)))
32	31	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅)))
33		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
34		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴))
35		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))) → (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅)))
36	33, 34, 35	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))))
37	36	anassrs 473	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))))
38		atltcvr.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
39	29, 3, 38, 4	atcvrj2 40583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅))
40	37, 39	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅))
41	40	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → (𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)))
42	32, 41	syld 48	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) → (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)))
43	17, 42	pm2.61dane 3042	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)))
44	22, 4	atbase 40439	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
45	11, 44	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
46	22, 12, 38	cvrlt 40420	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅))
47	46	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅)))
48	18, 45, 28, 47	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅)))
49	43, 48	impbid 215	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑃 < (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  lecple 17440  ltcplt 18487  joincjn 18490  Latclat 18610   ⋖ ccvr 40412  Atomscatm 40413  AtLatcal 40414  HLchlt 40500

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18473  df-poset 18492  df-plt 18507  df-lub 18523  df-glb 18524  df-join 18525  df-meet 18526  df-p0 18602  df-lat 18611  df-clat 18678  df-oposet 40326  df-ol 40328  df-oml 40329  df-covers 40416  df-ats 40417  df-atl 40448  df-cvlat 40472  df-hlat 40501

This theorem is used by:  atlt  40587  2atlt  40589  atexchltN  40591