Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atltcvr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atltcvr 39437
Description: An equivalence of less-than ordering and covers relation. (Contributed by NM, 7-Feb-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atltcvr.s < = (lt‘𝐾)
atltcvr.j = (join‘𝐾)
atltcvr.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
atltcvr.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atltcvr ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) ↔ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))

Proof of Theorem atltcvr
StepHypRef Expression
1 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑅))
2 simpr3 1197 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐴)
3 atltcvr.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
4 atltcvr.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
53, 4hlatjidm 39370 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴) → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
62, 5syldan 591 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
71, 6sylan9eqr 2799 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑄 𝑅) = 𝑅)
87breq2d 5155 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) ↔ 𝑃 < 𝑅))
9 hlatl 39361 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ AtLat)
11 simpr1 1195 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃𝐴)
12 atltcvr.s . . . . . . . 8 < = (lt‘𝐾)
1312, 4atnlt 39314 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴) → ¬ 𝑃 < 𝑅)
1410, 11, 2, 13syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ¬ 𝑃 < 𝑅)
1514pm2.21d 121 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃 < 𝑅𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))
1615adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑃 < 𝑅𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))
178, 16sylbid 240 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) → 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))
18 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
19 hllat 39364 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2019adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
21 simpr2 1196 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄𝐴)
22 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2322, 4atbase 39290 . . . . . . . 8 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
2421, 23syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
2522, 4atbase 39290 . . . . . . . 8 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
262, 25syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
2722, 3latjcl 18484 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
2820, 24, 26, 27syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
29 eqid 2737 . . . . . . 7 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3029, 12pltle 18378 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅)))
3118, 11, 28, 30syl3anc 1373 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅)))
3231adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄𝑅) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅)))
33 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
34 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))) → (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴))
35 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))) → (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅)))
3633, 34, 353jca 1129 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))))
3736anassrs 467 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄𝑅) ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))))
38 atltcvr.c . . . . . . 7 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
3929, 3, 38, 4atcvrj2 39435 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))) → 𝑃𝐶(𝑄 𝑅))
4037, 39syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄𝑅) ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅)) → 𝑃𝐶(𝑄 𝑅))
4140ex 412 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄𝑅) → (𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅) → 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))
4232, 41syld 47 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄𝑅) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) → 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))
4317, 42pm2.61dane 3029 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) → 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))
4422, 4atbase 39290 . . . 4 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
4511, 44syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
4622, 12, 38cvrlt 39271 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝑃 < (𝑄 𝑅))
4746ex 412 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃𝐶(𝑄 𝑅) → 𝑃 < (𝑄 𝑅)))
4818, 45, 28, 47syl3anc 1373 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃𝐶(𝑄 𝑅) → 𝑃 < (𝑄 𝑅)))
4943, 48impbid 212 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) ↔ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  ltcplt 18354  joincjn 18357  Latclat 18476  ccvr 39263  Atomscatm 39264  AtLatcal 39265  HLchlt 39351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352
This theorem is referenced by:  atlt  39439  2atlt  39441  atexchltN  39443
  Copyright terms: Public domain W3C validator