Theorem atncmp 39305

Description: Frequently-used variation of atcmp 39304. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atcmp.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atcmp.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atncmp	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑄 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))

Proof of Theorem atncmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atcmp.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		atcmp.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3	1, 2	atcmp 39304	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≤ 𝑄 ↔ 𝑃 = 𝑄))
4	3	necon3bbid 2962	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑄 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  lecple 17227  Atomscatm 39256  AtLatcal 39257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-glb 18306  df-p0 18384  df-lat 18391  df-covers 39259  df-ats 39260  df-atl 39291

This theorem is referenced by:  atnem0  39311  cvlatexchb1  39327  3dim2  39462  2dim  39464  ps-2  39472  islln3  39504  llnexatN  39515  isline4N  39771  trlnle  40180  cdleme7ga  40242