Theorem atncmp 40067

Description: Frequently-used variation of atcmp 40066. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atcmp.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atcmp.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atncmp	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑄 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))

Proof of Theorem atncmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atcmp.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		atcmp.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3	1, 2	atcmp 40066	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≤ 𝑄 ↔ 𝑃 = 𝑄))
4	3	necon3bbid 2995	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑄 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  lecple 17318  Atomscatm 40018  AtLatcal 40019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18385  df-glb 18402  df-p0 18480  df-lat 18489  df-covers 40021  df-ats 40022  df-atl 40053

This theorem is referenced by:  atnem0  40073  cvlatexchb1  40089  3dim2  40223  2dim  40225  ps-2  40233  islln3  40265  llnexatN  40276  isline4N  40532  trlnle  40941  cdleme7ga  41003