Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atncmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atncmp 38686
Description: Frequently-used variation of atcmp 38685. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atcmp.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atcmp.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atncmp ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑄 ↔ 𝑃 β‰  𝑄))

Proof of Theorem atncmp
StepHypRef Expression
1 atcmp.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 atcmp.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
31, 2atcmp 38685 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ≀ 𝑄 ↔ 𝑃 = 𝑄))
43necon3bbid 2970 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑄 ↔ 𝑃 β‰  𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  lecple 17209  Atomscatm 38637  AtLatcal 38638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-proset 18256  df-poset 18274  df-plt 18291  df-glb 18308  df-p0 18386  df-lat 18393  df-covers 38640  df-ats 38641  df-atl 38672
This theorem is referenced by:  atnem0  38692  cvlatexchb1  38708  3dim2  38843  2dim  38845  ps-2  38853  islln3  38885  llnexatN  38896  isline4N  39152  trlnle  39561  cdleme7ga  39623
  Copyright terms: Public domain W3C validator