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Theorem bcthlem1 25073
Description: Lemma for bcth 25078. Substitutions for the function 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bcth.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
bcthlem.4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
bcthlem.5 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„•, 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ↦ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))})
Assertion
Ref Expression
bcthlem1 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ β„• ∧ 𝐡 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝐹𝐡) ↔ (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜πΆ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))))
Distinct variable groups:   π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧,𝐴   𝐡,π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   𝐢,π‘Ÿ,π‘₯   𝐷,π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   π‘˜,𝐹,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   π‘˜,𝐽,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   π‘˜,𝑀,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   πœ‘,π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   π‘˜,𝑋,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑧,π‘˜)

Proof of Theorem bcthlem1
StepHypRef Expression
1 opabssxp 5769 . . . . . . 7 {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))} βŠ† (𝑋 Γ— ℝ+)
2 bcthlem.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
3 elfvdm 6929 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom CMet)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ dom CMet)
5 reex 11204 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
6 rpssre 12986 . . . . . . . . 9 ℝ+ βŠ† ℝ
75, 6ssexi 5323 . . . . . . . 8 ℝ+ ∈ V
8 xpexg 7740 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ dom CMet ∧ ℝ+ ∈ V) β†’ (𝑋 Γ— ℝ+) ∈ V)
94, 7, 8sylancl 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— ℝ+) ∈ V)
10 ssexg 5324 . . . . . . 7 (({⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))} βŠ† (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (𝑋 Γ— ℝ+) ∈ V) β†’ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))} ∈ V)
111, 9, 10sylancr 586 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))} ∈ V)
12 oveq2 7420 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (1 / π‘˜) = (1 / 𝐴))
1312breq2d 5161 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ↔ π‘Ÿ < (1 / 𝐴)))
14 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (π‘€β€˜π‘˜) = (π‘€β€˜π΄))
1514difeq2d 4123 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) = (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))
1615sseq2d 4015 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))
1713, 16anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐴 β†’ ((π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) ↔ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))))
1817anbi2d 628 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))))
1918opabbidv 5215 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐴 β†’ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))} = {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))})
20 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝐡 β†’ ((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) = ((ballβ€˜π·)β€˜π΅))
2120difeq1d 4122 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐡 β†’ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π΄)) = (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))
2221sseq2d 4015 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝐡 β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π΄)) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))
2322anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐡 β†’ ((π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π΄))) ↔ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))))
2423anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐡 β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))))
2524opabbidv 5215 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐡 β†’ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))} = {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))})
26 bcthlem.5 . . . . . . 7 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„•, 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ↦ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))})
2719, 25, 26ovmpog 7570 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„• ∧ 𝐡 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))} ∈ V) β†’ (𝐴𝐹𝐡) = {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))})
2811, 27syl3an3 1164 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„• ∧ 𝐡 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ πœ‘) β†’ (𝐴𝐹𝐡) = {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))})
29283expa 1117 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„• ∧ 𝐡 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+)) ∧ πœ‘) β†’ (𝐴𝐹𝐡) = {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))})
3029ancoms 458 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ β„• ∧ 𝐡 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ (𝐴𝐹𝐡) = {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))})
3130eleq2d 2818 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ β„• ∧ 𝐡 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝐹𝐡) ↔ 𝐢 ∈ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))}))
321sseli 3979 . . 3 (𝐢 ∈ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))} β†’ 𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))
33 simp1 1135 . . 3 ((𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜πΆ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))) β†’ 𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))
34 1st2nd2 8017 . . . . . 6 (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ 𝐢 = ⟨(1st β€˜πΆ), (2nd β€˜πΆ)⟩)
3534eleq1d 2817 . . . . 5 (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ (𝐢 ∈ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))} ↔ ⟨(1st β€˜πΆ), (2nd β€˜πΆ)⟩ ∈ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))}))
36 fvex 6905 . . . . . 6 (1st β€˜πΆ) ∈ V
37 fvex 6905 . . . . . 6 (2nd β€˜πΆ) ∈ V
38 eleq1 2820 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (1st β€˜πΆ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↔ (1st β€˜πΆ) ∈ 𝑋))
39 eleq1 2820 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = (2nd β€˜πΆ) β†’ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↔ (2nd β€˜πΆ) ∈ ℝ+))
4038, 39bi2anan9 636 . . . . . . 7 ((π‘₯ = (1st β€˜πΆ) ∧ π‘Ÿ = (2nd β€˜πΆ)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ↔ ((1st β€˜πΆ) ∈ 𝑋 ∧ (2nd β€˜πΆ) ∈ ℝ+)))
41 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = (1st β€˜πΆ) ∧ π‘Ÿ = (2nd β€˜πΆ)) β†’ π‘Ÿ = (2nd β€˜πΆ))
4241breq1d 5159 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = (1st β€˜πΆ) ∧ π‘Ÿ = (2nd β€˜πΆ)) β†’ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ↔ (2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴)))
43 oveq12 7421 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = (1st β€˜πΆ) ∧ π‘Ÿ = (2nd β€˜πΆ)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = ((1st β€˜πΆ)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜πΆ)))
4443fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = (1st β€˜πΆ) ∧ π‘Ÿ = (2nd β€˜πΆ)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) = ((clsβ€˜π½)β€˜((1st β€˜πΆ)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜πΆ))))
4544sseq1d 4014 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = (1st β€˜πΆ) ∧ π‘Ÿ = (2nd β€˜πΆ)) β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜((1st β€˜πΆ)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜πΆ))) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))
4642, 45anbi12d 630 . . . . . . 7 ((π‘₯ = (1st β€˜πΆ) ∧ π‘Ÿ = (2nd β€˜πΆ)) β†’ ((π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))) ↔ ((2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((1st β€˜πΆ)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜πΆ))) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))))
4740, 46anbi12d 630 . . . . . 6 ((π‘₯ = (1st β€˜πΆ) ∧ π‘Ÿ = (2nd β€˜πΆ)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))) ↔ (((1st β€˜πΆ) ∈ 𝑋 ∧ (2nd β€˜πΆ) ∈ ℝ+) ∧ ((2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((1st β€˜πΆ)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜πΆ))) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))))
4836, 37, 47opelopaba 5537 . . . . 5 (⟨(1st β€˜πΆ), (2nd β€˜πΆ)⟩ ∈ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))} ↔ (((1st β€˜πΆ) ∈ 𝑋 ∧ (2nd β€˜πΆ) ∈ ℝ+) ∧ ((2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((1st β€˜πΆ)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜πΆ))) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))))
4935, 48bitrdi 286 . . . 4 (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ (𝐢 ∈ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))} ↔ (((1st β€˜πΆ) ∈ 𝑋 ∧ (2nd β€˜πΆ) ∈ ℝ+) ∧ ((2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((1st β€˜πΆ)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜πΆ))) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))))
5034eleq1d 2817 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ↔ ⟨(1st β€˜πΆ), (2nd β€˜πΆ)⟩ ∈ (𝑋 Γ— ℝ+)))
51 opelxp 5713 . . . . . . 7 (⟨(1st β€˜πΆ), (2nd β€˜πΆ)⟩ ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ↔ ((1st β€˜πΆ) ∈ 𝑋 ∧ (2nd β€˜πΆ) ∈ ℝ+))
5250, 51bitr2di 287 . . . . . 6 (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ (((1st β€˜πΆ) ∈ 𝑋 ∧ (2nd β€˜πΆ) ∈ ℝ+) ↔ 𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+)))
53 df-ov 7415 . . . . . . . . . 10 ((1st β€˜πΆ)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜πΆ)) = ((ballβ€˜π·)β€˜βŸ¨(1st β€˜πΆ), (2nd β€˜πΆ)⟩)
5434fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ ((ballβ€˜π·)β€˜πΆ) = ((ballβ€˜π·)β€˜βŸ¨(1st β€˜πΆ), (2nd β€˜πΆ)⟩))
5553, 54eqtr4id 2790 . . . . . . . . 9 (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ ((1st β€˜πΆ)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜πΆ)) = ((ballβ€˜π·)β€˜πΆ))
5655fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜((1st β€˜πΆ)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜πΆ))) = ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜πΆ)))
5756sseq1d 4014 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜((1st β€˜πΆ)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜πΆ))) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜πΆ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))
5857anbi2d 628 . . . . . 6 (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ (((2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((1st β€˜πΆ)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜πΆ))) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))) ↔ ((2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜πΆ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))))
5952, 58anbi12d 630 . . . . 5 (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ ((((1st β€˜πΆ) ∈ 𝑋 ∧ (2nd β€˜πΆ) ∈ ℝ+) ∧ ((2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((1st β€˜πΆ)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜πΆ))) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))) ↔ (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ ((2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜πΆ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))))
60 3anass 1094 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜πΆ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))) ↔ (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ ((2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜πΆ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))))
6159, 60bitr4di 288 . . . 4 (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ ((((1st β€˜πΆ) ∈ 𝑋 ∧ (2nd β€˜πΆ) ∈ ℝ+) ∧ ((2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((1st β€˜πΆ)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜πΆ))) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))) ↔ (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜πΆ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))))
6249, 61bitrd 278 . . 3 (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ (𝐢 ∈ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))} ↔ (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜πΆ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))))
6332, 33, 62pm5.21nii 378 . 2 (𝐢 ∈ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))} ↔ (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜πΆ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))
6431, 63bitrdi 286 1 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ β„• ∧ 𝐡 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝐹𝐡) ↔ (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜πΆ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149  {copab 5211   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  1st c1st 7976  2nd c2nd 7977  β„cr 11112  1c1 11114   < clt 11253   / cdiv 11876  β„•cn 12217  β„+crp 12979  ballcbl 21132  MetOpencmopn 21135  clsccl 22743  CMetccmet 25003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-rp 12980
This theorem is referenced by:  bcthlem2  25074  bcthlem3  25075  bcthlem4  25076
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