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Theorem bcthlem1 24691
Description: Lemma for bcth 24696. Substitutions for the function 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bcth.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
bcthlem.4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
bcthlem.5 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„•, 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ↦ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))})
Assertion
Ref Expression
bcthlem1 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ β„• ∧ 𝐡 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝐹𝐡) ↔ (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜πΆ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))))
Distinct variable groups:   π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧,𝐴   𝐡,π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   𝐢,π‘Ÿ,π‘₯   𝐷,π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   π‘˜,𝐹,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   π‘˜,𝐽,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   π‘˜,𝑀,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   πœ‘,π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   π‘˜,𝑋,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑧,π‘˜)

Proof of Theorem bcthlem1
StepHypRef Expression
1 opabssxp 5725 . . . . . . 7 {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))} βŠ† (𝑋 Γ— ℝ+)
2 bcthlem.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
3 elfvdm 6880 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom CMet)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ dom CMet)
5 reex 11143 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
6 rpssre 12923 . . . . . . . . 9 ℝ+ βŠ† ℝ
75, 6ssexi 5280 . . . . . . . 8 ℝ+ ∈ V
8 xpexg 7685 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ dom CMet ∧ ℝ+ ∈ V) β†’ (𝑋 Γ— ℝ+) ∈ V)
94, 7, 8sylancl 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— ℝ+) ∈ V)
10 ssexg 5281 . . . . . . 7 (({⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))} βŠ† (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (𝑋 Γ— ℝ+) ∈ V) β†’ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))} ∈ V)
111, 9, 10sylancr 588 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))} ∈ V)
12 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (1 / π‘˜) = (1 / 𝐴))
1312breq2d 5118 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ↔ π‘Ÿ < (1 / 𝐴)))
14 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (π‘€β€˜π‘˜) = (π‘€β€˜π΄))
1514difeq2d 4083 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) = (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))
1615sseq2d 3977 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))
1713, 16anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐴 β†’ ((π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) ↔ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))))
1817anbi2d 630 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))))
1918opabbidv 5172 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐴 β†’ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))} = {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))})
20 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝐡 β†’ ((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) = ((ballβ€˜π·)β€˜π΅))
2120difeq1d 4082 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐡 β†’ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π΄)) = (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))
2221sseq2d 3977 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝐡 β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π΄)) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))
2322anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐡 β†’ ((π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π΄))) ↔ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))))
2423anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐡 β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))))
2524opabbidv 5172 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐡 β†’ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))} = {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))})
26 bcthlem.5 . . . . . . 7 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„•, 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ↦ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))})
2719, 25, 26ovmpog 7515 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„• ∧ 𝐡 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))} ∈ V) β†’ (𝐴𝐹𝐡) = {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))})
2811, 27syl3an3 1166 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„• ∧ 𝐡 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ πœ‘) β†’ (𝐴𝐹𝐡) = {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))})
29283expa 1119 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„• ∧ 𝐡 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+)) ∧ πœ‘) β†’ (𝐴𝐹𝐡) = {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))})
3029ancoms 460 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ β„• ∧ 𝐡 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ (𝐴𝐹𝐡) = {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))})
3130eleq2d 2824 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ β„• ∧ 𝐡 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝐹𝐡) ↔ 𝐢 ∈ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))}))
321sseli 3941 . . 3 (𝐢 ∈ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))} β†’ 𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))
33 simp1 1137 . . 3 ((𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜πΆ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))) β†’ 𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))
34 1st2nd2 7961 . . . . . 6 (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ 𝐢 = ⟨(1st β€˜πΆ), (2nd β€˜πΆ)⟩)
3534eleq1d 2823 . . . . 5 (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ (𝐢 ∈ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))} ↔ ⟨(1st β€˜πΆ), (2nd β€˜πΆ)⟩ ∈ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))}))
36 fvex 6856 . . . . . 6 (1st β€˜πΆ) ∈ V
37 fvex 6856 . . . . . 6 (2nd β€˜πΆ) ∈ V
38 eleq1 2826 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (1st β€˜πΆ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↔ (1st β€˜πΆ) ∈ 𝑋))
39 eleq1 2826 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = (2nd β€˜πΆ) β†’ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↔ (2nd β€˜πΆ) ∈ ℝ+))
4038, 39bi2anan9 638 . . . . . . 7 ((π‘₯ = (1st β€˜πΆ) ∧ π‘Ÿ = (2nd β€˜πΆ)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ↔ ((1st β€˜πΆ) ∈ 𝑋 ∧ (2nd β€˜πΆ) ∈ ℝ+)))
41 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = (1st β€˜πΆ) ∧ π‘Ÿ = (2nd β€˜πΆ)) β†’ π‘Ÿ = (2nd β€˜πΆ))
4241breq1d 5116 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = (1st β€˜πΆ) ∧ π‘Ÿ = (2nd β€˜πΆ)) β†’ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ↔ (2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴)))
43 oveq12 7367 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = (1st β€˜πΆ) ∧ π‘Ÿ = (2nd β€˜πΆ)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = ((1st β€˜πΆ)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜πΆ)))
4443fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = (1st β€˜πΆ) ∧ π‘Ÿ = (2nd β€˜πΆ)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) = ((clsβ€˜π½)β€˜((1st β€˜πΆ)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜πΆ))))
4544sseq1d 3976 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = (1st β€˜πΆ) ∧ π‘Ÿ = (2nd β€˜πΆ)) β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜((1st β€˜πΆ)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜πΆ))) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))
4642, 45anbi12d 632 . . . . . . 7 ((π‘₯ = (1st β€˜πΆ) ∧ π‘Ÿ = (2nd β€˜πΆ)) β†’ ((π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))) ↔ ((2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((1st β€˜πΆ)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜πΆ))) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))))
4740, 46anbi12d 632 . . . . . 6 ((π‘₯ = (1st β€˜πΆ) ∧ π‘Ÿ = (2nd β€˜πΆ)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))) ↔ (((1st β€˜πΆ) ∈ 𝑋 ∧ (2nd β€˜πΆ) ∈ ℝ+) ∧ ((2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((1st β€˜πΆ)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜πΆ))) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))))
4836, 37, 47opelopaba 5494 . . . . 5 (⟨(1st β€˜πΆ), (2nd β€˜πΆ)⟩ ∈ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))} ↔ (((1st β€˜πΆ) ∈ 𝑋 ∧ (2nd β€˜πΆ) ∈ ℝ+) ∧ ((2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((1st β€˜πΆ)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜πΆ))) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))))
4935, 48bitrdi 287 . . . 4 (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ (𝐢 ∈ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))} ↔ (((1st β€˜πΆ) ∈ 𝑋 ∧ (2nd β€˜πΆ) ∈ ℝ+) ∧ ((2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((1st β€˜πΆ)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜πΆ))) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))))
5034eleq1d 2823 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ↔ ⟨(1st β€˜πΆ), (2nd β€˜πΆ)⟩ ∈ (𝑋 Γ— ℝ+)))
51 opelxp 5670 . . . . . . 7 (⟨(1st β€˜πΆ), (2nd β€˜πΆ)⟩ ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ↔ ((1st β€˜πΆ) ∈ 𝑋 ∧ (2nd β€˜πΆ) ∈ ℝ+))
5250, 51bitr2di 288 . . . . . 6 (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ (((1st β€˜πΆ) ∈ 𝑋 ∧ (2nd β€˜πΆ) ∈ ℝ+) ↔ 𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+)))
53 df-ov 7361 . . . . . . . . . 10 ((1st β€˜πΆ)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜πΆ)) = ((ballβ€˜π·)β€˜βŸ¨(1st β€˜πΆ), (2nd β€˜πΆ)⟩)
5434fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ ((ballβ€˜π·)β€˜πΆ) = ((ballβ€˜π·)β€˜βŸ¨(1st β€˜πΆ), (2nd β€˜πΆ)⟩))
5553, 54eqtr4id 2796 . . . . . . . . 9 (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ ((1st β€˜πΆ)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜πΆ)) = ((ballβ€˜π·)β€˜πΆ))
5655fveq2d 6847 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜((1st β€˜πΆ)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜πΆ))) = ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜πΆ)))
5756sseq1d 3976 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜((1st β€˜πΆ)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜πΆ))) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜πΆ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))
5857anbi2d 630 . . . . . 6 (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ (((2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((1st β€˜πΆ)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜πΆ))) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))) ↔ ((2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜πΆ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))))
5952, 58anbi12d 632 . . . . 5 (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ ((((1st β€˜πΆ) ∈ 𝑋 ∧ (2nd β€˜πΆ) ∈ ℝ+) ∧ ((2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((1st β€˜πΆ)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜πΆ))) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))) ↔ (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ ((2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜πΆ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))))
60 3anass 1096 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜πΆ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))) ↔ (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ ((2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜πΆ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))))
6159, 60bitr4di 289 . . . 4 (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ ((((1st β€˜πΆ) ∈ 𝑋 ∧ (2nd β€˜πΆ) ∈ ℝ+) ∧ ((2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((1st β€˜πΆ)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜πΆ))) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))) ↔ (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜πΆ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))))
6249, 61bitrd 279 . . 3 (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ (𝐢 ∈ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))} ↔ (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜πΆ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))))
6332, 33, 62pm5.21nii 380 . 2 (𝐢 ∈ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))} ↔ (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜πΆ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))
6431, 63bitrdi 287 1 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ β„• ∧ 𝐡 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ (𝐢 ∈ (𝐴𝐹𝐡) ↔ (𝐢 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (2nd β€˜πΆ) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜πΆ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π΅) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3446   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106  {copab 5168   Γ— cxp 5632  dom cdm 5634  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  1st c1st 7920  2nd c2nd 7921  β„cr 11051  1c1 11053   < clt 11190   / cdiv 11813  β„•cn 12154  β„+crp 12916  ballcbl 20786  MetOpencmopn 20789  clsccl 22372  CMetccmet 24621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-rp 12917
This theorem is referenced by:  bcthlem2  24692  bcthlem3  24693  bcthlem4  24694
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