Theorem bcthlem3 25388

Description: Lemma for bcth 25391. The limit point of the centers in the sequence is in the intersection of every ball in the sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bcth.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
bcthlem.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
bcthlem.5	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ (𝑋 × ℝ+) ↦ {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑟 < (1 / 𝑘) ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) ⊆ (((ball‘𝐷)‘𝑧) ∖ (𝑀‘𝑘))))})
bcthlem.6	⊢ (𝜑 → 𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽))
bcthlem.7	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
bcthlem.8	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
bcthlem.9	⊢ (𝜑 → 𝑔:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
bcthlem.10	⊢ (𝜑 → (𝑔‘1) = ⟨𝐶, 𝑅⟩)
bcthlem.11	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
bcthlem3	⊢ ((𝜑 ∧ (1st ∘ 𝑔)(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑟,𝑥,𝑧,𝐴   𝐶,𝑟,𝑥   𝑔,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧,𝐷   𝑔,𝐹,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧   𝑔,𝐽,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧   𝑔,𝑀,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧   𝜑,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧   𝑥,𝑅   𝑔,𝑋,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐴(𝑔)   𝐶(𝑧,𝑔,𝑘)   𝑅(𝑧,𝑔,𝑘,𝑟)

Proof of Theorem bcthlem3

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcthlem.11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)))
2		fvoveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝑔‘(𝑘 + 1)) = (𝑔‘(𝐴 + 1)))
3		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝑘 = 𝐴)
4		fveq2 6867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝑔‘𝑘) = (𝑔‘𝐴))
5	3, 4	oveq12d 7414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)) = (𝐴𝐹(𝑔‘𝐴)))
6	2, 5	eleq12d 2856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)) ↔ (𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔‘𝐴))))
7	6	rspccva 3580	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔‘𝐴)))
8	1, 7	sylan 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔‘𝐴)))
9		bcthlem.9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑔:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
10	9	ffvelcdmda 7065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑔‘𝐴) ∈ (𝑋 × ℝ+))
11		bcth.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
12		bcthlem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
13		bcthlem.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ (𝑋 × ℝ+) ↦ {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑟 < (1 / 𝑘) ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) ⊆ (((ball‘𝐷)‘𝑧) ∖ (𝑀‘𝑘))))})
14	11, 12, 13	bcthlem1 25386	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑔‘𝐴) ∈ (𝑋 × ℝ+))) → ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔‘𝐴)) ↔ ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)) ∖ (𝑀‘𝐴)))))
15	14	expr 460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑔‘𝐴) ∈ (𝑋 × ℝ+) → ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔‘𝐴)) ↔ ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)) ∖ (𝑀‘𝐴))))))
16	10, 15	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔‘𝐴)) ↔ ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)) ∖ (𝑀‘𝐴)))))
17	8, 16	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)) ∖ (𝑀‘𝐴))))
18	17	simp3d 1157	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)) ∖ (𝑀‘𝐴)))
19	18	difss2d 4092	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)))
20	19	3adant2 1144	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (1st ∘ 𝑔)(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)))
21		peano2nn 12222	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
22		cmetmet 25348	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
23		metxmet 24394	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
24	12, 22, 23	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
25		bcthlem.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽))
26		bcthlem.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
27		bcthlem.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
28		bcthlem.10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑔‘1) = ⟨𝐶, 𝑅⟩)
29	11, 12, 13, 25, 26, 27, 9, 28, 1	bcthlem2 25387	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝑛)))
30	24, 9, 29, 11	caublcls 25371	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (1st ∘ 𝑔)(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))))
31	21, 30	syl3an3 1178	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (1st ∘ 𝑔)(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))))
32	20, 31	sseldd 3937	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (1st ∘ 𝑔)(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  {copab 5162   × cxp 5645   ∘ ccom 5651  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ∈ cmpo 7398  1^st c1st 7968  2^nd c2nd 7969  1c1 11074   + caddc 11076   < clt 11216   / cdiv 11844  ℕcn 12210  ℝ⁺crp 12993  ∞Metcxmet 21409  Metcmet 21410  ballcbl 21411  MetOpencmopn 21414  Clsdccld 23076  clsccl 23078  ⇝_𝑡clm 23286  CMetccmet 25316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-topgen 17472  df-psmet 21416  df-xmet 21417  df-met 21418  df-bl 21419  df-mopn 21420  df-top 22954  df-topon 22971  df-bases 23006  df-cld 23079  df-ntr 23080  df-cls 23081  df-lm 23289  df-cmet 25319

This theorem is referenced by:  bcthlem4  25389