Theorem bcthlem3 25294

Description: Lemma for bcth 25297. The limit point of the centers in the sequence is in the intersection of every ball in the sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bcth.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
bcthlem.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
bcthlem.5	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ (𝑋 × ℝ+) ↦ {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑟 < (1 / 𝑘) ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) ⊆ (((ball‘𝐷)‘𝑧) ∖ (𝑀‘𝑘))))})
bcthlem.6	⊢ (𝜑 → 𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽))
bcthlem.7	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
bcthlem.8	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
bcthlem.9	⊢ (𝜑 → 𝑔:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
bcthlem.10	⊢ (𝜑 → (𝑔‘1) = ⟨𝐶, 𝑅⟩)
bcthlem.11	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
bcthlem3	⊢ ((𝜑 ∧ (1st ∘ 𝑔)(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑟,𝑥,𝑧,𝐴   𝐶,𝑟,𝑥   𝑔,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧,𝐷   𝑔,𝐹,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧   𝑔,𝐽,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧   𝑔,𝑀,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧   𝜑,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧   𝑥,𝑅   𝑔,𝑋,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐴(𝑔)   𝐶(𝑧,𝑔,𝑘)   𝑅(𝑧,𝑔,𝑘,𝑟)

Proof of Theorem bcthlem3

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcthlem.11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)))
2		fvoveq1 7391	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝑔‘(𝑘 + 1)) = (𝑔‘(𝐴 + 1)))
3		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝑘 = 𝐴)
4		fveq2 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝑔‘𝑘) = (𝑔‘𝐴))
5	3, 4	oveq12d 7386	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)) = (𝐴𝐹(𝑔‘𝐴)))
6	2, 5	eleq12d 2831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)) ↔ (𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔‘𝐴))))
7	6	rspccva 3577	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔‘𝐴)))
8	1, 7	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔‘𝐴)))
9		bcthlem.9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑔:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
10	9	ffvelcdmda 7038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑔‘𝐴) ∈ (𝑋 × ℝ+))
11		bcth.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
12		bcthlem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
13		bcthlem.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ (𝑋 × ℝ+) ↦ {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑟 < (1 / 𝑘) ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) ⊆ (((ball‘𝐷)‘𝑧) ∖ (𝑀‘𝑘))))})
14	11, 12, 13	bcthlem1 25292	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑔‘𝐴) ∈ (𝑋 × ℝ+))) → ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔‘𝐴)) ↔ ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)) ∖ (𝑀‘𝐴)))))
15	14	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑔‘𝐴) ∈ (𝑋 × ℝ+) → ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔‘𝐴)) ↔ ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)) ∖ (𝑀‘𝐴))))))
16	10, 15	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔‘𝐴)) ↔ ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)) ∖ (𝑀‘𝐴)))))
17	8, 16	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)) ∖ (𝑀‘𝐴))))
18	17	simp3d 1145	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)) ∖ (𝑀‘𝐴)))
19	18	difss2d 4093	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)))
20	19	3adant2 1132	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (1st ∘ 𝑔)(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)))
21		peano2nn 12169	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
22		cmetmet 25254	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
23		metxmet 24290	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
24	12, 22, 23	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
25		bcthlem.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽))
26		bcthlem.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
27		bcthlem.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
28		bcthlem.10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑔‘1) = ⟨𝐶, 𝑅⟩)
29	11, 12, 13, 25, 26, 27, 9, 28, 1	bcthlem2 25293	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝑛)))
30	24, 9, 29, 11	caublcls 25277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (1st ∘ 𝑔)(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))))
31	21, 30	syl3an3 1166	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (1st ∘ 𝑔)(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))))
32	20, 31	sseldd 3936	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (1st ∘ 𝑔)(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  {copab 5162   × cxp 5630   ∘ ccom 5636  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  1^st c1st 7941  2^nd c2nd 7942  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178   / cdiv 11806  ℕcn 12157  ℝ⁺crp 12917  ∞Metcxmet 21306  Metcmet 21307  ballcbl 21308  MetOpencmopn 21311  Clsdccld 22972  clsccl 22974  ⇝_𝑡clm 23182  CMetccmet 25222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-topgen 17375  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-top 22850  df-topon 22867  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-lm 23185  df-cmet 25225

This theorem is referenced by:  bcthlem4  25295