Theorem bcthlem3 25306

Description: Lemma for bcth 25309. The limit point of the centers in the sequence is in the intersection of every ball in the sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bcth.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
bcthlem.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
bcthlem.5	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ (𝑋 × ℝ+) ↦ {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑟 < (1 / 𝑘) ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) ⊆ (((ball‘𝐷)‘𝑧) ∖ (𝑀‘𝑘))))})
bcthlem.6	⊢ (𝜑 → 𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽))
bcthlem.7	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
bcthlem.8	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
bcthlem.9	⊢ (𝜑 → 𝑔:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
bcthlem.10	⊢ (𝜑 → (𝑔‘1) = ⟨𝐶, 𝑅⟩)
bcthlem.11	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
bcthlem3	⊢ ((𝜑 ∧ (1st ∘ 𝑔)(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑟,𝑥,𝑧,𝐴   𝐶,𝑟,𝑥   𝑔,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧,𝐷   𝑔,𝐹,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧   𝑔,𝐽,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧   𝑔,𝑀,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧   𝜑,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧   𝑥,𝑅   𝑔,𝑋,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐴(𝑔)   𝐶(𝑧,𝑔,𝑘)   𝑅(𝑧,𝑔,𝑘,𝑟)

Proof of Theorem bcthlem3

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcthlem.11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)))
2		fvoveq1 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝑔‘(𝑘 + 1)) = (𝑔‘(𝐴 + 1)))
3		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝑘 = 𝐴)
4		fveq2 6835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝑔‘𝑘) = (𝑔‘𝐴))
5	3, 4	oveq12d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)) = (𝐴𝐹(𝑔‘𝐴)))
6	2, 5	eleq12d 2831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)) ↔ (𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔‘𝐴))))
7	6	rspccva 3564	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔‘𝐴)))
8	1, 7	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔‘𝐴)))
9		bcthlem.9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑔:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
10	9	ffvelcdmda 7031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑔‘𝐴) ∈ (𝑋 × ℝ+))
11		bcth.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
12		bcthlem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
13		bcthlem.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ (𝑋 × ℝ+) ↦ {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑟 < (1 / 𝑘) ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) ⊆ (((ball‘𝐷)‘𝑧) ∖ (𝑀‘𝑘))))})
14	11, 12, 13	bcthlem1 25304	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑔‘𝐴) ∈ (𝑋 × ℝ+))) → ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔‘𝐴)) ↔ ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)) ∖ (𝑀‘𝐴)))))
15	14	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑔‘𝐴) ∈ (𝑋 × ℝ+) → ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔‘𝐴)) ↔ ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)) ∖ (𝑀‘𝐴))))))
16	10, 15	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔‘𝐴)) ↔ ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)) ∖ (𝑀‘𝐴)))))
17	8, 16	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)) ∖ (𝑀‘𝐴))))
18	17	simp3d 1145	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)) ∖ (𝑀‘𝐴)))
19	18	difss2d 4080	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)))
20	19	3adant2 1132	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (1st ∘ 𝑔)(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)))
21		peano2nn 12180	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
22		cmetmet 25266	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
23		metxmet 24312	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
24	12, 22, 23	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
25		bcthlem.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽))
26		bcthlem.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
27		bcthlem.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
28		bcthlem.10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑔‘1) = ⟨𝐶, 𝑅⟩)
29	11, 12, 13, 25, 26, 27, 9, 28, 1	bcthlem2 25305	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝑛)))
30	24, 9, 29, 11	caublcls 25289	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (1st ∘ 𝑔)(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))))
31	21, 30	syl3an3 1166	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (1st ∘ 𝑔)(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))))
32	20, 31	sseldd 3923	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (1st ∘ 𝑔)(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086  {copab 5148   × cxp 5623   ∘ ccom 5629  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  1^st c1st 7934  2^nd c2nd 7935  1c1 11033   + caddc 11035   < clt 11173   / cdiv 11801  ℕcn 12168  ℝ⁺crp 12936  ∞Metcxmet 21332  Metcmet 21333  ballcbl 21334  MetOpencmopn 21337  Clsdccld 22994  clsccl 22996  ⇝_𝑡clm 23204  CMetccmet 25234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-topgen 17400  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-top 22872  df-topon 22889  df-bases 22924  df-cld 22997  df-ntr 22998  df-cls 22999  df-lm 23207  df-cmet 25237

This theorem is referenced by:  bcthlem4  25307