Theorem bcthlem3 25647

Description: Lemma for bcth 25650. The limit point of the centers in the sequence is in the intersection of every ball in the sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bcth.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
bcthlem.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
bcthlem.5	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ (𝑋 × ℝ+) ↦ {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑟 < (1 / 𝑘) ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) ⊆ (((ball‘𝐷)‘𝑧) ∖ (𝑀‘𝑘))))})
bcthlem.6	⊢ (𝜑 → 𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽))
bcthlem.7	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
bcthlem.8	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
bcthlem.9	⊢ (𝜑 → 𝑔:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
bcthlem.10	⊢ (𝜑 → (𝑔‘1) = ⟨𝐶, 𝑅⟩)
bcthlem.11	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
bcthlem3	⊢ ((𝜑 ∧ (1st ∘ 𝑔)(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑟,𝑥,𝑧,𝐴   𝐶,𝑟,𝑥   𝑔,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧,𝐷   𝑔,𝐹,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧   𝑔,𝐽,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧   𝑔,𝑀,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧   𝜑,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧   𝑥,𝑅   𝑔,𝑋,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐴(𝑔)   𝐶(𝑧, 𝑔, 𝑘)   𝑅(𝑧, 𝑔, 𝑘, 𝑟)

Proof of Theorem bcthlem3

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcthlem.11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)))
2		fvoveq1 7443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝑔‘(𝑘 + 1)) = (𝑔‘(𝐴 + 1)))
3		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝑘 = 𝐴)
4		fveq2 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝑔‘𝑘) = (𝑔‘𝐴))
5	3, 4	oveq12d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)) = (𝐴𝐹(𝑔‘𝐴)))
6	2, 5	eleq12d 2855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)) ↔ (𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔‘𝐴))))
7	6	rspccva 3576	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔‘𝐴)))
8	1, 7	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔‘𝐴)))
9		bcthlem.9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑔:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
10	9	ffvelcdmda 7084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑔‘𝐴) ∈ (𝑋 × ℝ+))
11		bcth.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
12		bcthlem.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
13		bcthlem.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ (𝑋 × ℝ+) ↦ {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑟 < (1 / 𝑘) ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) ⊆ (((ball‘𝐷)‘𝑧) ∖ (𝑀‘𝑘))))})
14	11, 12, 13	bcthlem1 25645	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑔‘𝐴) ∈ (𝑋 × ℝ+))) → ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔‘𝐴)) ↔ ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)) ∖ (𝑀‘𝐴)))))
15	14	expr 462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑔‘𝐴) ∈ (𝑋 × ℝ+) → ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔‘𝐴)) ↔ ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)) ∖ (𝑀‘𝐴))))))
16	10, 15	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔‘𝐴)) ↔ ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)) ∖ (𝑀‘𝐴)))))
17	8, 16	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)) ∖ (𝑀‘𝐴))))
18	17	simp3d 1162	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)) ∖ (𝑀‘𝐴)))
19	18	difss2d 4086	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)))
20	19	3adant2 1149	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (1st ∘ 𝑔)(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)))
21		peano2nn 12347	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
22		cmetmet 25607	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
23		metxmet 24653	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
24	12, 22, 23	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
25		bcthlem.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽))
26		bcthlem.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
27		bcthlem.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
28		bcthlem.10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑔‘1) = ⟨𝐶, 𝑅⟩)
29	11, 12, 13, 25, 26, 27, 9, 28, 1	bcthlem2 25646	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝑛)))
30	24, 9, 29, 11	caublcls 25630	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (1st ∘ 𝑔)(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))))
31	21, 30	syl3an3 1183	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (1st ∘ 𝑔)(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))))
32	20, 31	sseldd 3932	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (1st ∘ 𝑔)(⇝𝑡‘𝐽)𝑥 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  {copab 5167   × cxp 5649   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  1^st c1st 7999  2^nd c2nd 8000  1c1 11201   + caddc 11203   < clt 11343   / cdiv 11973  ℕcn 12335  ℝ⁺crp 13120  ∞Metcxmet 21663  Metcmet 21664  ballcbl 21665  MetOpencmopn 21668  Clsdccld 23334  clsccl 23336  ⇝_𝑡clm 23544  CMetccmet 25575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-topgen 17614  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-top 23212  df-topon 23229  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-lm 23547  df-cmet 25578

This theorem is used by:  bcthlem4  25648