MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcthlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcthlem3 25209
Description: Lemma for bcth 25212. The limit point of the centers in the sequence is in the intersection of every ball in the sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bcth.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
bcthlem.4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
bcthlem.5 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„•, 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ↦ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))})
bcthlem.6 (πœ‘ β†’ 𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½))
bcthlem.7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
bcthlem.8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
bcthlem.9 (πœ‘ β†’ 𝑔:β„•βŸΆ(𝑋 Γ— ℝ+))
bcthlem.10 (πœ‘ β†’ (π‘”β€˜1) = ⟨𝐢, π‘…βŸ©)
bcthlem.11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘”β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ (π‘˜πΉ(π‘”β€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
bcthlem3 ((πœ‘ ∧ (1st ∘ 𝑔)(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ ((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜π΄)))
Distinct variable groups:   π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧,𝐴   𝐢,π‘Ÿ,π‘₯   𝑔,π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧,𝐷   𝑔,𝐹,π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   𝑔,𝐽,π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   𝑔,𝑀,π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   πœ‘,π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   π‘₯,𝑅   𝑔,𝑋,π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑔)   𝐴(𝑔)   𝐢(𝑧,𝑔,π‘˜)   𝑅(𝑧,𝑔,π‘˜,π‘Ÿ)

Proof of Theorem bcthlem3
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcthlem.11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘”β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ (π‘˜πΉ(π‘”β€˜π‘˜)))
2 fvoveq1 7428 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (π‘”β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘”β€˜(𝐴 + 1)))
3 id 22 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐴 β†’ π‘˜ = 𝐴)
4 fveq2 6885 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (π‘”β€˜π‘˜) = (π‘”β€˜π΄))
53, 4oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (π‘˜πΉ(π‘”β€˜π‘˜)) = (𝐴𝐹(π‘”β€˜π΄)))
62, 5eleq12d 2821 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐴 β†’ ((π‘”β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ (π‘˜πΉ(π‘”β€˜π‘˜)) ↔ (π‘”β€˜(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(π‘”β€˜π΄))))
76rspccva 3605 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘”β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ (π‘˜πΉ(π‘”β€˜π‘˜)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (π‘”β€˜(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(π‘”β€˜π΄)))
81, 7sylan 579 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (π‘”β€˜(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(π‘”β€˜π΄)))
9 bcthlem.9 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑔:β„•βŸΆ(𝑋 Γ— ℝ+))
109ffvelcdmda 7080 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (π‘”β€˜π΄) ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))
11 bcth.2 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
12 bcthlem.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
13 bcthlem.5 . . . . . . . . 9 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„•, 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ↦ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))})
1411, 12, 13bcthlem1 25207 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ β„• ∧ (π‘”β€˜π΄) ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ ((π‘”β€˜(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(π‘”β€˜π΄)) ↔ ((π‘”β€˜(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (2nd β€˜(π‘”β€˜(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜(𝐴 + 1)))) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜π΄)) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))))
1514expr 456 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ ((π‘”β€˜π΄) ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ ((π‘”β€˜(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(π‘”β€˜π΄)) ↔ ((π‘”β€˜(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (2nd β€˜(π‘”β€˜(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜(𝐴 + 1)))) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜π΄)) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))))
1610, 15mpd 15 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ ((π‘”β€˜(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(π‘”β€˜π΄)) ↔ ((π‘”β€˜(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (2nd β€˜(π‘”β€˜(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜(𝐴 + 1)))) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜π΄)) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))))
178, 16mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ ((π‘”β€˜(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (2nd β€˜(π‘”β€˜(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜(𝐴 + 1)))) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜π΄)) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))
1817simp3d 1141 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜(𝐴 + 1)))) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜π΄)) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))
1918difss2d 4129 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜(𝐴 + 1)))) βŠ† ((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜π΄)))
20193adant2 1128 . 2 ((πœ‘ ∧ (1st ∘ 𝑔)(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜(𝐴 + 1)))) βŠ† ((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜π΄)))
21 peano2nn 12228 . . 3 (𝐴 ∈ β„• β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•)
22 cmetmet 25169 . . . . 5 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
23 metxmet 24195 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2412, 22, 233syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
25 bcthlem.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½))
26 bcthlem.7 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
27 bcthlem.8 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
28 bcthlem.10 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘”β€˜1) = ⟨𝐢, π‘…βŸ©)
2911, 12, 13, 25, 26, 27, 9, 28, 1bcthlem2 25208 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜(𝑛 + 1))) βŠ† ((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜π‘›)))
3024, 9, 29, 11caublcls 25192 . . 3 ((πœ‘ ∧ (1st ∘ 𝑔)(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜(𝐴 + 1)))))
3121, 30syl3an3 1162 . 2 ((πœ‘ ∧ (1st ∘ 𝑔)(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜(𝐴 + 1)))))
3220, 31sseldd 3978 1 ((πœ‘ ∧ (1st ∘ 𝑔)(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ ((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141  {copab 5203   Γ— cxp 5667   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  1st c1st 7972  2nd c2nd 7973  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„+crp 12980  βˆžMetcxmet 21225  Metcmet 21226  ballcbl 21227  MetOpencmopn 21230  Clsdccld 22875  clsccl 22877  β‡π‘‘clm 23085  CMetccmet 25137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-lm 23088  df-cmet 25140
This theorem is referenced by:  bcthlem4  25210
  Copyright terms: Public domain W3C validator