MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcthlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcthlem3 23622
Description: Lemma for bcth 23625. The limit point of the centers in the sequence is in the intersection of every ball in the sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bcth.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
bcthlem.4 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
bcthlem.5 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ (𝑋 × ℝ+) ↦ {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑟 < (1 / 𝑘) ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) ⊆ (((ball‘𝐷)‘𝑧) ∖ (𝑀𝑘))))})
bcthlem.6 (𝜑𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽))
bcthlem.7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
bcthlem.8 (𝜑𝐶𝑋)
bcthlem.9 (𝜑𝑔:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
bcthlem.10 (𝜑 → (𝑔‘1) = ⟨𝐶, 𝑅⟩)
bcthlem.11 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)))
Assertion
Ref Expression
bcthlem3 ((𝜑 ∧ (1st𝑔)(⇝𝑡𝐽)𝑥𝐴 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑟,𝑥,𝑧,𝐴   𝐶,𝑟,𝑥   𝑔,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧,𝐷   𝑔,𝐹,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧   𝑔,𝐽,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧   𝑔,𝑀,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧   𝜑,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧   𝑥,𝑅   𝑔,𝑋,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐴(𝑔)   𝐶(𝑧,𝑔,𝑘)   𝑅(𝑧,𝑔,𝑘,𝑟)

Proof of Theorem bcthlem3
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcthlem.11 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)))
2 fvoveq1 6993 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐴 → (𝑔‘(𝑘 + 1)) = (𝑔‘(𝐴 + 1)))
3 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐴)
4 fveq2 6493 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐴 → (𝑔𝑘) = (𝑔𝐴))
53, 4oveq12d 6988 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐴 → (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) = (𝐴𝐹(𝑔𝐴)))
62, 5eleq12d 2854 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐴 → ((𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) ↔ (𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔𝐴))))
76rspccva 3528 . . . . . . 7 ((∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔𝐴)))
81, 7sylan 572 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔𝐴)))
9 bcthlem.9 . . . . . . . 8 (𝜑𝑔:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
109ffvelrnda 6670 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (𝑔𝐴) ∈ (𝑋 × ℝ+))
11 bcth.2 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
12 bcthlem.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
13 bcthlem.5 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ (𝑋 × ℝ+) ↦ {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑟 < (1 / 𝑘) ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) ⊆ (((ball‘𝐷)‘𝑧) ∖ (𝑀𝑘))))})
1411, 12, 13bcthlem1 23620 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑔𝐴) ∈ (𝑋 × ℝ+))) → ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔𝐴)) ↔ ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝐴)) ∖ (𝑀𝐴)))))
1514expr 449 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑔𝐴) ∈ (𝑋 × ℝ+) → ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔𝐴)) ↔ ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝐴)) ∖ (𝑀𝐴))))))
1610, 15mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔𝐴)) ↔ ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝐴)) ∖ (𝑀𝐴)))))
178, 16mpbid 224 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝐴)) ∖ (𝑀𝐴))))
1817simp3d 1124 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝐴)) ∖ (𝑀𝐴)))
1918difss2d 3997 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝐴)))
20193adant2 1111 . 2 ((𝜑 ∧ (1st𝑔)(⇝𝑡𝐽)𝑥𝐴 ∈ ℕ) → ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝐴)))
21 peano2nn 11445 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
22 cmetmet 23582 . . . . 5 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
23 metxmet 22637 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2412, 22, 233syl 18 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
25 bcthlem.6 . . . . 5 (𝜑𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽))
26 bcthlem.7 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
27 bcthlem.8 . . . . 5 (𝜑𝐶𝑋)
28 bcthlem.10 . . . . 5 (𝜑 → (𝑔‘1) = ⟨𝐶, 𝑅⟩)
2911, 12, 13, 25, 26, 27, 9, 28, 1bcthlem2 23621 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)))
3024, 9, 29, 11caublcls 23605 . . 3 ((𝜑 ∧ (1st𝑔)(⇝𝑡𝐽)𝑥 ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))))
3121, 30syl3an3 1145 . 2 ((𝜑 ∧ (1st𝑔)(⇝𝑡𝐽)𝑥𝐴 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))))
3220, 31sseldd 3855 1 ((𝜑 ∧ (1st𝑔)(⇝𝑡𝐽)𝑥𝐴 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2048  wral 3082  cdif 3822  wss 3825  cop 4441   class class class wbr 4923  {copab 4985   × cxp 5398  ccom 5404  wf 6178  cfv 6182  (class class class)co 6970  cmpo 6972  1st c1st 7492  2nd c2nd 7493  1c1 10328   + caddc 10330   < clt 10466   / cdiv 11090  cn 11431  +crp 12197  ∞Metcxmet 20222  Metcmet 20223  ballcbl 20224  MetOpencmopn 20227  Clsdccld 21318  clsccl 21320  𝑡clm 21528  CMetccmet 23550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-map 8200  df-pm 8201  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-sup 8693  df-inf 8694  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-q 12156  df-rp 12198  df-xneg 12317  df-xadd 12318  df-xmul 12319  df-topgen 16563  df-psmet 20229  df-xmet 20230  df-met 20231  df-bl 20232  df-mopn 20233  df-top 21196  df-topon 21213  df-bases 21248  df-cld 21321  df-ntr 21322  df-cls 21323  df-lm 21531  df-cmet 23553
This theorem is referenced by:  bcthlem4  23623
  Copyright terms: Public domain W3C validator