MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcthlem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem bcthlem3 25282
Description: Lemma for bcth 25285. The limit point of the centers in the sequence is in the intersection of every ball in the sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bcth.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
bcthlem.4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
bcthlem.5 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„•, 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ↦ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))})
bcthlem.6 (πœ‘ β†’ 𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½))
bcthlem.7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
bcthlem.8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
bcthlem.9 (πœ‘ β†’ 𝑔:β„•βŸΆ(𝑋 Γ— ℝ+))
bcthlem.10 (πœ‘ β†’ (π‘”β€˜1) = ⟨𝐢, π‘…βŸ©)
bcthlem.11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘”β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ (π‘˜πΉ(π‘”β€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
bcthlem3 ((πœ‘ ∧ (1st ∘ 𝑔)(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ ((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜π΄)))
Distinct variable groups:   π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧,𝐴   𝐢,π‘Ÿ,π‘₯   𝑔,π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧,𝐷   𝑔,𝐹,π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   𝑔,𝐽,π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   𝑔,𝑀,π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   πœ‘,π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   π‘₯,𝑅   𝑔,𝑋,π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑔)   𝐴(𝑔)   𝐢(𝑧,𝑔,π‘˜)   𝑅(𝑧,𝑔,π‘˜,π‘Ÿ)
Proof of Theorem bcthlem3
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcthlem.11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘”β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ (π‘˜πΉ(π‘”β€˜π‘˜)))
2 fvoveq1 7449 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (π‘”β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘”β€˜(𝐴 + 1)))
3 id 22 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐴 β†’ π‘˜ = 𝐴)
4 fveq2 6902 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (π‘”β€˜π‘˜) = (π‘”β€˜π΄))
53, 4oveq12d 7444 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (π‘˜πΉ(π‘”β€˜π‘˜)) = (𝐴𝐹(π‘”β€˜π΄)))
62, 5eleq12d 2823 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐴 β†’ ((π‘”β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ (π‘˜πΉ(π‘”β€˜π‘˜)) ↔ (π‘”β€˜(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(π‘”β€˜π΄))))
76rspccva 3610 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘”β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ (π‘˜πΉ(π‘”β€˜π‘˜)) ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (π‘”β€˜(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(π‘”β€˜π΄)))
81, 7sylan 578 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (π‘”β€˜(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(π‘”β€˜π΄)))
9 bcthlem.9 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑔:β„•βŸΆ(𝑋 Γ— ℝ+))
109ffvelcdmda 7099 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (π‘”β€˜π΄) ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))
11 bcth.2 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
12 bcthlem.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
13 bcthlem.5 . . . . . . . . 9 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„•, 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ↦ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))})
1411, 12, 13bcthlem1 25280 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ β„• ∧ (π‘”β€˜π΄) ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ ((π‘”β€˜(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(π‘”β€˜π΄)) ↔ ((π‘”β€˜(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (2nd β€˜(π‘”β€˜(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜(𝐴 + 1)))) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜π΄)) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))))
1514expr 455 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ ((π‘”β€˜π΄) ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ ((π‘”β€˜(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(π‘”β€˜π΄)) ↔ ((π‘”β€˜(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (2nd β€˜(π‘”β€˜(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜(𝐴 + 1)))) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜π΄)) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))))
1610, 15mpd 15 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ ((π‘”β€˜(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(π‘”β€˜π΄)) ↔ ((π‘”β€˜(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (2nd β€˜(π‘”β€˜(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜(𝐴 + 1)))) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜π΄)) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))))
178, 16mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ ((π‘”β€˜(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (2nd β€˜(π‘”β€˜(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜(𝐴 + 1)))) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜π΄)) βˆ– (π‘€β€˜π΄))))
1817simp3d 1141 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜(𝐴 + 1)))) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜π΄)) βˆ– (π‘€β€˜π΄)))
1918difss2d 4135 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜(𝐴 + 1)))) βŠ† ((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜π΄)))
20193adant2 1128 . 2 ((πœ‘ ∧ (1st ∘ 𝑔)(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜(𝐴 + 1)))) βŠ† ((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜π΄)))
21 peano2nn 12264 . . 3 (𝐴 ∈ β„• β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•)
22 cmetmet 25242 . . . . 5 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
23 metxmet 24268 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2412, 22, 233syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
25 bcthlem.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½))
26 bcthlem.7 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
27 bcthlem.8 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
28 bcthlem.10 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘”β€˜1) = ⟨𝐢, π‘…βŸ©)
2911, 12, 13, 25, 26, 27, 9, 28, 1bcthlem2 25281 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜(𝑛 + 1))) βŠ† ((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜π‘›)))
3024, 9, 29, 11caublcls 25265 . . 3 ((πœ‘ ∧ (1st ∘ 𝑔)(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜(𝐴 + 1)))))
3121, 30syl3an3 1162 . 2 ((πœ‘ ∧ (1st ∘ 𝑔)(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜(𝐴 + 1)))))
3220, 31sseldd 3983 1 ((πœ‘ ∧ (1st ∘ 𝑔)(β‡π‘‘β€˜π½)π‘₯ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ ((ballβ€˜π·)β€˜(π‘”β€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  βŸ¨cop 4638   class class class wbr 5152  {copab 5214   Γ— cxp 5680   ∘ ccom 5686  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  1st c1st 7999  2nd c2nd 8000  1c1 11149   + caddc 11151   < clt 11288   / cdiv 11911  β„•cn 12252  β„+crp 13016  βˆžMetcxmet 21278  Metcmet 21279  ballcbl 21280  MetOpencmopn 21283  Clsdccld 22948  clsccl 22950  β‡π‘‘clm 23158  CMetccmet 25210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-topgen 17434  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-top 22824  df-topon 22841  df-bases 22877  df-cld 22951  df-ntr 22952  df-cls 22953  df-lm 23161  df-cmet 25213
This theorem is referenced by:  bcthlem4  25283
  Copyright terms: Public domain W3C validator