MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcthlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcthlem3 25342
Description: Lemma for bcth 25345. The limit point of the centers in the sequence is in the intersection of every ball in the sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bcth.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
bcthlem.4 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
bcthlem.5 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ (𝑋 × ℝ+) ↦ {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑟 < (1 / 𝑘) ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) ⊆ (((ball‘𝐷)‘𝑧) ∖ (𝑀𝑘))))})
bcthlem.6 (𝜑𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽))
bcthlem.7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
bcthlem.8 (𝜑𝐶𝑋)
bcthlem.9 (𝜑𝑔:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
bcthlem.10 (𝜑 → (𝑔‘1) = ⟨𝐶, 𝑅⟩)
bcthlem.11 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)))
Assertion
Ref Expression
bcthlem3 ((𝜑 ∧ (1st𝑔)(⇝𝑡𝐽)𝑥𝐴 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑟,𝑥,𝑧,𝐴   𝐶,𝑟,𝑥   𝑔,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧,𝐷   𝑔,𝐹,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧   𝑔,𝐽,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧   𝑔,𝑀,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧   𝜑,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧   𝑥,𝑅   𝑔,𝑋,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐴(𝑔)   𝐶(𝑧,𝑔,𝑘)   𝑅(𝑧,𝑔,𝑘,𝑟)

Proof of Theorem bcthlem3
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcthlem.11 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)))
2 fvoveq1 7439 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐴 → (𝑔‘(𝑘 + 1)) = (𝑔‘(𝐴 + 1)))
3 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐴)
4 fveq2 6893 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐴 → (𝑔𝑘) = (𝑔𝐴))
53, 4oveq12d 7434 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐴 → (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) = (𝐴𝐹(𝑔𝐴)))
62, 5eleq12d 2820 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐴 → ((𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) ↔ (𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔𝐴))))
76rspccva 3606 . . . . . . 7 ((∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔𝐴)))
81, 7sylan 578 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔𝐴)))
9 bcthlem.9 . . . . . . . 8 (𝜑𝑔:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
109ffvelcdmda 7090 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (𝑔𝐴) ∈ (𝑋 × ℝ+))
11 bcth.2 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
12 bcthlem.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
13 bcthlem.5 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ (𝑋 × ℝ+) ↦ {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑟 < (1 / 𝑘) ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) ⊆ (((ball‘𝐷)‘𝑧) ∖ (𝑀𝑘))))})
1411, 12, 13bcthlem1 25340 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑔𝐴) ∈ (𝑋 × ℝ+))) → ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔𝐴)) ↔ ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝐴)) ∖ (𝑀𝐴)))))
1514expr 455 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑔𝐴) ∈ (𝑋 × ℝ+) → ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔𝐴)) ↔ ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝐴)) ∖ (𝑀𝐴))))))
1610, 15mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔𝐴)) ↔ ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝐴)) ∖ (𝑀𝐴)))))
178, 16mpbid 231 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝐴)) ∖ (𝑀𝐴))))
1817simp3d 1141 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝐴)) ∖ (𝑀𝐴)))
1918difss2d 4131 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝐴)))
20193adant2 1128 . 2 ((𝜑 ∧ (1st𝑔)(⇝𝑡𝐽)𝑥𝐴 ∈ ℕ) → ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝐴)))
21 peano2nn 12270 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
22 cmetmet 25302 . . . . 5 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
23 metxmet 24328 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2412, 22, 233syl 18 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
25 bcthlem.6 . . . . 5 (𝜑𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽))
26 bcthlem.7 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
27 bcthlem.8 . . . . 5 (𝜑𝐶𝑋)
28 bcthlem.10 . . . . 5 (𝜑 → (𝑔‘1) = ⟨𝐶, 𝑅⟩)
2911, 12, 13, 25, 26, 27, 9, 28, 1bcthlem2 25341 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)))
3024, 9, 29, 11caublcls 25325 . . 3 ((𝜑 ∧ (1st𝑔)(⇝𝑡𝐽)𝑥 ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))))
3121, 30syl3an3 1162 . 2 ((𝜑 ∧ (1st𝑔)(⇝𝑡𝐽)𝑥𝐴 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))))
3220, 31sseldd 3979 1 ((𝜑 ∧ (1st𝑔)(⇝𝑡𝐽)𝑥𝐴 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  cdif 3943  wss 3946  cop 4629   class class class wbr 5145  {copab 5207   × cxp 5672  ccom 5678  wf 6542  cfv 6546  (class class class)co 7416  cmpo 7418  1st c1st 7993  2nd c2nd 7994  1c1 11150   + caddc 11152   < clt 11289   / cdiv 11912  cn 12258  +crp 13022  ∞Metcxmet 21324  Metcmet 21325  ballcbl 21326  MetOpencmopn 21329  Clsdccld 23008  clsccl 23010  𝑡clm 23218  CMetccmet 25270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-topgen 17453  df-psmet 21331  df-xmet 21332  df-met 21333  df-bl 21334  df-mopn 21335  df-top 22884  df-topon 22901  df-bases 22937  df-cld 23011  df-ntr 23012  df-cls 23013  df-lm 23221  df-cmet 25273
This theorem is referenced by:  bcthlem4  25343
  Copyright terms: Public domain W3C validator