Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcthlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcthlem3 23933
 Description: Lemma for bcth 23936. The limit point of the centers in the sequence is in the intersection of every ball in the sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bcth.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
bcthlem.4 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
bcthlem.5 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ (𝑋 × ℝ+) ↦ {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑟 < (1 / 𝑘) ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) ⊆ (((ball‘𝐷)‘𝑧) ∖ (𝑀𝑘))))})
bcthlem.6 (𝜑𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽))
bcthlem.7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
bcthlem.8 (𝜑𝐶𝑋)
bcthlem.9 (𝜑𝑔:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
bcthlem.10 (𝜑 → (𝑔‘1) = ⟨𝐶, 𝑅⟩)
bcthlem.11 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)))
Assertion
Ref Expression
bcthlem3 ((𝜑 ∧ (1st𝑔)(⇝𝑡𝐽)𝑥𝐴 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑟,𝑥,𝑧,𝐴   𝐶,𝑟,𝑥   𝑔,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧,𝐷   𝑔,𝐹,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧   𝑔,𝐽,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧   𝑔,𝑀,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧   𝜑,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧   𝑥,𝑅   𝑔,𝑋,𝑘,𝑟,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐴(𝑔)   𝐶(𝑧,𝑔,𝑘)   𝑅(𝑧,𝑔,𝑘,𝑟)

Proof of Theorem bcthlem3
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcthlem.11 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)))
2 fvoveq1 7162 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐴 → (𝑔‘(𝑘 + 1)) = (𝑔‘(𝐴 + 1)))
3 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐴)
4 fveq2 6649 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐴 → (𝑔𝑘) = (𝑔𝐴))
53, 4oveq12d 7157 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐴 → (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) = (𝐴𝐹(𝑔𝐴)))
62, 5eleq12d 2887 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐴 → ((𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) ↔ (𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔𝐴))))
76rspccva 3573 . . . . . . 7 ((∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔𝐴)))
81, 7sylan 583 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔𝐴)))
9 bcthlem.9 . . . . . . . 8 (𝜑𝑔:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
109ffvelrnda 6832 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (𝑔𝐴) ∈ (𝑋 × ℝ+))
11 bcth.2 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
12 bcthlem.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
13 bcthlem.5 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ (𝑋 × ℝ+) ↦ {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑟 < (1 / 𝑘) ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) ⊆ (((ball‘𝐷)‘𝑧) ∖ (𝑀𝑘))))})
1411, 12, 13bcthlem1 23931 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑔𝐴) ∈ (𝑋 × ℝ+))) → ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔𝐴)) ↔ ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝐴)) ∖ (𝑀𝐴)))))
1514expr 460 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑔𝐴) ∈ (𝑋 × ℝ+) → ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔𝐴)) ↔ ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝐴)) ∖ (𝑀𝐴))))))
1610, 15mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝐴𝐹(𝑔𝐴)) ↔ ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝐴)) ∖ (𝑀𝐴)))))
178, 16mpbid 235 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑔‘(𝐴 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝐴 + 1))) < (1 / 𝐴) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝐴)) ∖ (𝑀𝐴))))
1817simp3d 1141 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝐴)) ∖ (𝑀𝐴)))
1918difss2d 4065 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝐴)))
20193adant2 1128 . 2 ((𝜑 ∧ (1st𝑔)(⇝𝑡𝐽)𝑥𝐴 ∈ ℕ) → ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝐴)))
21 peano2nn 11641 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
22 cmetmet 23893 . . . . 5 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
23 metxmet 22944 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2412, 22, 233syl 18 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
25 bcthlem.6 . . . . 5 (𝜑𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽))
26 bcthlem.7 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
27 bcthlem.8 . . . . 5 (𝜑𝐶𝑋)
28 bcthlem.10 . . . . 5 (𝜑 → (𝑔‘1) = ⟨𝐶, 𝑅⟩)
2911, 12, 13, 25, 26, 27, 9, 28, 1bcthlem2 23932 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)))
3024, 9, 29, 11caublcls 23916 . . 3 ((𝜑 ∧ (1st𝑔)(⇝𝑡𝐽)𝑥 ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))))
3121, 30syl3an3 1162 . 2 ((𝜑 ∧ (1st𝑔)(⇝𝑡𝐽)𝑥𝐴 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝐴 + 1)))))
3220, 31sseldd 3919 1 ((𝜑 ∧ (1st𝑔)(⇝𝑡𝐽)𝑥𝐴 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109   ∖ cdif 3881   ⊆ wss 3884  ⟨cop 4534   class class class wbr 5033  {copab 5095   × cxp 5521   ∘ ccom 5527  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∈ cmpo 7141  1st c1st 7673  2nd c2nd 7674  1c1 10531   + caddc 10533   < clt 10668   / cdiv 11290  ℕcn 11629  ℝ+crp 12381  ∞Metcxmet 20079  Metcmet 20080  ballcbl 20081  MetOpencmopn 20084  Clsdccld 21624  clsccl 21626  ⇝𝑡clm 21834  CMetccmet 23861 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-topgen 16712  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-top 21502  df-topon 21519  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-lm 21837  df-cmet 23864 This theorem is referenced by:  bcthlem4  23934
 Copyright terms: Public domain W3C validator