MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcthlem2 24689
Description: Lemma for bcth 24693. The balls in the sequence form an inclusion chain. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bcth.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
bcthlem.4 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
bcthlem.5 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ (𝑋 × ℝ+) ↦ {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑟 < (1 / 𝑘) ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) ⊆ (((ball‘𝐷)‘𝑧) ∖ (𝑀𝑘))))})
bcthlem.6 (𝜑𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽))
bcthlem.7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
bcthlem.8 (𝜑𝐶𝑋)
bcthlem.9 (𝜑𝑔:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
bcthlem.10 (𝜑 → (𝑔‘1) = ⟨𝐶, 𝑅⟩)
bcthlem.11 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)))
Assertion
Ref Expression
bcthlem2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑧   𝐶,𝑟,𝑥   𝑔,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑧,𝐷   𝑔,𝐹,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑧   𝑔,𝐽,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑧   𝑔,𝑀,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑧   𝜑,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑧   𝑥,𝑅   𝑔,𝑋,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑧,𝑔,𝑘,𝑛)   𝑅(𝑧,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem bcthlem2
StepHypRef Expression
1 bcthlem.11 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)))
2 fvoveq1 7380 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (𝑔‘(𝑘 + 1)) = (𝑔‘(𝑛 + 1)))
3 id 22 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛𝑘 = 𝑛)
4 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (𝑔𝑘) = (𝑔𝑛))
53, 4oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) = (𝑛𝐹(𝑔𝑛)))
62, 5eleq12d 2832 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) ↔ (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(𝑔𝑛))))
76rspccva 3580 . . . . 5 ((∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(𝑔𝑛)))
81, 7sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(𝑔𝑛)))
9 bcthlem.9 . . . . . 6 (𝜑𝑔:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
109ffvelcdmda 7035 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑔𝑛) ∈ (𝑋 × ℝ+))
11 bcth.2 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
12 bcthlem.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
13 bcthlem.5 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ (𝑋 × ℝ+) ↦ {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑟 < (1 / 𝑘) ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) ⊆ (((ball‘𝐷)‘𝑧) ∖ (𝑀𝑘))))})
1411, 12, 13bcthlem1 24688 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑔𝑛) ∈ (𝑋 × ℝ+))) → ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(𝑔𝑛)) ↔ ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) < (1 / 𝑛) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛)))))
1514expr 457 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑔𝑛) ∈ (𝑋 × ℝ+) → ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(𝑔𝑛)) ↔ ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) < (1 / 𝑛) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛))))))
1610, 15mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(𝑔𝑛)) ↔ ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) < (1 / 𝑛) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛)))))
178, 16mpbid 231 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) < (1 / 𝑛) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛))))
18 cmetmet 24650 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
1912, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
20 metxmet 23687 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2211mopntop 23793 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ Top)
24 xp1st 7953 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) → (1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ∈ 𝑋)
25 xp2nd 7954 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) → (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ∈ ℝ+)
2625rpxrd 12958 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) → (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ∈ ℝ*)
2724, 26jca 512 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) → ((1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ∈ 𝑋 ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ∈ ℝ*))
28 blssm 23771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ∈ 𝑋 ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))(ball‘𝐷)(2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ 𝑋)
29283expb 1120 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ∈ 𝑋 ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ∈ ℝ*)) → ((1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))(ball‘𝐷)(2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ 𝑋)
3021, 27, 29syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+)) → ((1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))(ball‘𝐷)(2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ 𝑋)
31 df-ov 7360 . . . . . . . . . . . 12 ((1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))(ball‘𝐷)(2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) = ((ball‘𝐷)‘⟨(1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))), (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))⟩)
32 1st2nd2 7960 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) → (𝑔‘(𝑛 + 1)) = ⟨(1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))), (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))⟩)
3332fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) = ((ball‘𝐷)‘⟨(1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))), (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))⟩))
3431, 33eqtr4id 2795 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) → ((1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))(ball‘𝐷)(2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) = ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))))
3534adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+)) → ((1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))(ball‘𝐷)(2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) = ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))))
3611mopnuni 23794 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
3721, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 = 𝐽)
3837adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+)) → 𝑋 = 𝐽)
3930, 35, 383sstr3d 3990 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+)) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ 𝐽)
40 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 𝐽 = 𝐽
4140sscls 22407 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ 𝐽) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))))
4223, 39, 41syl2an2r 683 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+)) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))))
43 difss2 4093 . . . . . . . 8 (((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛)) → ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)))
44 sstr2 3951 . . . . . . . 8 (((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) → (((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛))))
4542, 43, 44syl2im 40 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+)) → (((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛)) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛))))
4645a1d 25 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+)) → ((2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) < (1 / 𝑛) → (((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛)) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)))))
4746ex 413 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) → ((2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) < (1 / 𝑛) → (((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛)) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛))))))
48473impd 1348 . . . 4 (𝜑 → (((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) < (1 / 𝑛) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛))) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛))))
4948adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) < (1 / 𝑛) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛))) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛))))
5017, 49mpd 15 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)))
5150ralrimiva 3143 1 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  cdif 3907  wss 3910  cop 4592   cuni 4865   class class class wbr 5105  {copab 5167   × cxp 5631  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  1st c1st 7919  2nd c2nd 7920  1c1 11052   + caddc 11054  *cxr 11188   < clt 11189   / cdiv 11812  cn 12153  +crp 12915  ∞Metcxmet 20781  Metcmet 20782  ballcbl 20783  MetOpencmopn 20786  Topctop 22242  Clsdccld 22367  clsccl 22369  CMetccmet 24618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cld 22370  df-cls 22372  df-cmet 24621
This theorem is referenced by:  bcthlem3  24690  bcthlem4  24691
  Copyright terms: Public domain W3C validator