MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcthlem2 23927
Description: Lemma for bcth 23931. The balls in the sequence form an inclusion chain. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bcth.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
bcthlem.4 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
bcthlem.5 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ (𝑋 × ℝ+) ↦ {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑟 < (1 / 𝑘) ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) ⊆ (((ball‘𝐷)‘𝑧) ∖ (𝑀𝑘))))})
bcthlem.6 (𝜑𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽))
bcthlem.7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
bcthlem.8 (𝜑𝐶𝑋)
bcthlem.9 (𝜑𝑔:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
bcthlem.10 (𝜑 → (𝑔‘1) = ⟨𝐶, 𝑅⟩)
bcthlem.11 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)))
Assertion
Ref Expression
bcthlem2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑧   𝐶,𝑟,𝑥   𝑔,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑧,𝐷   𝑔,𝐹,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑧   𝑔,𝐽,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑧   𝑔,𝑀,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑧   𝜑,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑧   𝑥,𝑅   𝑔,𝑋,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑧,𝑔,𝑘,𝑛)   𝑅(𝑧,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem bcthlem2
StepHypRef Expression
1 bcthlem.11 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)))
2 fvoveq1 7169 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (𝑔‘(𝑘 + 1)) = (𝑔‘(𝑛 + 1)))
3 id 22 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛𝑘 = 𝑛)
4 fveq2 6659 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (𝑔𝑘) = (𝑔𝑛))
53, 4oveq12d 7164 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) = (𝑛𝐹(𝑔𝑛)))
62, 5eleq12d 2910 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) ↔ (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(𝑔𝑛))))
76rspccva 3608 . . . . 5 ((∀𝑘 ∈ ℕ (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(𝑔𝑛)))
81, 7sylan 583 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(𝑔𝑛)))
9 bcthlem.9 . . . . . 6 (𝜑𝑔:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
109ffvelrnda 6840 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑔𝑛) ∈ (𝑋 × ℝ+))
11 bcth.2 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
12 bcthlem.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
13 bcthlem.5 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ (𝑋 × ℝ+) ↦ {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑟 < (1 / 𝑘) ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) ⊆ (((ball‘𝐷)‘𝑧) ∖ (𝑀𝑘))))})
1411, 12, 13bcthlem1 23926 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑔𝑛) ∈ (𝑋 × ℝ+))) → ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(𝑔𝑛)) ↔ ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) < (1 / 𝑛) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛)))))
1514expr 460 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑔𝑛) ∈ (𝑋 × ℝ+) → ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(𝑔𝑛)) ↔ ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) < (1 / 𝑛) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛))))))
1610, 15mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(𝑔𝑛)) ↔ ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) < (1 / 𝑛) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛)))))
178, 16mpbid 235 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) < (1 / 𝑛) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛))))
18 cmetmet 23888 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
1912, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
20 metxmet 22939 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2211mopntop 23045 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ Top)
24 xp1st 7713 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) → (1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ∈ 𝑋)
25 xp2nd 7714 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) → (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ∈ ℝ+)
2625rpxrd 12427 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) → (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ∈ ℝ*)
2724, 26jca 515 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) → ((1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ∈ 𝑋 ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ∈ ℝ*))
28 blssm 23023 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ∈ 𝑋 ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))(ball‘𝐷)(2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ 𝑋)
29283expb 1117 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ∈ 𝑋 ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ∈ ℝ*)) → ((1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))(ball‘𝐷)(2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ 𝑋)
3021, 27, 29syl2an 598 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+)) → ((1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))(ball‘𝐷)(2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ 𝑋)
31 1st2nd2 7720 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) → (𝑔‘(𝑛 + 1)) = ⟨(1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))), (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))⟩)
3231fveq2d 6663 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) = ((ball‘𝐷)‘⟨(1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))), (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))⟩))
33 df-ov 7149 . . . . . . . . . . . 12 ((1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))(ball‘𝐷)(2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) = ((ball‘𝐷)‘⟨(1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))), (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))⟩)
3432, 33syl6reqr 2878 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) → ((1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))(ball‘𝐷)(2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) = ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))))
3534adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+)) → ((1st ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))(ball‘𝐷)(2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) = ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))))
3611mopnuni 23046 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
3721, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 = 𝐽)
3837adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+)) → 𝑋 = 𝐽)
3930, 35, 383sstr3d 3999 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+)) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ 𝐽)
40 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 𝐽 = 𝐽
4140sscls 21659 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ 𝐽) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))))
4223, 39, 41syl2an2r 684 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+)) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))))
43 difss2 4096 . . . . . . . 8 (((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛)) → ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)))
44 sstr2 3960 . . . . . . . 8 (((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) → (((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛))))
4542, 43, 44syl2im 40 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+)) → (((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛)) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛))))
4645a1d 25 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+)) → ((2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) < (1 / 𝑛) → (((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛)) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)))))
4746ex 416 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) → ((2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) < (1 / 𝑛) → (((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛)) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛))))))
48473impd 1345 . . . 4 (𝜑 → (((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) < (1 / 𝑛) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛))) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛))))
4948adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑔‘(𝑛 + 1)) ∈ (𝑋 × ℝ+) ∧ (2nd ‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) < (1 / 𝑛) ∧ ((cls‘𝐽)‘((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1)))) ⊆ (((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)) ∖ (𝑀𝑛))) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛))))
5017, 49mpd 15 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)))
5150ralrimiva 3177 1 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ((ball‘𝐷)‘(𝑔‘(𝑛 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑔𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  cdif 3916  wss 3919  cop 4556   cuni 4825   class class class wbr 5053  {copab 5115   × cxp 5541  wf 6340  cfv 6344  (class class class)co 7146  cmpo 7148  1st c1st 7679  2nd c2nd 7680  1c1 10532   + caddc 10534  *cxr 10668   < clt 10669   / cdiv 11291  cn 11632  +crp 12384  ∞Metcxmet 20525  Metcmet 20526  ballcbl 20527  MetOpencmopn 20530  Topctop 21496  Clsdccld 21619  clsccl 21621  CMetccmet 23856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8899  df-inf 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-topgen 16715  df-psmet 20532  df-xmet 20533  df-met 20534  df-bl 20535  df-mopn 20536  df-top 21497  df-topon 21514  df-bases 21549  df-cld 21622  df-cls 21624  df-cmet 23859
This theorem is referenced by:  bcthlem3  23928  bcthlem4  23929
  Copyright terms: Public domain W3C validator