Theorem blssm 24336

Description: A ball is a subset of the base set of a metric space. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blssm	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem blssm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blf 24325	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
2		fovcdm 7524	. . 3 ⊢ (((ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
3	1, 2	syl3an1 1163	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
4	3	elpwid 4560	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  𝒫 cpw 4551   × cxp 5619  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  ℝ^*cxr 11154  ∞Metcxmet 21280  ballcbl 21282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-fv 6496  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-map 8760  df-xr 11159  df-psmet 21287  df-xmet 21288  df-bl 21290

This theorem is referenced by:  blpnfctr  24354  xmetresbl  24355  imasf1oxms  24407  prdsbl  24409  blcld  24423  blcls  24424  prdsxmslem2  24447  metcnp  24459  cnllycmp  24885  lebnumlem3  24892  lebnum  24893  cfil3i  25199  iscfil3  25203  cfilfcls  25204  iscmet3lem2  25222  equivcfil  25229  caublcls  25239  relcmpcmet  25248  cmpcmet  25249  cncmet  25252  bcthlem2  25255  bcthlem4  25257  dvlip2  25930  dv11cn  25936  pserdvlem2  26368  pserdv  26369  abelthlem3  26373  abelthlem5  26375  dvlog2lem  26591  dvlog2  26592  efopnlem2  26596  efopn  26597  logtayl  26599  efrlim  26909  efrlimOLD  26910  blsconn  35311  sstotbnd2  37837  equivtotbnd  37841  isbnd2  37846  blbnd  37850  totbndbnd  37852  prdstotbnd  37857  prdsbnd2  37858  ismtyima  37866  heiborlem3  37876  heiborlem8  37881