Theorem blssm 24612

Description: A ball is a subset of the base set of a metric space. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blssm	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem blssm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blf 24601	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
2		fovcdm 7593	. . 3 ⊢ (((ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
3	1, 2	syl3an1 1181	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
4	3	elpwid 4576	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908  𝒫 cpw 4567   × cxp 5664  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℝ^*cxr 11260  ∞Metcxmet 21544  ballcbl 21546

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-map 8835  df-xr 11265  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-bl 21554

This theorem is used by:  blpnfctr  24630  xmetresbl  24631  imasf1oxms  24683  prdsbl  24685  blcld  24699  blcls  24700  prdsxmslem2  24723  metcnp  24735  cnllycmp  25152  lebnumlem3  25159  lebnum  25160  cfil3i  25465  iscfil3  25469  cfilfcls  25470  iscmet3lem2  25488  equivcfil  25495  caublcls  25505  relcmpcmet  25514  cmpcmet  25515  cncmet  25518  bcthlem2  25521  bcthlem4  25523  dvlip2  26191  dv11cn  26197  pserdvlem2  26628  pserdv  26629  abelthlem3  26633  abelthlem5  26635  dvlog2lem  26854  dvlog2  26855  efopnlem2  26859  efopn  26860  logtayl  26862  efrlim  27171  blsconn  35757  sstotbnd2  38466  equivtotbnd  38470  isbnd2  38475  blbnd  38479  totbndbnd  38481  prdstotbnd  38486  prdsbnd2  38487  ismtyima  38495  heiborlem3  38505  heiborlem8  38510