MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blssm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blssm 23755
Description: A ball is a subset of the base set of a metric space. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blssm ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem blssm
StepHypRef Expression
1 blf 23744 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
2 fovcdm 7520 . . 3 (((ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
31, 2syl3an1 1163 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
43elpwid 4567 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087  wcel 2106  wss 3908  𝒫 cpw 4558   × cxp 5629  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7353  *cxr 11184  ∞Metcxmet 20766  ballcbl 20768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-map 8763  df-xr 11189  df-psmet 20773  df-xmet 20774  df-bl 20776
This theorem is referenced by:  blpnfctr  23773  xmetresbl  23774  imasf1oxms  23829  prdsbl  23831  blcld  23845  blcls  23846  prdsxmslem2  23869  metcnp  23881  cnllycmp  24303  lebnumlem3  24310  lebnum  24311  cfil3i  24617  iscfil3  24621  cfilfcls  24622  iscmet3lem2  24640  equivcfil  24647  caublcls  24657  relcmpcmet  24666  cmpcmet  24667  cncmet  24670  bcthlem2  24673  bcthlem4  24675  dvlip2  25343  dv11cn  25349  pserdvlem2  25771  pserdv  25772  abelthlem3  25776  abelthlem5  25778  dvlog2lem  25991  dvlog2  25992  efopnlem2  25996  efopn  25997  logtayl  25999  efrlim  26303  blsconn  33707  sstotbnd2  36200  equivtotbnd  36204  isbnd2  36209  blbnd  36213  totbndbnd  36215  prdstotbnd  36220  prdsbnd2  36221  ismtyima  36229  heiborlem3  36239  heiborlem8  36244
  Copyright terms: Public domain W3C validator