Theorem blssm 23616

Description: A ball is a subset of the base set of a metric space. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blssm	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem blssm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blf 23605	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
2		fovcdm 7474	. . 3 ⊢ (((ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
3	1, 2	syl3an1 1163	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
4	3	elpwid 4548	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3892  𝒫 cpw 4539   × cxp 5598  ⟶wf 6454  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  ℝ^*cxr 11054  ∞Metcxmet 20627  ballcbl 20629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-fv 6466  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-map 8648  df-xr 11059  df-psmet 20634  df-xmet 20635  df-bl 20637

This theorem is referenced by:  blpnfctr  23634  xmetresbl  23635  imasf1oxms  23690  prdsbl  23692  blcld  23706  blcls  23707  prdsxmslem2  23730  metcnp  23742  cnllycmp  24164  lebnumlem3  24171  lebnum  24172  cfil3i  24478  iscfil3  24482  cfilfcls  24483  iscmet3lem2  24501  equivcfil  24508  caublcls  24518  relcmpcmet  24527  cmpcmet  24528  cncmet  24531  bcthlem2  24534  bcthlem4  24536  dvlip2  25204  dv11cn  25210  pserdvlem2  25632  pserdv  25633  abelthlem3  25637  abelthlem5  25639  dvlog2lem  25852  dvlog2  25853  efopnlem2  25857  efopn  25858  logtayl  25860  efrlim  26164  blsconn  33251  sstotbnd2  35976  equivtotbnd  35980  isbnd2  35985  blbnd  35989  totbndbnd  35991  prdstotbnd  35996  prdsbnd2  35997  ismtyima  36005  heiborlem3  36015  heiborlem8  36020