Theorem blssm 24334

Description: A ball is a subset of the base set of a metric space. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blssm	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem blssm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blf 24323	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
2		fovcdm 7516	. . 3 ⊢ (((ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
3	1, 2	syl3an1 1163	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
4	3	elpwid 4559	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4550   × cxp 5614  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝ^*cxr 11145  ∞Metcxmet 21277  ballcbl 21279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-map 8752  df-xr 11150  df-psmet 21284  df-xmet 21285  df-bl 21287

This theorem is referenced by:  blpnfctr  24352  xmetresbl  24353  imasf1oxms  24405  prdsbl  24407  blcld  24421  blcls  24422  prdsxmslem2  24445  metcnp  24457  cnllycmp  24883  lebnumlem3  24890  lebnum  24891  cfil3i  25197  iscfil3  25201  cfilfcls  25202  iscmet3lem2  25220  equivcfil  25227  caublcls  25237  relcmpcmet  25246  cmpcmet  25247  cncmet  25250  bcthlem2  25253  bcthlem4  25255  dvlip2  25928  dv11cn  25934  pserdvlem2  26366  pserdv  26367  abelthlem3  26371  abelthlem5  26373  dvlog2lem  26589  dvlog2  26590  efopnlem2  26594  efopn  26595  logtayl  26597  efrlim  26907  efrlimOLD  26908  blsconn  35286  sstotbnd2  37820  equivtotbnd  37824  isbnd2  37829  blbnd  37833  totbndbnd  37835  prdstotbnd  37840  prdsbnd2  37841  ismtyima  37849  heiborlem3  37859  heiborlem8  37864