MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blssm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blssm 23029
Description: A ball is a subset of the base set of a metric space. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blssm ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem blssm
StepHypRef Expression
1 blf 23018 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
2 fovrn 7302 . . 3 (((ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
31, 2syl3an1 1160 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
43elpwid 4511 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084  wcel 2112  wss 3884  𝒫 cpw 4500   × cxp 5521  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  *cxr 10667  ∞Metcxmet 20080  ballcbl 20082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-map 8395  df-xr 10672  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-bl 20090
This theorem is referenced by:  blpnfctr  23047  xmetresbl  23048  imasf1oxms  23100  prdsbl  23102  blcld  23116  blcls  23117  prdsxmslem2  23140  metcnp  23152  cnllycmp  23565  lebnumlem3  23572  lebnum  23573  cfil3i  23877  iscfil3  23881  cfilfcls  23882  iscmet3lem2  23900  equivcfil  23907  caublcls  23917  relcmpcmet  23926  cmpcmet  23927  cncmet  23930  bcthlem2  23933  bcthlem4  23935  dvlip2  24602  dv11cn  24608  pserdvlem2  25027  pserdv  25028  abelthlem3  25032  abelthlem5  25034  dvlog2lem  25247  dvlog2  25248  efopnlem2  25252  efopn  25253  logtayl  25255  efrlim  25559  blsconn  32605  sstotbnd2  35211  equivtotbnd  35215  isbnd2  35220  blbnd  35224  totbndbnd  35226  prdstotbnd  35231  prdsbnd2  35232  ismtyima  35240  heiborlem3  35250  heiborlem8  35255
  Copyright terms: Public domain W3C validator