Theorem blssm 22436

Description: A ball is a subset of the base set of a metric space. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blssm	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem blssm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blf 22425	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
2		fovrn 6949	. . 3 ⊢ (((ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
3	1, 2	syl3an1 1166	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
4	3	elpwid 4309	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1071   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3723  𝒫 cpw 4297   × cxp 5247  ⟶wf 6025  ‘cfv 6029  (class class class)co 6791  ℝ^*cxr 10273  ∞Metcxmt 19939  ballcbl 19941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-fv 6037  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-map 8009  df-xr 10278  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-bl 19949

This theorem is referenced by:  blpnfctr  22454  xmetresbl  22455  imasf1oxms  22507  prdsbl  22509  blcld  22523  blcls  22524  prdsxmslem2  22547  metcnp  22559  cnllycmp  22968  lebnumlem3  22975  lebnum  22976  cfil3i  23279  iscfil3  23283  cfilfcls  23284  iscmet3lem2  23302  equivcfil  23309  caublcls  23319  relcmpcmet  23327  cmpcmet  23328  cncmet  23331  bcthlem2  23334  bcthlem4  23336  dvlip2  23971  dv11cn  23977  pserdvlem2  24395  pserdv  24396  abelthlem3  24400  abelthlem5  24402  dvlog2lem  24612  dvlog2  24613  efopnlem2  24617  efopn  24618  logtayl  24620  efrlim  24910  blsconn  31557  sstotbnd2  33898  equivtotbnd  33902  isbnd2  33907  blbnd  33911  totbndbnd  33913  prdstotbnd  33918  prdsbnd2  33919  ismtyima  33927  heiborlem3  33937  heiborlem8  33942