Theorem blssm 24304

Description: A ball is a subset of the base set of a metric space. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blssm	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem blssm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blf 24293	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
2		fovcdm 7519	. . 3 ⊢ (((ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
3	1, 2	syl3an1 1163	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
4	3	elpwid 4560	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4551   × cxp 5617  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝ^*cxr 11148  ∞Metcxmet 21246  ballcbl 21248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-map 8755  df-xr 11153  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-bl 21256

This theorem is referenced by:  blpnfctr  24322  xmetresbl  24323  imasf1oxms  24375  prdsbl  24377  blcld  24391  blcls  24392  prdsxmslem2  24415  metcnp  24427  cnllycmp  24853  lebnumlem3  24860  lebnum  24861  cfil3i  25167  iscfil3  25171  cfilfcls  25172  iscmet3lem2  25190  equivcfil  25197  caublcls  25207  relcmpcmet  25216  cmpcmet  25217  cncmet  25220  bcthlem2  25223  bcthlem4  25225  dvlip2  25898  dv11cn  25904  pserdvlem2  26336  pserdv  26337  abelthlem3  26341  abelthlem5  26343  dvlog2lem  26559  dvlog2  26560  efopnlem2  26564  efopn  26565  logtayl  26567  efrlim  26877  efrlimOLD  26878  blsconn  35237  sstotbnd2  37774  equivtotbnd  37778  isbnd2  37783  blbnd  37787  totbndbnd  37789  prdstotbnd  37794  prdsbnd2  37795  ismtyima  37803  heiborlem3  37813  heiborlem8  37818