Theorem blssm 24770

Description: A ball is a subset of the base set of a metric space. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blssm	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem blssm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blf 24759	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
2		fovcdm 7618	. . 3 ⊢ (((ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
3	1, 2	syl3an1 1181	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
4	3	elpwid 4569	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560   × cxp 5654  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℝ^*cxr 11372  ∞Metcxmet 21696  ballcbl 21698

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-map 8880  df-xr 11377  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-bl 21706

This theorem is used by:  blpnfctr  24788  xmetresbl  24789  imasf1oxms  24841  prdsbl  24843  blcld  24857  blcls  24858  prdsxmslem2  24881  metcnp  24893  cnllycmp  25310  lebnumlem3  25317  lebnum  25318  cfil3i  25623  iscfil3  25627  cfilfcls  25628  iscmet3lem2  25646  equivcfil  25653  caublcls  25663  relcmpcmet  25672  cmpcmet  25673  cncmet  25676  bcthlem2  25679  bcthlem4  25681  dvlip2  26348  dv11cn  26354  pserdvlem2  26788  pserdv  26789  abelthlem3  26793  abelthlem5  26795  dvlog2lem  27013  dvlog2  27014  efopnlem2  27018  efopn  27019  logtayl  27021  efrlim  27330  blsconn  36189  sstotbnd2  38911  equivtotbnd  38915  isbnd2  38920  blbnd  38924  totbndbnd  38926  prdstotbnd  38931  prdsbnd2  38932  ismtyima  38940  heiborlem3  38950  heiborlem8  38955