Theorem blssm 24374

Description: A ball is a subset of the base set of a metric space. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blssm	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem blssm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blf 24363	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
2		fovcdm 7538	. . 3 ⊢ (((ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
3	1, 2	syl3an1 1164	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
4	3	elpwid 4565	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556   × cxp 5630  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝ^*cxr 11177  ∞Metcxmet 21306  ballcbl 21308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-map 8777  df-xr 11182  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-bl 21316

This theorem is referenced by:  blpnfctr  24392  xmetresbl  24393  imasf1oxms  24445  prdsbl  24447  blcld  24461  blcls  24462  prdsxmslem2  24485  metcnp  24497  cnllycmp  24923  lebnumlem3  24930  lebnum  24931  cfil3i  25237  iscfil3  25241  cfilfcls  25242  iscmet3lem2  25260  equivcfil  25267  caublcls  25277  relcmpcmet  25286  cmpcmet  25287  cncmet  25290  bcthlem2  25293  bcthlem4  25295  dvlip2  25968  dv11cn  25974  pserdvlem2  26406  pserdv  26407  abelthlem3  26411  abelthlem5  26413  dvlog2lem  26629  dvlog2  26630  efopnlem2  26634  efopn  26635  logtayl  26637  efrlim  26947  efrlimOLD  26948  blsconn  35457  sstotbnd2  38022  equivtotbnd  38026  isbnd2  38031  blbnd  38035  totbndbnd  38037  prdstotbnd  38042  prdsbnd2  38043  ismtyima  38051  heiborlem3  38061  heiborlem8  38066