Theorem blssm 24322

Description: A ball is a subset of the base set of a metric space. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blssm	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem blssm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blf 24311	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
2		fovcdm 7523	. . 3 ⊢ (((ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
3	1, 2	syl3an1 1163	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
4	3	elpwid 4562	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4553   × cxp 5621  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝ^*cxr 11167  ∞Metcxmet 21264  ballcbl 21266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-map 8762  df-xr 11172  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-bl 21274

This theorem is referenced by:  blpnfctr  24340  xmetresbl  24341  imasf1oxms  24393  prdsbl  24395  blcld  24409  blcls  24410  prdsxmslem2  24433  metcnp  24445  cnllycmp  24871  lebnumlem3  24878  lebnum  24879  cfil3i  25185  iscfil3  25189  cfilfcls  25190  iscmet3lem2  25208  equivcfil  25215  caublcls  25225  relcmpcmet  25234  cmpcmet  25235  cncmet  25238  bcthlem2  25241  bcthlem4  25243  dvlip2  25916  dv11cn  25922  pserdvlem2  26354  pserdv  26355  abelthlem3  26359  abelthlem5  26361  dvlog2lem  26577  dvlog2  26578  efopnlem2  26582  efopn  26583  logtayl  26585  efrlim  26895  efrlimOLD  26896  blsconn  35219  sstotbnd2  37756  equivtotbnd  37760  isbnd2  37765  blbnd  37769  totbndbnd  37771  prdstotbnd  37776  prdsbnd2  37777  ismtyima  37785  heiborlem3  37795  heiborlem8  37800