Theorem blssm 24415

Description: A ball is a subset of the base set of a metric space. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blssm	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem blssm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blf 24404	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
2		fovcdm 7596	. . 3 ⊢ (((ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
3	1, 2	syl3an1 1160	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
4	3	elpwid 4616	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947  𝒫 cpw 4607   × cxp 5680  ⟶wf 6550  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  ℝ^*cxr 11297  ∞Metcxmet 21328  ballcbl 21330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-map 8857  df-xr 11302  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-bl 21338

This theorem is referenced by:  blpnfctr  24433  xmetresbl  24434  imasf1oxms  24489  prdsbl  24491  blcld  24505  blcls  24506  prdsxmslem2  24529  metcnp  24541  cnllycmp  24973  lebnumlem3  24980  lebnum  24981  cfil3i  25288  iscfil3  25292  cfilfcls  25293  iscmet3lem2  25311  equivcfil  25318  caublcls  25328  relcmpcmet  25337  cmpcmet  25338  cncmet  25341  bcthlem2  25344  bcthlem4  25346  dvlip2  26019  dv11cn  26025  pserdvlem2  26458  pserdv  26459  abelthlem3  26463  abelthlem5  26465  dvlog2lem  26679  dvlog2  26680  efopnlem2  26684  efopn  26685  logtayl  26687  efrlim  26997  efrlimOLD  26998  blsconn  35072  sstotbnd2  37475  equivtotbnd  37479  isbnd2  37484  blbnd  37488  totbndbnd  37490  prdstotbnd  37495  prdsbnd2  37496  ismtyima  37504  heiborlem3  37514  heiborlem8  37519