Theorem blssm 24408

Description: A ball is a subset of the base set of a metric space. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blssm	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem blssm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blf 24397	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
2		fovcdm 7533	. . 3 ⊢ (((ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
3	1, 2	syl3an1 1169	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
4	3	elpwid 4545	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4536   × cxp 5623  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℝ^*cxr 11176  ∞Metcxmet 21339  ballcbl 21341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-map 8772  df-xr 11181  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-bl 21349

This theorem is referenced by:  blpnfctr  24426  xmetresbl  24427  imasf1oxms  24479  prdsbl  24481  blcld  24495  blcls  24496  prdsxmslem2  24519  metcnp  24531  cnllycmp  24948  lebnumlem3  24955  lebnum  24956  cfil3i  25261  iscfil3  25265  cfilfcls  25266  iscmet3lem2  25284  equivcfil  25291  caublcls  25301  relcmpcmet  25310  cmpcmet  25311  cncmet  25314  bcthlem2  25317  bcthlem4  25319  dvlip2  25987  dv11cn  25993  pserdvlem2  26418  pserdv  26419  abelthlem3  26423  abelthlem5  26425  dvlog2lem  26641  dvlog2  26642  efopnlem2  26646  efopn  26647  logtayl  26649  efrlim  26958  blsconn  35479  sstotbnd2  38148  equivtotbnd  38152  isbnd2  38157  blbnd  38161  totbndbnd  38163  prdstotbnd  38168  prdsbnd2  38169  ismtyima  38177  heiborlem3  38187  heiborlem8  38192