Theorem blssm 24743

Description: A ball is a subset of the base set of a metric space. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blssm	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem blssm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blf 24732	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
2		fovcdm 7592	. . 3 ⊢ (((ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
3	1, 2	syl3an1 1181	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝒫 𝑋)
4	3	elpwid 4565	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  𝒫 cpw 4556   × cxp 5648  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℝ^*cxr 11346  ∞Metcxmet 21669  ballcbl 21671

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-map 8853  df-xr 11351  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-bl 21679

This theorem is used by:  blpnfctr  24761  xmetresbl  24762  imasf1oxms  24814  prdsbl  24816  blcld  24830  blcls  24831  prdsxmslem2  24854  metcnp  24866  cnllycmp  25283  lebnumlem3  25290  lebnum  25291  cfil3i  25596  iscfil3  25600  cfilfcls  25601  iscmet3lem2  25619  equivcfil  25626  caublcls  25636  relcmpcmet  25645  cmpcmet  25646  cncmet  25649  bcthlem2  25652  bcthlem4  25654  dvlip2  26321  dv11cn  26327  pserdvlem2  26761  pserdv  26762  abelthlem3  26766  abelthlem5  26768  dvlog2lem  26986  dvlog2  26987  efopnlem2  26991  efopn  26992  logtayl  26994  efrlim  27303  blsconn  36096  sstotbnd2  38802  equivtotbnd  38806  isbnd2  38811  blbnd  38815  totbndbnd  38817  prdstotbnd  38822  prdsbnd2  38823  ismtyima  38831  heiborlem3  38841  heiborlem8  38846