MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unirnbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unirnbl 22553
Description: The union of the set of balls of a metric space is its base set. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
unirnbl (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) = 𝑋)

Proof of Theorem unirnbl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blf 22540 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
21frnd 6263 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
3 sspwuni 4802 . . 3 (ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋 ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝑋)
42, 3sylib 210 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝑋)
5 1rp 12078 . . . 4 1 ∈ ℝ+
6 blcntr 22546 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
75, 6mp3an3 1575 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
8 rpxr 12085 . . . . 5 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
95, 8ax-mp 5 . . . 4 1 ∈ ℝ*
10 blelrn 22550 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
119, 10mp3an3 1575 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
12 elunii 4633 . . 3 ((𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1) ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷)) → 𝑥 ran (ball‘𝐷))
137, 11, 12syl2anc 580 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 ran (ball‘𝐷))
144, 13eqelssd 3818 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wss 3769  𝒫 cpw 4349   cuni 4628   × cxp 5310  ran crn 5313  cfv 6101  (class class class)co 6878  1c1 10225  *cxr 10362  +crp 12074  ∞Metcxmet 20053  ballcbl 20055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-rp 12075  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-bl 20063
This theorem is referenced by:  blbas  22563  mopntopon  22572  elmopn  22575  imasf1oxms  22622  metss  22641
  Copyright terms: Public domain W3C validator