MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blin 24431
Description: The intersection of two balls with the same center is the smaller of them. (Contributed by NM, 1-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blin (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*)) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) = (𝑃(ball‘𝐷)if(𝑅𝑆, 𝑅, 𝑆)))

Proof of Theorem blin
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetcl 24341 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑥𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
21ad4ant124 1174 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
3 simplrl 777 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
4 simplrr 778 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑆 ∈ ℝ*)
5 xrltmin 13224 . . . . 5 (((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐷𝑥) < if(𝑅𝑆, 𝑅, 𝑆) ↔ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
62, 3, 4, 5syl3anc 1373 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑃𝐷𝑥) < if(𝑅𝑆, 𝑅, 𝑆) ↔ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
76pm5.32da 579 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*)) → ((𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < if(𝑅𝑆, 𝑅, 𝑆)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆))))
8 ifcl 4571 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*) → if(𝑅𝑆, 𝑅, 𝑆) ∈ ℝ*)
9 elbl 24398 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋 ∧ if(𝑅𝑆, 𝑅, 𝑆) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)if(𝑅𝑆, 𝑅, 𝑆)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < if(𝑅𝑆, 𝑅, 𝑆))))
1093expa 1119 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ if(𝑅𝑆, 𝑅, 𝑆) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)if(𝑅𝑆, 𝑅, 𝑆)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < if(𝑅𝑆, 𝑅, 𝑆))))
118, 10sylan2 593 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*)) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)if(𝑅𝑆, 𝑅, 𝑆)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < if(𝑅𝑆, 𝑅, 𝑆))))
12 elbl 24398 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
13123expa 1119 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
1413adantrr 717 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*)) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
15 elbl 24398 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
16153expa 1119 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
1716adantrl 716 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*)) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
1814, 17anbi12d 632 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*)) → ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ ((𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆))))
19 elin 3967 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)))
20 anandi 676 . . . 4 ((𝑥𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)) ↔ ((𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
2118, 19, 203bitr4g 314 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*)) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆))))
227, 11, 213bitr4rd 312 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*)) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)if(𝑅𝑆, 𝑅, 𝑆))))
2322eqrdv 2735 1 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*)) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) = (𝑃(ball‘𝐷)if(𝑅𝑆, 𝑅, 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  ∞Metcxmet 21349  ballcbl 21351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-bl 21359
This theorem is referenced by:  blin2  24439
  Copyright terms: Public domain W3C validator