MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blin 23927
Description: The intersection of two balls with the same center is the smaller of them. (Contributed by NM, 1-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blin (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑆)) = (𝑃(ballβ€˜π·)if(𝑅 ≀ 𝑆, 𝑅, 𝑆)))

Proof of Theorem blin
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetcl 23837 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
21ad4ant124 1174 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
3 simplrl 776 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
4 simplrr 777 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
5 xrltmin 13161 . . . . 5 (((𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑃𝐷π‘₯) < if(𝑅 ≀ 𝑆, 𝑅, 𝑆) ↔ ((𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑆)))
62, 3, 4, 5syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃𝐷π‘₯) < if(𝑅 ≀ 𝑆, 𝑅, 𝑆) ↔ ((𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑆)))
76pm5.32da 580 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < if(𝑅 ≀ 𝑆, 𝑅, 𝑆)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑆))))
8 ifcl 4574 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) β†’ if(𝑅 ≀ 𝑆, 𝑅, 𝑆) ∈ ℝ*)
9 elbl 23894 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ if(𝑅 ≀ 𝑆, 𝑅, 𝑆) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)if(𝑅 ≀ 𝑆, 𝑅, 𝑆)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < if(𝑅 ≀ 𝑆, 𝑅, 𝑆))))
1093expa 1119 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ if(𝑅 ≀ 𝑆, 𝑅, 𝑆) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)if(𝑅 ≀ 𝑆, 𝑅, 𝑆)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < if(𝑅 ≀ 𝑆, 𝑅, 𝑆))))
118, 10sylan2 594 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)if(𝑅 ≀ 𝑆, 𝑅, 𝑆)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < if(𝑅 ≀ 𝑆, 𝑅, 𝑆))))
12 elbl 23894 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)))
13123expa 1119 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)))
1413adantrr 716 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)))
15 elbl 23894 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑆)))
16153expa 1119 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑆)))
1716adantrl 715 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑆)))
1814, 17anbi12d 632 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑆)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑆))))
19 elin 3965 . . . 4 (π‘₯ ∈ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑆)) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∧ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑆)))
20 anandi 675 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑆)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑆)))
2118, 19, 203bitr4g 314 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑆)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑆))))
227, 11, 213bitr4rd 312 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑆)) ↔ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)if(𝑅 ≀ 𝑆, 𝑅, 𝑆))))
2322eqrdv 2731 1 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑆)) = (𝑃(ballβ€˜π·)if(𝑅 ≀ 𝑆, 𝑅, 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3948  ifcif 4529   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  βˆžMetcxmet 20929  ballcbl 20931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-bl 20939
This theorem is referenced by:  blin2  23935
  Copyright terms: Public domain W3C validator