Theorem blin 23273

Description: The intersection of two balls with the same center is the smaller of them. (Contributed by NM, 1-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blin	⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) = (𝑃(ball‘𝐷)if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆)))

Proof of Theorem blin

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetcl 23183	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
2	1	ad4ant124 1175	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
3		simplrl 777	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
4		simplrr 778	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ ℝ*)
5		xrltmin 12737	. . . . 5 ⊢ (((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐷𝑥) < if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆) ↔ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑥) < if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆) ↔ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
7	6	pm5.32da 582	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆))))
8		ifcl 4470	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆) ∈ ℝ*)
9		elbl 23240	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆))))
10	9	3expa 1120	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆))))
11	8, 10	sylan2 596	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆))))
12		elbl 23240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
13	12	3expa 1120	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
14	13	adantrr 717	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
15		elbl 23240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
16	15	3expa 1120	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
17	16	adantrl 716	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
18	14, 17	anbi12d 634	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) → ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆))))
19		elin 3869	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)))
20		anandi 676	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
21	18, 19, 20	3bitr4g 317	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆))))
22	7, 11, 21	3bitr4rd 315	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆))))
23	22	eqrdv 2734	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) = (𝑃(ball‘𝐷)if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ∩ cin 3852  ifcif 4425   class class class wbr 5039  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℝ^*cxr 10831   < clt 10832   ≤ cle 10833  ∞Metcxmet 20302  ballcbl 20304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-po 5453  df-so 5454  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-er 8369  df-map 8488  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-psmet 20309  df-xmet 20310  df-bl 20312

This theorem is referenced by:  blin2  23281