Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  blbnd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem blbnd 37158
Description: A ball is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
blbnd ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (Bndβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
Proof of Theorem blbnd
Dummy variables π‘Ÿ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 rexr 11259 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
3 blssm 24268 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) βŠ† 𝑋)
42, 3syl3an3 1162 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) βŠ† 𝑋)
5 xmetres2 24211 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) βŠ† 𝑋) β†’ (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (∞Metβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
61, 4, 5syl2anc 583 . . . 4 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (∞Metβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
76adantr 480 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = βˆ…) β†’ (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (∞Metβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
8 rzal 4501 . . . 4 ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = βˆ… β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = (π‘₯(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))π‘Ÿ))
98adantl 481 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = βˆ…) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = (π‘₯(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))π‘Ÿ))
10 isbndx 37153 . . 3 ((𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (Bndβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)) ↔ ((𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (∞Metβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = (π‘₯(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))π‘Ÿ)))
117, 9, 10sylanbrc 582 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = βˆ…) β†’ (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (Bndβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
126adantr 480 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (∞Metβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
131adantr 480 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
14 simpl2 1189 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
15 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
16 xbln0 24264 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ… ↔ 0 < 𝑅))
172, 16syl3an3 1162 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ… ↔ 0 < 𝑅))
1817biimpa 476 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ 0 < 𝑅)
1915, 18elrpd 13014 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
20 blcntr 24263 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ π‘Œ ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))
2113, 14, 19, 20syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ π‘Œ ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))
2214, 21elind 4187 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋 ∩ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
2315rexrd 11263 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
24 eqid 2724 . . . . . . . 8 (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) = (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
2524blres 24281 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (𝑋 ∩ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))𝑅) = ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) ∩ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
2613, 22, 23, 25syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))𝑅) = ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) ∩ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
27 inidm 4211 . . . . . 6 ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) ∩ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)) = (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)
2826, 27eqtr2di 2781 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = (π‘Œ(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))𝑅))
29 rspceov 7449 . . . . 5 ((π‘Œ ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = (π‘Œ(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))𝑅)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = (π‘₯(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))π‘Ÿ))
3021, 19, 28, 29syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = (π‘₯(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))π‘Ÿ))
31 isbnd2 37154 . . . 4 (((𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (Bndβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) ↔ ((𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (∞Metβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = (π‘₯(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))π‘Ÿ)))
3212, 30, 31sylanbrc 582 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ ((𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (Bndβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…))
3332simpld 494 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (Bndβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
3411, 33pm2.61dane 3021 1 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (Bndβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4315   class class class wbr 5139   Γ— cxp 5665   β†Ύ cres 5669  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„cr 11106  0cc0 11107  β„*cxr 11246   < clt 11247  β„+crp 12975  βˆžMetcxmet 21219  ballcbl 21221  Bndcbnd 37138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-er 8700  df-ec 8702  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-bnd 37150
This theorem is referenced by:  ssbnd  37159  prdsbnd2  37166
  Copyright terms: Public domain W3C validator