Theorem blbnd 37788

Description: A ball is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
blbnd	⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))

Proof of Theorem blbnd

Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		rexr 11227	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ*)
3		blssm 24313	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ⊆ 𝑋)
4	2, 3	syl3an3 1165	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ⊆ 𝑋)
5		xmetres2 24256	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ⊆ 𝑋) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
6	1, 4, 5	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = ∅) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
8		rzal 4475	. . . 4 ⊢ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = ∅ → ∀𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟))
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = ∅) → ∀𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟))
10		isbndx 37783	. . 3 ⊢ ((𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ↔ ((𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟)))
11	7, 9, 10	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = ∅) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
12	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
13	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
14		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑌 ∈ 𝑋)
15		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑅 ∈ ℝ)
16		xbln0 24309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅ ↔ 0 < 𝑅))
17	2, 16	syl3an3 1165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅ ↔ 0 < 𝑅))
18	17	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 0 < 𝑅)
19	15, 18	elrpd 12999	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑅 ∈ ℝ+)
20		blcntr 24308	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))
21	13, 14, 19, 20	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑌 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))
22	14, 21	elind 4166	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑌 ∈ (𝑋 ∩ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
23	15	rexrd 11231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑅 ∈ ℝ*)
24		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) = (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
25	24	blres 24326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋 ∩ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑌(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑅) = ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ∩ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
26	13, 22, 23, 25	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → (𝑌(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑅) = ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ∩ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
27		inidm 4193	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ∩ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) = (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)
28	26, 27	eqtr2di 2782	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑌(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑅))
29		rspceov 7439	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑌(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑅)) → ∃𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟))
30	21, 19, 28, 29	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟))
31		isbnd2 37784	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) ↔ ((𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟)))
32	12, 30, 31	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → ((𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅))
33	32	simpld 494	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
34	11, 33	pm2.61dane 3013	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299   class class class wbr 5110   × cxp 5639   ↾ cres 5643  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215  ℝ⁺crp 12958  ∞Metcxmet 21256  ballcbl 21258  Bndcbnd 37768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-ec 8676  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-bnd 37780

This theorem is referenced by:  ssbnd  37789  prdsbnd2  37796