Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  blbnd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem blbnd 37260
Description: A ball is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
blbnd ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (Bndβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
Proof of Theorem blbnd
Dummy variables π‘Ÿ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 rexr 11290 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
3 blssm 24323 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) βŠ† 𝑋)
42, 3syl3an3 1163 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) βŠ† 𝑋)
5 xmetres2 24266 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) βŠ† 𝑋) β†’ (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (∞Metβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
61, 4, 5syl2anc 583 . . . 4 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (∞Metβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
76adantr 480 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = βˆ…) β†’ (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (∞Metβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
8 rzal 4509 . . . 4 ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = βˆ… β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = (π‘₯(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))π‘Ÿ))
98adantl 481 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = βˆ…) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = (π‘₯(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))π‘Ÿ))
10 isbndx 37255 . . 3 ((𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (Bndβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)) ↔ ((𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (∞Metβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = (π‘₯(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))π‘Ÿ)))
117, 9, 10sylanbrc 582 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = βˆ…) β†’ (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (Bndβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
126adantr 480 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (∞Metβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
131adantr 480 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
14 simpl2 1190 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
15 simpl3 1191 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
16 xbln0 24319 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ… ↔ 0 < 𝑅))
172, 16syl3an3 1163 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ… ↔ 0 < 𝑅))
1817biimpa 476 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ 0 < 𝑅)
1915, 18elrpd 13045 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
20 blcntr 24318 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ π‘Œ ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))
2113, 14, 19, 20syl3anc 1369 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ π‘Œ ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))
2214, 21elind 4194 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋 ∩ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
2315rexrd 11294 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
24 eqid 2728 . . . . . . . 8 (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) = (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
2524blres 24336 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (𝑋 ∩ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))𝑅) = ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) ∩ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
2613, 22, 23, 25syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))𝑅) = ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) ∩ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
27 inidm 4219 . . . . . 6 ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) ∩ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)) = (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)
2826, 27eqtr2di 2785 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = (π‘Œ(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))𝑅))
29 rspceov 7467 . . . . 5 ((π‘Œ ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = (π‘Œ(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))𝑅)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = (π‘₯(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))π‘Ÿ))
3021, 19, 28, 29syl3anc 1369 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = (π‘₯(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))π‘Ÿ))
31 isbnd2 37256 . . . 4 (((𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (Bndβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) ↔ ((𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (∞Metβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = (π‘₯(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))π‘Ÿ)))
3212, 30, 31sylanbrc 582 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ ((𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (Bndβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…))
3332simpld 494 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (Bndβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
3411, 33pm2.61dane 3026 1 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (Bndβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5676   β†Ύ cres 5680  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„cr 11137  0cc0 11138  β„*cxr 11277   < clt 11278  β„+crp 13006  βˆžMetcxmet 21263  ballcbl 21265  Bndcbnd 37240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8724  df-ec 8726  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-2 12305  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-bnd 37252
This theorem is referenced by:  ssbnd  37261  prdsbnd2  37268
  Copyright terms: Public domain W3C validator