Theorem blbnd 35600

Description: A ball is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
blbnd	⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))

Proof of Theorem blbnd

Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		rexr 10777	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ*)
3		blssm 23183	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ⊆ 𝑋)
4	2, 3	syl3an3 1166	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ⊆ 𝑋)
5		xmetres2 23126	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ⊆ 𝑋) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
6	1, 4, 5	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
7	6	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = ∅) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
8		rzal 4405	. . . 4 ⊢ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = ∅ → ∀𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟))
9	8	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = ∅) → ∀𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟))
10		isbndx 35595	. . 3 ⊢ ((𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ↔ ((𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟)))
11	7, 9, 10	sylanbrc 586	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = ∅) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
12	6	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
13	1	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
14		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑌 ∈ 𝑋)
15		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑅 ∈ ℝ)
16		xbln0 23179	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅ ↔ 0 < 𝑅))
17	2, 16	syl3an3 1166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅ ↔ 0 < 𝑅))
18	17	biimpa 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 0 < 𝑅)
19	15, 18	elrpd 12523	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑅 ∈ ℝ+)
20		blcntr 23178	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))
21	13, 14, 19, 20	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑌 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))
22	14, 21	elind 4094	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑌 ∈ (𝑋 ∩ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
23	15	rexrd 10781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑅 ∈ ℝ*)
24		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) = (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
25	24	blres 23196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋 ∩ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑌(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑅) = ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ∩ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
26	13, 22, 23, 25	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → (𝑌(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑅) = ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ∩ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
27		inidm 4119	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ∩ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) = (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)
28	26, 27	eqtr2di 2791	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑌(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑅))
29		rspceov 7229	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑌(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑅)) → ∃𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟))
30	21, 19, 28, 29	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟))
31		isbnd2 35596	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) ↔ ((𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟)))
32	12, 30, 31	sylanbrc 586	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → ((𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅))
33	32	simpld 498	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
34	11, 33	pm2.61dane 3022	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ∃wrex 3055   ∩ cin 3852   ⊆ wss 3853  ∅c0 4221   class class class wbr 5040   × cxp 5533   ↾ cres 5537  ‘cfv 6349  (class class class)co 7182  ℝcr 10626  0cc0 10627  ℝ^*cxr 10764   < clt 10765  ℝ⁺crp 12484  ∞Metcxmet 20214  ballcbl 20216  Bndcbnd 35580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-po 5452  df-so 5453  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-er 8332  df-ec 8334  df-map 8451  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-2 11791  df-rp 12485  df-xneg 12602  df-xadd 12603  df-xmul 12604  df-psmet 20221  df-xmet 20222  df-met 20223  df-bl 20224  df-bnd 35592

This theorem is referenced by:  ssbnd  35601  prdsbnd2  35608