Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  blbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blbnd 36246
Description: A ball is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
blbnd ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))

Proof of Theorem blbnd
Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 rexr 11201 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ*)
3 blssm 23771 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ⊆ 𝑋)
42, 3syl3an3 1165 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) → (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ⊆ 𝑋)
5 xmetres2 23714 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ⊆ 𝑋) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
61, 4, 5syl2anc 584 . . . 4 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
76adantr 481 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = ∅) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
8 rzal 4466 . . . 4 ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = ∅ → ∀𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟))
98adantl 482 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = ∅) → ∀𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟))
10 isbndx 36241 . . 3 ((𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ↔ ((𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟)))
117, 9, 10sylanbrc 583 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = ∅) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
126adantr 481 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
131adantr 481 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
14 simpl2 1192 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑌𝑋)
15 simpl3 1193 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑅 ∈ ℝ)
16 xbln0 23767 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅ ↔ 0 < 𝑅))
172, 16syl3an3 1165 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅ ↔ 0 < 𝑅))
1817biimpa 477 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 0 < 𝑅)
1915, 18elrpd 12954 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑅 ∈ ℝ+)
20 blcntr 23766 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))
2113, 14, 19, 20syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑌 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))
2214, 21elind 4154 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑌 ∈ (𝑋 ∩ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
2315rexrd 11205 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑅 ∈ ℝ*)
24 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) = (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
2524blres 23784 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋 ∩ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑌(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑅) = ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ∩ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
2613, 22, 23, 25syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → (𝑌(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑅) = ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ∩ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
27 inidm 4178 . . . . . 6 ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ∩ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) = (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)
2826, 27eqtr2di 2793 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑌(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑅))
29 rspceov 7404 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑌(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑅)) → ∃𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟))
3021, 19, 28, 29syl3anc 1371 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟))
31 isbnd2 36242 . . . 4 (((𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) ↔ ((𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟)))
3212, 30, 31sylanbrc 583 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → ((𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅))
3332simpld 495 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
3411, 33pm2.61dane 3032 1 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  cin 3909  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105   × cxp 5631  cres 5635  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  *cxr 11188   < clt 11189  +crp 12915  ∞Metcxmet 20781  ballcbl 20783  Bndcbnd 36226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-ec 8650  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-2 12216  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-bnd 36238
This theorem is referenced by:  ssbnd  36247  prdsbnd2  36254
  Copyright terms: Public domain W3C validator