Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  blbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blbnd 37145
Description: A ball is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
blbnd ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))

Proof of Theorem blbnd
Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 rexr 11257 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ*)
3 blssm 24246 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ⊆ 𝑋)
42, 3syl3an3 1162 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) → (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ⊆ 𝑋)
5 xmetres2 24189 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ⊆ 𝑋) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
61, 4, 5syl2anc 583 . . . 4 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
76adantr 480 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = ∅) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
8 rzal 4500 . . . 4 ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = ∅ → ∀𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟))
98adantl 481 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = ∅) → ∀𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟))
10 isbndx 37140 . . 3 ((𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ↔ ((𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟)))
117, 9, 10sylanbrc 582 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = ∅) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
126adantr 480 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
131adantr 480 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
14 simpl2 1189 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑌𝑋)
15 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑅 ∈ ℝ)
16 xbln0 24242 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅ ↔ 0 < 𝑅))
172, 16syl3an3 1162 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅ ↔ 0 < 𝑅))
1817biimpa 476 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 0 < 𝑅)
1915, 18elrpd 13010 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑅 ∈ ℝ+)
20 blcntr 24241 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))
2113, 14, 19, 20syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑌 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))
2214, 21elind 4186 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑌 ∈ (𝑋 ∩ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
2315rexrd 11261 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑅 ∈ ℝ*)
24 eqid 2724 . . . . . . . 8 (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) = (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
2524blres 24259 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋 ∩ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑌(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑅) = ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ∩ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
2613, 22, 23, 25syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → (𝑌(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑅) = ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ∩ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
27 inidm 4210 . . . . . 6 ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ∩ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) = (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)
2826, 27eqtr2di 2781 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑌(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑅))
29 rspceov 7448 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑌(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑅)) → ∃𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟))
3021, 19, 28, 29syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟))
31 isbnd2 37141 . . . 4 (((𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) ↔ ((𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟)))
3212, 30, 31sylanbrc 582 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → ((𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅))
3332simpld 494 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
3411, 33pm2.61dane 3021 1 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  wral 3053  wrex 3062  cin 3939  wss 3940  c0 4314   class class class wbr 5138   × cxp 5664  cres 5668  cfv 6533  (class class class)co 7401  cr 11105  0cc0 11106  *cxr 11244   < clt 11245  +crp 12971  ∞Metcxmet 21213  ballcbl 21215  Bndcbnd 37125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8699  df-ec 8701  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-2 12272  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-bnd 37137
This theorem is referenced by:  ssbnd  37146  prdsbnd2  37153
  Copyright terms: Public domain W3C validator