Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  blbnd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem blbnd 36643
Description: A ball is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
blbnd ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (Bndβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
Proof of Theorem blbnd
Dummy variables π‘Ÿ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 rexr 11256 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
3 blssm 23915 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) βŠ† 𝑋)
42, 3syl3an3 1165 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) βŠ† 𝑋)
5 xmetres2 23858 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) βŠ† 𝑋) β†’ (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (∞Metβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
61, 4, 5syl2anc 584 . . . 4 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (∞Metβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
76adantr 481 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = βˆ…) β†’ (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (∞Metβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
8 rzal 4507 . . . 4 ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = βˆ… β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = (π‘₯(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))π‘Ÿ))
98adantl 482 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = βˆ…) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = (π‘₯(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))π‘Ÿ))
10 isbndx 36638 . . 3 ((𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (Bndβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)) ↔ ((𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (∞Metβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = (π‘₯(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))π‘Ÿ)))
117, 9, 10sylanbrc 583 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = βˆ…) β†’ (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (Bndβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
126adantr 481 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (∞Metβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
131adantr 481 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
14 simpl2 1192 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
15 simpl3 1193 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
16 xbln0 23911 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ… ↔ 0 < 𝑅))
172, 16syl3an3 1165 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ… ↔ 0 < 𝑅))
1817biimpa 477 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ 0 < 𝑅)
1915, 18elrpd 13009 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
20 blcntr 23910 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ π‘Œ ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))
2113, 14, 19, 20syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ π‘Œ ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))
2214, 21elind 4193 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋 ∩ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
2315rexrd 11260 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
24 eqid 2732 . . . . . . . 8 (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) = (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
2524blres 23928 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (𝑋 ∩ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))𝑅) = ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) ∩ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
2613, 22, 23, 25syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))𝑅) = ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) ∩ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
27 inidm 4217 . . . . . 6 ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) ∩ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)) = (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)
2826, 27eqtr2di 2789 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = (π‘Œ(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))𝑅))
29 rspceov 7452 . . . . 5 ((π‘Œ ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = (π‘Œ(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))𝑅)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = (π‘₯(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))π‘Ÿ))
3021, 19, 28, 29syl3anc 1371 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = (π‘₯(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))π‘Ÿ))
31 isbnd2 36639 . . . 4 (((𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (Bndβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) ↔ ((𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (∞Metβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) = (π‘₯(ballβ€˜(𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))))π‘Ÿ)))
3212, 30, 31sylanbrc 583 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ ((𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (Bndβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…))
3332simpld 495 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) β‰  βˆ…) β†’ (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (Bndβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
3411, 33pm2.61dane 3029 1 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑀 β†Ύ ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) Γ— (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅))) ∈ (Bndβ€˜(π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673   β†Ύ cres 5677  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105  0cc0 11106  β„*cxr 11243   < clt 11244  β„+crp 12970  βˆžMetcxmet 20921  ballcbl 20923  Bndcbnd 36623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8699  df-ec 8701  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-bnd 36635
This theorem is referenced by:  ssbnd  36644  prdsbnd2  36651
  Copyright terms: Public domain W3C validator