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Theorem lebnumii 24329
Description: Specialize the Lebesgue number lemma lebnum 24327 to the closed unit interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lebnumii ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢)
Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝑢,𝑈

Proof of Theorem lebnumii
Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ii 24240 . . 3 II = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))
2 cnmet 24135 . . . . 5 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
3 unitssre 13416 . . . . . 6 (0[,]1) ⊆ ℝ
4 ax-resscn 11108 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
53, 4sstri 3953 . . . . 5 (0[,]1) ⊆ ℂ
6 metres2 23716 . . . . 5 (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (Met‘(0[,]1)))
72, 5, 6mp2an 690 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (Met‘(0[,]1))
87a1i 11 . . 3 ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (Met‘(0[,]1)))
9 iicmp 24249 . . . 4 II ∈ Comp
109a1i 11 . . 3 ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → II ∈ Comp)
11 simpl 483 . . 3 ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → 𝑈 ⊆ II)
12 simpr 485 . . 3 ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → (0[,]1) = 𝑈)
131, 8, 10, 11, 12lebnum 24327 . 2 ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢)
14 rpreccl 12941 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑟) ∈ ℝ+)
1514adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑟) ∈ ℝ+)
1615rpred 12957 . . . . . 6 (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑟) ∈ ℝ)
1715rpge0d 12961 . . . . . 6 (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (1 / 𝑟))
18 flge0nn0 13725 . . . . . 6 (((1 / 𝑟) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑟)) → (⌊‘(1 / 𝑟)) ∈ ℕ0)
1916, 17, 18syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (⌊‘(1 / 𝑟)) ∈ ℕ0)
20 nn0p1nn 12452 . . . . 5 ((⌊‘(1 / 𝑟)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℕ)
2119, 20syl 17 . . . 4 (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℕ)
22 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2322adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
2423nnrpd 12955 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ+)
2521adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℕ)
2625nnrpd 12955 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ+)
2724, 26rpdivcld 12974 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ ℝ+)
2827rpred 12957 . . . . . . . 8 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ ℝ)
2927rpge0d 12961 . . . . . . . 8 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 ≤ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
30 elfzle2 13445 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → 𝑘 ≤ ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))
3130adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ≤ ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))
3225nnred 12168 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ)
3332recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℂ)
3433mulid1d 11172 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) · 1) = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))
3531, 34breqtrrd 5133 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ≤ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) · 1))
3623nnred 12168 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
37 1red 11156 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 1 ∈ ℝ)
3825nngt0d 12202 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))
39 ledivmul 12031 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤ 1 ↔ 𝑘 ≤ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) · 1)))
4036, 37, 32, 38, 39syl112anc 1374 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤ 1 ↔ 𝑘 ≤ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) · 1)))
4135, 40mpbird 256 . . . . . . . 8 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤ 1)
42 elicc01 13383 . . . . . . . 8 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∧ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤ 1))
4328, 29, 41, 42syl3anbrc 1343 . . . . . . 7 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (0[,]1))
44 oveq1 7364 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) = ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟))
4544sseq1d 3975 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → ((𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 ↔ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢))
4645rexbidv 3175 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → (∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢𝑈 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢))
4746rspcv 3577 . . . . . . 7 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (0[,]1) → (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢))
4843, 47syl 17 . . . . . 6 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢))
49 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
5049rpred 12957 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑟 ∈ ℝ)
5128, 50resubcld 11583 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) ∈ ℝ)
5251rexrd 11205 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) ∈ ℝ*)
5328, 50readdcld 11184 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟) ∈ ℝ)
5453rexrd 11205 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟) ∈ ℝ*)
55 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
5623, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
5756nn0red 12474 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
5857, 25nndivred 12207 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ ℝ)
5936recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
6057recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ)
6125nnne0d 12203 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ≠ 0)
6259, 60, 33, 61divsubdird 11970 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 − (𝑘 − 1)) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) = ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))))
63 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
64 nncan 11430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑘 − (𝑘 − 1)) = 1)
6559, 63, 64sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 − (𝑘 − 1)) = 1)
6665oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 − (𝑘 − 1)) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) = (1 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
6762, 66eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) = (1 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
6849rprecred 12968 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (1 / 𝑟) ∈ ℝ)
69 flltp1 13705 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 𝑟) ∈ ℝ → (1 / 𝑟) < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (1 / 𝑟) < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))
71 rpgt0 12927 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑟)
7271ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 < 𝑟)
73 ltdiv23 12046 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑟) ∧ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((1 / 𝑟) < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ↔ (1 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) < 𝑟))
7437, 50, 72, 32, 38, 73syl122anc 1379 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((1 / 𝑟) < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ↔ (1 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) < 𝑟))
7570, 74mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (1 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) < 𝑟)
7667, 75eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) < 𝑟)
7728, 58, 50, 76ltsub23d 11760 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) < ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
7828, 49ltaddrpd 12990 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) < ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟))
79 iccssioo 13333 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) ∈ ℝ* ∧ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟) ∈ ℝ*) ∧ (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) < ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∧ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) < ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟))) → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)))
8052, 54, 77, 78, 79syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)))
81 0red 11158 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 ∈ ℝ)
8256nn0ge0d 12476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 ≤ (𝑘 − 1))
83 divge0 12024 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑘 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑘 − 1)) ∧ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 ≤ ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
8457, 82, 32, 38, 83syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 ≤ ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
85 iccss 13332 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∧ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤ 1)) → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ (0[,]1))
8681, 37, 84, 41, 85syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ (0[,]1))
8780, 86ssind 4192 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ ((((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)) ∩ (0[,]1)))
88 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
8988rexmet 24154 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
90 sseqin2 4175 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]1) ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ (0[,]1)) = (0[,]1))
913, 90mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ∩ (0[,]1)) = (0[,]1)
9243, 91eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (ℝ ∩ (0[,]1)))
93 rpxr 12924 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
9493ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
95 xpss12 5648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((0[,]1) ⊆ ℝ ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ) → ((0[,]1) × (0[,]1)) ⊆ (ℝ × ℝ))
963, 3, 95mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0[,]1) × (0[,]1)) ⊆ (ℝ × ℝ)
97 resabs1 5967 . . . . . . . . . . . . . 14 (((0[,]1) × (0[,]1)) ⊆ (ℝ × ℝ) → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))
9896, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))
9998eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))
10099blres 23784 . . . . . . . . . . 11 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (ℝ ∩ (0[,]1)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) = (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ∩ (0[,]1)))
10189, 92, 94, 100mp3an2i 1466 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) = (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ∩ (0[,]1)))
10288bl2ioo 24155 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)))
10328, 50, 102syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)))
104103ineq1d 4171 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ∩ (0[,]1)) = ((((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)) ∩ (0[,]1)))
105101, 104eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) = ((((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)) ∩ (0[,]1)))
10687, 105sseqtrrd 3985 . . . . . . . 8 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟))
107 sstr2 3951 . . . . . . . 8 ((((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) → (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
108106, 107syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
109108reximdv 3167 . . . . . 6 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (∃𝑢𝑈 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
11048, 109syld 47 . . . . 5 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
111110ralrimdva 3151 . . . 4 (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∀𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
112 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (1...𝑛) = (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
113 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → ((𝑘 − 1) / 𝑛) = ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
114 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (𝑘 / 𝑛) = (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
115113, 114oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) = (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))))
116115sseq1d 3975 . . . . . . 7 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → ((((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢 ↔ (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
117116rexbidv 3175 . . . . . 6 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
118112, 117raleqbidv 3319 . . . . 5 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
119118rspcev 3581 . . . 4 ((((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢)
12021, 111, 119syl6an 682 . . 3 (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢))
121120rexlimdva 3152 . 2 ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → (∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢))
12213, 121mpd 15 1 ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  cin 3909  wss 3910   cuni 4865   class class class wbr 5105   × cxp 5631  cres 5635  ccom 5637  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  +crp 12915  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  ...cfz 13424  cfl 13695  abscabs 15119  ∞Metcxmet 20781  Metcmet 20782  ballcbl 20783  Compccmp 22737  IIcii 24238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-ec 8650  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-ii 24240
This theorem is referenced by:  cvmliftlem15  33892
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