Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | df-ii 23806 |
. . 3
⊢ II =
(MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) ×
(0[,]1)))) |
2 | | cnmet 23701 |
. . . . 5
⊢ (abs
∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) |
3 | | unitssre 13117 |
. . . . . 6
⊢ (0[,]1)
⊆ ℝ |
4 | | ax-resscn 10816 |
. . . . . 6
⊢ ℝ
⊆ ℂ |
5 | 3, 4 | sstri 3927 |
. . . . 5
⊢ (0[,]1)
⊆ ℂ |
6 | | metres2 23293 |
. . . . 5
⊢ (((abs
∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ)
→ ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈
(Met‘(0[,]1))) |
7 | 2, 5, 6 | mp2an 692 |
. . . 4
⊢ ((abs
∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈
(Met‘(0[,]1)) |
8 | 7 | a1i 11 |
. . 3
⊢ ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) → ((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (Met‘(0[,]1))) |
9 | | iicmp 23815 |
. . . 4
⊢ II ∈
Comp |
10 | 9 | a1i 11 |
. . 3
⊢ ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) → II ∈ Comp) |
11 | | simpl 486 |
. . 3
⊢ ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) → 𝑈 ⊆ II) |
12 | | simpr 488 |
. . 3
⊢ ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) → (0[,]1) = ∪ 𝑈) |
13 | 1, 8, 10, 11, 12 | lebnum 23893 |
. 2
⊢ ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢) |
14 | | rpreccl 12642 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑟 ∈ ℝ+
→ (1 / 𝑟) ∈
ℝ+) |
15 | 14 | adantl 485 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (1 /
𝑟) ∈
ℝ+) |
16 | 15 | rpred 12658 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (1 /
𝑟) ∈
ℝ) |
17 | 15 | rpge0d 12662 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (1
/ 𝑟)) |
18 | | flge0nn0 13425 |
. . . . . 6
⊢ (((1 /
𝑟) ∈ ℝ ∧ 0
≤ (1 / 𝑟)) →
(⌊‘(1 / 𝑟))
∈ ℕ0) |
19 | 16, 17, 18 | syl2anc 587 |
. . . . 5
⊢ (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) →
(⌊‘(1 / 𝑟))
∈ ℕ0) |
20 | | nn0p1nn 12159 |
. . . . 5
⊢
((⌊‘(1 / 𝑟)) ∈ ℕ0 →
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) ∈ ℕ) |
21 | 19, 20 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) →
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) ∈ ℕ) |
22 | | elfznn 13171 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1)) → 𝑘 ∈
ℕ) |
23 | 22 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ∈
ℕ) |
24 | 23 | nnrpd 12656 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ∈
ℝ+) |
25 | 21 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) ∈ ℕ) |
26 | 25 | nnrpd 12656 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) ∈ ℝ+) |
27 | 24, 26 | rpdivcld 12675 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈
ℝ+) |
28 | 27 | rpred 12658 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈
ℝ) |
29 | 27 | rpge0d 12662 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 0 ≤
(𝑘 / ((⌊‘(1 /
𝑟)) + 1))) |
30 | | elfzle2 13146 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1)) → 𝑘 ≤ ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) |
31 | 30 | adantl 485 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ≤ ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) |
32 | 25 | nnred 11875 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) ∈ ℝ) |
33 | 32 | recnd 10891 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) ∈ ℂ) |
34 | 33 | mulid1d 10880 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) · 1) = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) |
35 | 31, 34 | breqtrrd 5098 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ≤ (((⌊‘(1 /
𝑟)) + 1) ·
1)) |
36 | 23 | nnred 11875 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ∈
ℝ) |
37 | | 1red 10864 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 1
∈ ℝ) |
38 | 25 | nngt0d 11909 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 0 <
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) |
39 | | ledivmul 11738 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℝ ∧ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 <
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))) → ((𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) ≤ 1 ↔ 𝑘 ≤
(((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) · 1))) |
40 | 36, 37, 32, 38, 39 | syl112anc 1376 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤ 1 ↔ 𝑘 ≤ (((⌊‘(1 /
𝑟)) + 1) ·
1))) |
41 | 35, 40 | mpbird 260 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤
1) |
42 | | elicc01 13084 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (0[,]1) ↔
((𝑘 / ((⌊‘(1 /
𝑟)) + 1)) ∈ ℝ
∧ 0 ≤ (𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) ∧ (𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) ≤ 1)) |
43 | 28, 29, 41, 42 | syl3anbrc 1345 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈
(0[,]1)) |
44 | | oveq1 7242 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) = ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟)) |
45 | 44 | sseq1d 3949 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → ((𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 ↔ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢)) |
46 | 45 | rexbidv 3226 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → (∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢)) |
47 | 46 | rspcv 3547 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (0[,]1) →
(∀𝑥 ∈
(0[,]1)∃𝑢 ∈
𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢)) |
48 | 43, 47 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(∀𝑥 ∈
(0[,]1)∃𝑢 ∈
𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢)) |
49 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 𝑟 ∈
ℝ+) |
50 | 49 | rpred 12658 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 𝑟 ∈
ℝ) |
51 | 28, 50 | resubcld 11290 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) ∈
ℝ) |
52 | 51 | rexrd 10913 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) ∈
ℝ*) |
53 | 28, 50 | readdcld 10892 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟) ∈ ℝ) |
54 | 53 | rexrd 10913 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟) ∈
ℝ*) |
55 | | nnm1nn0 12161 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈
ℕ0) |
56 | 23, 55 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 − 1) ∈
ℕ0) |
57 | 56 | nn0red 12181 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 − 1) ∈
ℝ) |
58 | 57, 25 | nndivred 11914 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1)) ∈
ℝ) |
59 | 36 | recnd 10891 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ∈
ℂ) |
60 | 57 | recnd 10891 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 − 1) ∈
ℂ) |
61 | 25 | nnne0d 11910 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) ≠ 0) |
62 | 59, 60, 33, 61 | divsubdird 11677 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 − (𝑘 − 1)) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) = ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))) |
63 | | ax-1cn 10817 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 1 ∈
ℂ |
64 | | nncan 11137 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ) → (𝑘 −
(𝑘 − 1)) =
1) |
65 | 59, 63, 64 | sylancl 589 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 − (𝑘 − 1)) = 1) |
66 | 65 | oveq1d 7250 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 − (𝑘 − 1)) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) = (1 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))) |
67 | 62, 66 | eqtr3d 2781 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) = (1 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))) |
68 | 49 | rprecred 12669 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (1 /
𝑟) ∈
ℝ) |
69 | | flltp1 13405 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((1 /
𝑟) ∈ ℝ → (1
/ 𝑟) <
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) |
70 | 68, 69 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (1 /
𝑟) < ((⌊‘(1
/ 𝑟)) +
1)) |
71 | | rpgt0 12628 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑟 ∈ ℝ+
→ 0 < 𝑟) |
72 | 71 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 0 <
𝑟) |
73 | | ltdiv23 11753 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ (𝑟
∈ ℝ ∧ 0 < 𝑟) ∧ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0
< ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((1 / 𝑟) < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ↔ (1 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) < 𝑟)) |
74 | 37, 50, 72, 32, 38, 73 | syl122anc 1381 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((1 /
𝑟) < ((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1) ↔ (1 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) < 𝑟)) |
75 | 70, 74 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (1 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) < 𝑟) |
76 | 67, 75 | eqbrtrd 5092 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) < 𝑟) |
77 | 28, 58, 50, 76 | ltsub23d 11467 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) < ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) |
78 | 28, 49 | ltaddrpd 12691 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) < ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)) |
79 | | iccssioo 13034 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) − 𝑟) ∈
ℝ* ∧ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟) ∈ ℝ*) ∧ (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) < ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∧ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) < ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟))) → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟))) |
80 | 52, 54, 77, 78, 79 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(((𝑘 − 1) /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))[,](𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))) ⊆ (((𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟))) |
81 | | 0red 10866 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 0
∈ ℝ) |
82 | 56 | nn0ge0d 12183 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 0 ≤
(𝑘 −
1)) |
83 | | divge0 11731 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑘 − 1) ∈ ℝ ∧
0 ≤ (𝑘 − 1)) ∧
(((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 ≤ ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) |
84 | 57, 82, 32, 38, 83 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 0 ≤
((𝑘 − 1) /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))) |
85 | | iccss 13033 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((0
∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∧ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤ 1)) →
(((𝑘 − 1) /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))[,](𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))) ⊆ (0[,]1)) |
86 | 81, 37, 84, 41, 85 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(((𝑘 − 1) /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))[,](𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))) ⊆ (0[,]1)) |
87 | 80, 86 | ssind 4164 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(((𝑘 − 1) /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))[,](𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))) ⊆ ((((𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)) ∩ (0[,]1))) |
88 | | eqid 2739 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − )
↾ (ℝ × ℝ)) |
89 | 88 | rexmet 23720 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈
(∞Met‘ℝ) |
90 | | sseqin2 4147 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((0[,]1)
⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ (0[,]1)) = (0[,]1)) |
91 | 3, 90 | mpbi 233 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (ℝ
∩ (0[,]1)) = (0[,]1) |
92 | 43, 91 | eleqtrrdi 2851 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (ℝ ∩
(0[,]1))) |
93 | | rpxr 12625 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑟 ∈ ℝ+
→ 𝑟 ∈
ℝ*) |
94 | 93 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 𝑟 ∈
ℝ*) |
95 | | xpss12 5584 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((0[,]1)
⊆ ℝ ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ) → ((0[,]1) × (0[,]1))
⊆ (ℝ × ℝ)) |
96 | 3, 3, 95 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((0[,]1)
× (0[,]1)) ⊆ (ℝ × ℝ) |
97 | | resabs1 5899 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((0[,]1)
× (0[,]1)) ⊆ (ℝ × ℝ) → (((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))
= ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))) |
98 | 96, 97 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ ((0[,]1) ×
(0[,]1))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) ×
(0[,]1))) |
99 | 98 | eqcomi 2748 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((abs
∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) = (((abs ∘ − )
↾ (ℝ × ℝ)) ↾ ((0[,]1) ×
(0[,]1))) |
100 | 99 | blres 23361 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈
(∞Met‘ℝ) ∧ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (ℝ ∩ (0[,]1)) ∧
𝑟 ∈
ℝ*) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) = (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ∩ (0[,]1))) |
101 | 89, 92, 94, 100 | mp3an2i 1468 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs
∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) = (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ∩ (0[,]1))) |
102 | 88 | bl2ioo 23721 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ ℝ ∧
𝑟 ∈ ℝ) →
((𝑘 / ((⌊‘(1 /
𝑟)) + 1))(ball‘((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟))) |
103 | 28, 50, 102 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟))) |
104 | 103 | ineq1d 4143 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(((𝑘 / ((⌊‘(1 /
𝑟)) + 1))(ball‘((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ∩ (0[,]1)) = ((((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)) ∩ (0[,]1))) |
105 | 101, 104 | eqtrd 2779 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs
∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) = ((((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)) ∩ (0[,]1))) |
106 | 87, 105 | sseqtrrd 3959 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(((𝑘 − 1) /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))[,](𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))) ⊆ ((𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟)) |
107 | | sstr2 3925 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs
∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) → (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢)) |
108 | 106, 107 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(((𝑘 / ((⌊‘(1 /
𝑟)) + 1))(ball‘((abs
∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢)) |
109 | 108 | reximdv 3202 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(∃𝑢 ∈ 𝑈 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢)) |
110 | 48, 109 | syld 47 |
. . . . 5
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(∀𝑥 ∈
(0[,]1)∃𝑢 ∈
𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢)) |
111 | 110 | ralrimdva 3113 |
. . . 4
⊢ (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) →
(∀𝑥 ∈
(0[,]1)∃𝑢 ∈
𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∀𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢)) |
112 | | oveq2 7243 |
. . . . . 6
⊢ (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (1...𝑛) = (1...((⌊‘(1 /
𝑟)) + 1))) |
113 | | oveq2 7243 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → ((𝑘 − 1) / 𝑛) = ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) |
114 | | oveq2 7243 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (𝑘 / 𝑛) = (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) |
115 | 113, 114 | oveq12d 7253 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) = (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))) |
116 | 115 | sseq1d 3949 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → ((((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢 ↔ (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢)) |
117 | 116 | rexbidv 3226 |
. . . . . 6
⊢ (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢)) |
118 | 112, 117 | raleqbidv 3328 |
. . . . 5
⊢ (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢)) |
119 | 118 | rspcev 3552 |
. . . 4
⊢
((((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢) |
120 | 21, 111, 119 | syl6an 684 |
. . 3
⊢ (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) →
(∀𝑥 ∈
(0[,]1)∃𝑢 ∈
𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢)) |
121 | 120 | rexlimdva 3213 |
. 2
⊢ ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢)) |
122 | 13, 121 | mpd 15 |
1
⊢ ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢) |