MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lebnumii 24847
Description: Specialize the Lebesgue number lemma lebnum 24845 to the closed unit interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lebnumii ((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑛)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛)[,](π‘˜ / 𝑛)) βŠ† 𝑒)
Distinct variable group:   π‘˜,𝑛,𝑒,π‘ˆ

Proof of Theorem lebnumii
Dummy variables π‘Ÿ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ii 24752 . . 3 II = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))
2 cnmet 24643 . . . . 5 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜β„‚)
3 unitssre 13482 . . . . . 6 (0[,]1) βŠ† ℝ
4 ax-resscn 11169 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
53, 4sstri 3986 . . . . 5 (0[,]1) βŠ† β„‚
6 metres2 24224 . . . . 5 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜β„‚) ∧ (0[,]1) βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) ∈ (Metβ€˜(0[,]1)))
72, 5, 6mp2an 689 . . . 4 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) ∈ (Metβ€˜(0[,]1))
87a1i 11 . . 3 ((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) ∈ (Metβ€˜(0[,]1)))
9 iicmp 24761 . . . 4 II ∈ Comp
109a1i 11 . . 3 ((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) β†’ II ∈ Comp)
11 simpl 482 . . 3 ((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ βŠ† II)
12 simpr 484 . . 3 ((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) β†’ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ)
131, 8, 10, 11, 12lebnum 24845 . 2 ((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)
14 rpreccl 13006 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (1 / π‘Ÿ) ∈ ℝ+)
1514adantl 481 . . . . . . 7 (((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘Ÿ) ∈ ℝ+)
1615rpred 13022 . . . . . 6 (((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘Ÿ) ∈ ℝ)
1715rpge0d 13026 . . . . . 6 (((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ (1 / π‘Ÿ))
18 flge0nn0 13791 . . . . . 6 (((1 / π‘Ÿ) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (1 / π‘Ÿ)) β†’ (βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) ∈ β„•0)
1916, 17, 18syl2anc 583 . . . . 5 (((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) ∈ β„•0)
20 nn0p1nn 12515 . . . . 5 ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ β„•)
2119, 20syl 17 . . . 4 (((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ β„•)
22 elfznn 13536 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
2322adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
2423nnrpd 13020 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
2521adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ β„•)
2625nnrpd 13020 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ ℝ+)
2724, 26rpdivcld 13039 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ ℝ+)
2827rpred 13022 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ ℝ)
2927rpge0d 13026 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ 0 ≀ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)))
30 elfzle2 13511 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) β†’ π‘˜ ≀ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))
3130adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ π‘˜ ≀ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))
3225nnred 12231 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ ℝ)
3332recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ β„‚)
3433mulridd 11235 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) Β· 1) = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))
3531, 34breqtrrd 5169 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ π‘˜ ≀ (((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) Β· 1))
3623nnred 12231 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
37 1red 11219 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ 1 ∈ ℝ)
3825nngt0d 12265 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ 0 < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))
39 ledivmul 12094 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ≀ 1 ↔ π‘˜ ≀ (((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) Β· 1)))
4036, 37, 32, 38, 39syl112anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ≀ 1 ↔ π‘˜ ≀ (((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) Β· 1)))
4135, 40mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ≀ 1)
42 elicc01 13449 . . . . . . . 8 ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ (0[,]1) ↔ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∧ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ≀ 1))
4328, 29, 41, 42syl3anbrc 1340 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ (0[,]1))
44 oveq1 7412 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) = ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ))
4544sseq1d 4008 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 ↔ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒))
4645rexbidv 3172 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒))
4746rspcv 3602 . . . . . . 7 ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ (0[,]1) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒))
4843, 47syl 17 . . . . . 6 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒))
49 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
5049rpred 13022 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
5128, 50resubcld 11646 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ)
5251rexrd 11268 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ*)
5328, 50readdcld 11247 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ) ∈ ℝ)
5453rexrd 11268 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ) ∈ ℝ*)
55 nnm1nn0 12517 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„•0)
5623, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„•0)
5756nn0red 12537 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ ℝ)
5857, 25nndivred 12270 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ ℝ)
5936recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
6057recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„‚)
6125nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) β‰  0)
6259, 60, 33, 61divsubdird 12033 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) = ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))))
63 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ β„‚
64 nncan 11493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) = 1)
6559, 63, 64sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) = 1)
6665oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) = (1 / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)))
6762, 66eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) = (1 / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)))
6849rprecred 13033 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (1 / π‘Ÿ) ∈ ℝ)
69 flltp1 13771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / π‘Ÿ) ∈ ℝ β†’ (1 / π‘Ÿ) < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (1 / π‘Ÿ) < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))
71 rpgt0 12992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ 0 < π‘Ÿ)
7271ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ 0 < π‘Ÿ)
73 ltdiv23 12109 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘Ÿ) ∧ (((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((1 / π‘Ÿ) < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ↔ (1 / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) < π‘Ÿ))
7437, 50, 72, 32, 38, 73syl122anc 1376 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((1 / π‘Ÿ) < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ↔ (1 / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) < π‘Ÿ))
7570, 74mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (1 / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) < π‘Ÿ)
7667, 75eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) < π‘Ÿ)
7728, 58, 50, 76ltsub23d 11823 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ) < ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)))
7828, 49ltaddrpd 13055 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) < ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ))
79 iccssioo 13399 . . . . . . . . . . 11 (((((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ* ∧ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ) ∈ ℝ*) ∧ (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ) < ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∧ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) < ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ))) β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ)(,)((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ)))
8052, 54, 77, 78, 79syl22anc 836 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ)(,)((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ)))
81 0red 11221 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ 0 ∈ ℝ)
8256nn0ge0d 12539 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ 0 ≀ (π‘˜ βˆ’ 1))
83 divge0 12087 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘˜ βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘˜ βˆ’ 1)) ∧ (((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ 0 ≀ ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)))
8457, 82, 32, 38, 83syl22anc 836 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ 0 ≀ ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)))
85 iccss 13398 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∧ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ≀ 1)) β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† (0[,]1))
8681, 37, 84, 41, 85syl22anc 836 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† (0[,]1))
8780, 86ssind 4227 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† ((((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ)(,)((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ)) ∩ (0[,]1)))
88 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
8988rexmet 24662 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„)
90 sseqin2 4210 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]1) βŠ† ℝ ↔ (ℝ ∩ (0[,]1)) = (0[,]1))
913, 90mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ∩ (0[,]1)) = (0[,]1)
9243, 91eleqtrrdi 2838 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ (ℝ ∩ (0[,]1)))
93 rpxr 12989 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
9493ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
95 xpss12 5684 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((0[,]1) βŠ† ℝ ∧ (0[,]1) βŠ† ℝ) β†’ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
963, 3, 95mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
97 resabs1 6005 . . . . . . . . . . . . . 14 (((0[,]1) Γ— (0[,]1)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))
9896, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
9998eqcomi 2735 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) = (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
10099blres 24292 . . . . . . . . . . 11 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ (ℝ ∩ (0[,]1)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) = (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) ∩ (0[,]1)))
10189, 92, 94, 100mp3an2i 1462 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) = (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) ∩ (0[,]1)))
10288bl2ioo 24663 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) = (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ)(,)((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ)))
10328, 50, 102syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) = (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ)(,)((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ)))
104103ineq1d 4206 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) ∩ (0[,]1)) = ((((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ)(,)((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ)) ∩ (0[,]1)))
105101, 104eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) = ((((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ)(,)((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ)) ∩ (0[,]1)))
10687, 105sseqtrrd 4018 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ))
107 sstr2 3984 . . . . . . . 8 ((((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) β†’ (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† 𝑒))
108106, 107syl 17 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† 𝑒))
109108reximdv 3164 . . . . . 6 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† 𝑒))
11048, 109syld 47 . . . . 5 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† 𝑒))
111110ralrimdva 3148 . . . 4 (((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† 𝑒))
112 oveq2 7413 . . . . . 6 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) β†’ (1...𝑛) = (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)))
113 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛) = ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)))
114 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) β†’ (π‘˜ / 𝑛) = (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)))
115113, 114oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛)[,](π‘˜ / 𝑛)) = (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))))
116115sseq1d 4008 . . . . . . 7 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) β†’ ((((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛)[,](π‘˜ / 𝑛)) βŠ† 𝑒 ↔ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† 𝑒))
117116rexbidv 3172 . . . . . 6 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛)[,](π‘˜ / 𝑛)) βŠ† 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† 𝑒))
118112, 117raleqbidv 3336 . . . . 5 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑛)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛)[,](π‘˜ / 𝑛)) βŠ† 𝑒 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† 𝑒))
119118rspcev 3606 . . . 4 ((((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑛)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛)[,](π‘˜ / 𝑛)) βŠ† 𝑒)
12021, 111, 119syl6an 681 . . 3 (((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑛)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛)[,](π‘˜ / 𝑛)) βŠ† 𝑒))
121120rexlimdva 3149 . 2 ((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑛)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛)[,](π‘˜ / 𝑛)) βŠ† 𝑒))
12213, 121mpd 15 1 ((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑛)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛)[,](π‘˜ / 𝑛)) βŠ† 𝑒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„+crp 12980  (,)cioo 13330  [,]cicc 13333  ...cfz 13490  βŒŠcfl 13761  abscabs 15187  βˆžMetcxmet 21225  Metcmet 21226  ballcbl 21227  Compccmp 23245  IIcii 24750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-ec 8707  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-ii 24752
This theorem is referenced by:  cvmliftlem15  34817
  Copyright terms: Public domain W3C validator