MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lebnumii 24345
Description: Specialize the Lebesgue number lemma lebnum 24343 to the closed unit interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lebnumii ((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑛)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛)[,](π‘˜ / 𝑛)) βŠ† 𝑒)
Distinct variable group:   π‘˜,𝑛,𝑒,π‘ˆ

Proof of Theorem lebnumii
Dummy variables π‘Ÿ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ii 24256 . . 3 II = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))
2 cnmet 24151 . . . . 5 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜β„‚)
3 unitssre 13422 . . . . . 6 (0[,]1) βŠ† ℝ
4 ax-resscn 11113 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
53, 4sstri 3954 . . . . 5 (0[,]1) βŠ† β„‚
6 metres2 23732 . . . . 5 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜β„‚) ∧ (0[,]1) βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) ∈ (Metβ€˜(0[,]1)))
72, 5, 6mp2an 691 . . . 4 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) ∈ (Metβ€˜(0[,]1))
87a1i 11 . . 3 ((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) ∈ (Metβ€˜(0[,]1)))
9 iicmp 24265 . . . 4 II ∈ Comp
109a1i 11 . . 3 ((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) β†’ II ∈ Comp)
11 simpl 484 . . 3 ((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ βŠ† II)
12 simpr 486 . . 3 ((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) β†’ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ)
131, 8, 10, 11, 12lebnum 24343 . 2 ((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)
14 rpreccl 12946 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (1 / π‘Ÿ) ∈ ℝ+)
1514adantl 483 . . . . . . 7 (((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘Ÿ) ∈ ℝ+)
1615rpred 12962 . . . . . 6 (((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘Ÿ) ∈ ℝ)
1715rpge0d 12966 . . . . . 6 (((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ (1 / π‘Ÿ))
18 flge0nn0 13731 . . . . . 6 (((1 / π‘Ÿ) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (1 / π‘Ÿ)) β†’ (βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) ∈ β„•0)
1916, 17, 18syl2anc 585 . . . . 5 (((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) ∈ β„•0)
20 nn0p1nn 12457 . . . . 5 ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ β„•)
2119, 20syl 17 . . . 4 (((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ β„•)
22 elfznn 13476 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
2322adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
2423nnrpd 12960 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
2521adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ β„•)
2625nnrpd 12960 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ ℝ+)
2724, 26rpdivcld 12979 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ ℝ+)
2827rpred 12962 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ ℝ)
2927rpge0d 12966 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ 0 ≀ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)))
30 elfzle2 13451 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) β†’ π‘˜ ≀ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))
3130adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ π‘˜ ≀ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))
3225nnred 12173 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ ℝ)
3332recnd 11188 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ β„‚)
3433mulid1d 11177 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) Β· 1) = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))
3531, 34breqtrrd 5134 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ π‘˜ ≀ (((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) Β· 1))
3623nnred 12173 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
37 1red 11161 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ 1 ∈ ℝ)
3825nngt0d 12207 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ 0 < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))
39 ledivmul 12036 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ≀ 1 ↔ π‘˜ ≀ (((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) Β· 1)))
4036, 37, 32, 38, 39syl112anc 1375 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ≀ 1 ↔ π‘˜ ≀ (((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) Β· 1)))
4135, 40mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ≀ 1)
42 elicc01 13389 . . . . . . . 8 ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ (0[,]1) ↔ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∧ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ≀ 1))
4328, 29, 41, 42syl3anbrc 1344 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ (0[,]1))
44 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) = ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ))
4544sseq1d 3976 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 ↔ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒))
4645rexbidv 3172 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒))
4746rspcv 3576 . . . . . . 7 ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ (0[,]1) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒))
4843, 47syl 17 . . . . . 6 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒))
49 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
5049rpred 12962 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
5128, 50resubcld 11588 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ)
5251rexrd 11210 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ*)
5328, 50readdcld 11189 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ) ∈ ℝ)
5453rexrd 11210 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ) ∈ ℝ*)
55 nnm1nn0 12459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„•0)
5623, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„•0)
5756nn0red 12479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ ℝ)
5857, 25nndivred 12212 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ ℝ)
5936recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
6057recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„‚)
6125nnne0d 12208 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) β‰  0)
6259, 60, 33, 61divsubdird 11975 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) = ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))))
63 ax-1cn 11114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ β„‚
64 nncan 11435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) = 1)
6559, 63, 64sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) = 1)
6665oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) = (1 / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)))
6762, 66eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) = (1 / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)))
6849rprecred 12973 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (1 / π‘Ÿ) ∈ ℝ)
69 flltp1 13711 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / π‘Ÿ) ∈ ℝ β†’ (1 / π‘Ÿ) < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (1 / π‘Ÿ) < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))
71 rpgt0 12932 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ 0 < π‘Ÿ)
7271ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ 0 < π‘Ÿ)
73 ltdiv23 12051 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘Ÿ) ∧ (((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((1 / π‘Ÿ) < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ↔ (1 / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) < π‘Ÿ))
7437, 50, 72, 32, 38, 73syl122anc 1380 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((1 / π‘Ÿ) < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ↔ (1 / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) < π‘Ÿ))
7570, 74mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (1 / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) < π‘Ÿ)
7667, 75eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) < π‘Ÿ)
7728, 58, 50, 76ltsub23d 11765 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ) < ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)))
7828, 49ltaddrpd 12995 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) < ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ))
79 iccssioo 13339 . . . . . . . . . . 11 (((((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ* ∧ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ) ∈ ℝ*) ∧ (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ) < ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∧ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) < ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ))) β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ)(,)((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ)))
8052, 54, 77, 78, 79syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ)(,)((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ)))
81 0red 11163 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ 0 ∈ ℝ)
8256nn0ge0d 12481 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ 0 ≀ (π‘˜ βˆ’ 1))
83 divge0 12029 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘˜ βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘˜ βˆ’ 1)) ∧ (((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ 0 ≀ ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)))
8457, 82, 32, 38, 83syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ 0 ≀ ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)))
85 iccss 13338 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∧ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ≀ 1)) β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† (0[,]1))
8681, 37, 84, 41, 85syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† (0[,]1))
8780, 86ssind 4193 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† ((((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ)(,)((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ)) ∩ (0[,]1)))
88 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
8988rexmet 24170 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„)
90 sseqin2 4176 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]1) βŠ† ℝ ↔ (ℝ ∩ (0[,]1)) = (0[,]1))
913, 90mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ∩ (0[,]1)) = (0[,]1)
9243, 91eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ (ℝ ∩ (0[,]1)))
93 rpxr 12929 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
9493ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
95 xpss12 5649 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((0[,]1) βŠ† ℝ ∧ (0[,]1) βŠ† ℝ) β†’ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
963, 3, 95mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
97 resabs1 5968 . . . . . . . . . . . . . 14 (((0[,]1) Γ— (0[,]1)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))
9896, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
9998eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) = (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
10099blres 23800 . . . . . . . . . . 11 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ (ℝ ∩ (0[,]1)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) = (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) ∩ (0[,]1)))
10189, 92, 94, 100mp3an2i 1467 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) = (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) ∩ (0[,]1)))
10288bl2ioo 24171 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) = (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ)(,)((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ)))
10328, 50, 102syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) = (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ)(,)((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ)))
104103ineq1d 4172 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) ∩ (0[,]1)) = ((((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ)(,)((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ)) ∩ (0[,]1)))
105101, 104eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) = ((((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ)(,)((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ)) ∩ (0[,]1)))
10687, 105sseqtrrd 3986 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ))
107 sstr2 3952 . . . . . . . 8 ((((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) β†’ (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† 𝑒))
108106, 107syl 17 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† 𝑒))
109108reximdv 3164 . . . . . 6 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† 𝑒))
11048, 109syld 47 . . . . 5 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† 𝑒))
111110ralrimdva 3148 . . . 4 (((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† 𝑒))
112 oveq2 7366 . . . . . 6 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) β†’ (1...𝑛) = (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)))
113 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛) = ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)))
114 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) β†’ (π‘˜ / 𝑛) = (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)))
115113, 114oveq12d 7376 . . . . . . . 8 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛)[,](π‘˜ / 𝑛)) = (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))))
116115sseq1d 3976 . . . . . . 7 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) β†’ ((((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛)[,](π‘˜ / 𝑛)) βŠ† 𝑒 ↔ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† 𝑒))
117116rexbidv 3172 . . . . . 6 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛)[,](π‘˜ / 𝑛)) βŠ† 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† 𝑒))
118112, 117raleqbidv 3318 . . . . 5 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑛)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛)[,](π‘˜ / 𝑛)) βŠ† 𝑒 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† 𝑒))
119118rspcev 3580 . . . 4 ((((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑛)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛)[,](π‘˜ / 𝑛)) βŠ† 𝑒)
12021, 111, 119syl6an 683 . . 3 (((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑛)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛)[,](π‘˜ / 𝑛)) βŠ† 𝑒))
121120rexlimdva 3149 . 2 ((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑛)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛)[,](π‘˜ / 𝑛)) βŠ† 𝑒))
12213, 121mpd 15 1 ((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑛)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛)[,](π‘˜ / 𝑛)) βŠ† 𝑒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106   Γ— cxp 5632   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418  β„+crp 12920  (,)cioo 13270  [,]cicc 13273  ...cfz 13430  βŒŠcfl 13701  abscabs 15125  βˆžMetcxmet 20797  Metcmet 20798  ballcbl 20799  Compccmp 22753  IIcii 24254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-ec 8653  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-ii 24256
This theorem is referenced by:  cvmliftlem15  33949
  Copyright terms: Public domain W3C validator