MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lebnumii 24910
Description: Specialize the Lebesgue number lemma lebnum 24908 to the closed unit interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lebnumii ((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑛)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛)[,](π‘˜ / 𝑛)) βŠ† 𝑒)
Distinct variable group:   π‘˜,𝑛,𝑒,π‘ˆ

Proof of Theorem lebnumii
Dummy variables π‘Ÿ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ii 24815 . . 3 II = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))
2 cnmet 24706 . . . . 5 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜β„‚)
3 unitssre 13508 . . . . . 6 (0[,]1) βŠ† ℝ
4 ax-resscn 11195 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
53, 4sstri 3982 . . . . 5 (0[,]1) βŠ† β„‚
6 metres2 24287 . . . . 5 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜β„‚) ∧ (0[,]1) βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) ∈ (Metβ€˜(0[,]1)))
72, 5, 6mp2an 690 . . . 4 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) ∈ (Metβ€˜(0[,]1))
87a1i 11 . . 3 ((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) ∈ (Metβ€˜(0[,]1)))
9 iicmp 24824 . . . 4 II ∈ Comp
109a1i 11 . . 3 ((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) β†’ II ∈ Comp)
11 simpl 481 . . 3 ((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ βŠ† II)
12 simpr 483 . . 3 ((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) β†’ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ)
131, 8, 10, 11, 12lebnum 24908 . 2 ((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)
14 rpreccl 13032 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (1 / π‘Ÿ) ∈ ℝ+)
1514adantl 480 . . . . . . 7 (((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘Ÿ) ∈ ℝ+)
1615rpred 13048 . . . . . 6 (((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘Ÿ) ∈ ℝ)
1715rpge0d 13052 . . . . . 6 (((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ (1 / π‘Ÿ))
18 flge0nn0 13817 . . . . . 6 (((1 / π‘Ÿ) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (1 / π‘Ÿ)) β†’ (βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) ∈ β„•0)
1916, 17, 18syl2anc 582 . . . . 5 (((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) ∈ β„•0)
20 nn0p1nn 12541 . . . . 5 ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ β„•)
2119, 20syl 17 . . . 4 (((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ β„•)
22 elfznn 13562 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
2322adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
2423nnrpd 13046 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
2521adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ β„•)
2625nnrpd 13046 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ ℝ+)
2724, 26rpdivcld 13065 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ ℝ+)
2827rpred 13048 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ ℝ)
2927rpge0d 13052 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ 0 ≀ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)))
30 elfzle2 13537 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) β†’ π‘˜ ≀ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))
3130adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ π‘˜ ≀ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))
3225nnred 12257 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ ℝ)
3332recnd 11272 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ β„‚)
3433mulridd 11261 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) Β· 1) = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))
3531, 34breqtrrd 5171 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ π‘˜ ≀ (((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) Β· 1))
3623nnred 12257 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
37 1red 11245 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ 1 ∈ ℝ)
3825nngt0d 12291 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ 0 < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))
39 ledivmul 12120 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ≀ 1 ↔ π‘˜ ≀ (((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) Β· 1)))
4036, 37, 32, 38, 39syl112anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ≀ 1 ↔ π‘˜ ≀ (((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) Β· 1)))
4135, 40mpbird 256 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ≀ 1)
42 elicc01 13475 . . . . . . . 8 ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ (0[,]1) ↔ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∧ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ≀ 1))
4328, 29, 41, 42syl3anbrc 1340 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ (0[,]1))
44 oveq1 7423 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) = ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ))
4544sseq1d 4004 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 ↔ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒))
4645rexbidv 3169 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒))
4746rspcv 3597 . . . . . . 7 ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ (0[,]1) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒))
4843, 47syl 17 . . . . . 6 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒))
49 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
5049rpred 13048 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
5128, 50resubcld 11672 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ)
5251rexrd 11294 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ*)
5328, 50readdcld 11273 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ) ∈ ℝ)
5453rexrd 11294 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ) ∈ ℝ*)
55 nnm1nn0 12543 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„•0)
5623, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„•0)
5756nn0red 12563 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ ℝ)
5857, 25nndivred 12296 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ ℝ)
5936recnd 11272 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
6057recnd 11272 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„‚)
6125nnne0d 12292 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) β‰  0)
6259, 60, 33, 61divsubdird 12059 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) = ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))))
63 ax-1cn 11196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ β„‚
64 nncan 11519 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) = 1)
6559, 63, 64sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) = 1)
6665oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ βˆ’ (π‘˜ βˆ’ 1)) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) = (1 / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)))
6762, 66eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) = (1 / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)))
6849rprecred 13059 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (1 / π‘Ÿ) ∈ ℝ)
69 flltp1 13797 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / π‘Ÿ) ∈ ℝ β†’ (1 / π‘Ÿ) < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (1 / π‘Ÿ) < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))
71 rpgt0 13018 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ 0 < π‘Ÿ)
7271ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ 0 < π‘Ÿ)
73 ltdiv23 12135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘Ÿ) ∧ (((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((1 / π‘Ÿ) < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ↔ (1 / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) < π‘Ÿ))
7437, 50, 72, 32, 38, 73syl122anc 1376 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((1 / π‘Ÿ) < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ↔ (1 / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) < π‘Ÿ))
7570, 74mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (1 / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) < π‘Ÿ)
7667, 75eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) < π‘Ÿ)
7728, 58, 50, 76ltsub23d 11849 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ) < ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)))
7828, 49ltaddrpd 13081 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) < ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ))
79 iccssioo 13425 . . . . . . . . . . 11 (((((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ* ∧ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ) ∈ ℝ*) ∧ (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ) < ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∧ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) < ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ))) β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ)(,)((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ)))
8052, 54, 77, 78, 79syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ)(,)((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ)))
81 0red 11247 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ 0 ∈ ℝ)
8256nn0ge0d 12565 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ 0 ≀ (π‘˜ βˆ’ 1))
83 divge0 12113 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘˜ βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘˜ βˆ’ 1)) ∧ (((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ 0 ≀ ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)))
8457, 82, 32, 38, 83syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ 0 ≀ ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)))
85 iccss 13424 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∧ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ≀ 1)) β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† (0[,]1))
8681, 37, 84, 41, 85syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† (0[,]1))
8780, 86ssind 4227 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† ((((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ)(,)((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ)) ∩ (0[,]1)))
88 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
8988rexmet 24725 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„)
90 sseqin2 4209 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]1) βŠ† ℝ ↔ (ℝ ∩ (0[,]1)) = (0[,]1))
913, 90mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ∩ (0[,]1)) = (0[,]1)
9243, 91eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ (ℝ ∩ (0[,]1)))
93 rpxr 13015 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
9493ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
95 xpss12 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((0[,]1) βŠ† ℝ ∧ (0[,]1) βŠ† ℝ) β†’ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
963, 3, 95mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
97 resabs1 6006 . . . . . . . . . . . . . 14 (((0[,]1) Γ— (0[,]1)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))
9896, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
9998eqcomi 2734 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))) = (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
10099blres 24355 . . . . . . . . . . 11 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ (ℝ ∩ (0[,]1)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) = (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) ∩ (0[,]1)))
10189, 92, 94, 100mp3an2i 1462 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) = (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) ∩ (0[,]1)))
10288bl2ioo 24726 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) = (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ)(,)((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ)))
10328, 50, 102syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) = (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ)(,)((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ)))
104103ineq1d 4205 . . . . . . . . . 10 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) ∩ (0[,]1)) = ((((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ)(,)((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ)) ∩ (0[,]1)))
105101, 104eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) = ((((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) βˆ’ π‘Ÿ)(,)((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)) + π‘Ÿ)) ∩ (0[,]1)))
10687, 105sseqtrrd 4014 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ))
107 sstr2 3979 . . . . . . . 8 ((((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) β†’ (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† 𝑒))
108106, 107syl 17 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† 𝑒))
109108reximdv 3160 . . . . . 6 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ ((π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† 𝑒))
11048, 109syld 47 . . . . 5 ((((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† 𝑒))
111110ralrimdva 3144 . . . 4 (((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† 𝑒))
112 oveq2 7424 . . . . . 6 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) β†’ (1...𝑛) = (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)))
113 oveq2 7424 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛) = ((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)))
114 oveq2 7424 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) β†’ (π‘˜ / 𝑛) = (π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1)))
115113, 114oveq12d 7434 . . . . . . . 8 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) β†’ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛)[,](π‘˜ / 𝑛)) = (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))))
116115sseq1d 4004 . . . . . . 7 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) β†’ ((((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛)[,](π‘˜ / 𝑛)) βŠ† 𝑒 ↔ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† 𝑒))
117116rexbidv 3169 . . . . . 6 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛)[,](π‘˜ / 𝑛)) βŠ† 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† 𝑒))
118112, 117raleqbidv 3330 . . . . 5 (𝑛 = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑛)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛)[,](π‘˜ / 𝑛)) βŠ† 𝑒 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† 𝑒))
119118rspcev 3601 . . . 4 ((((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1) ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1...((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))[,](π‘˜ / ((βŒŠβ€˜(1 / π‘Ÿ)) + 1))) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑛)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛)[,](π‘˜ / 𝑛)) βŠ† 𝑒)
12021, 111, 119syl6an 682 . . 3 (((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑛)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛)[,](π‘˜ / 𝑛)) βŠ† 𝑒))
121120rexlimdva 3145 . 2 ((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]1)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑛)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛)[,](π‘˜ / 𝑛)) βŠ† 𝑒))
12213, 121mpd 15 1 ((π‘ˆ βŠ† II ∧ (0[,]1) = βˆͺ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑛)βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (((π‘˜ βˆ’ 1) / 𝑛)[,](π‘˜ / 𝑛)) βŠ† 𝑒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   ∩ cin 3938   βŠ† wss 3939  βˆͺ cuni 4903   class class class wbr 5143   Γ— cxp 5670   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143  β„*cxr 11277   < clt 11278   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474   / cdiv 11901  β„•cn 12242  β„•0cn0 12502  β„+crp 13006  (,)cioo 13356  [,]cicc 13359  ...cfz 13516  βŒŠcfl 13787  abscabs 15213  βˆžMetcxmet 21268  Metcmet 21269  ballcbl 21270  Compccmp 23308  IIcii 24813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-ec 8725  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-cmp 23309  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-ii 24815
This theorem is referenced by:  cvmliftlem15  34965
  Copyright terms: Public domain W3C validator