| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | df-ii 24903 |
. . 3
⊢ II =
(MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) ×
(0[,]1)))) |
| 2 | | cnmet 24792 |
. . . . 5
⊢ (abs
∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) |
| 3 | | unitssre 13539 |
. . . . . 6
⊢ (0[,]1)
⊆ ℝ |
| 4 | | ax-resscn 11212 |
. . . . . 6
⊢ ℝ
⊆ ℂ |
| 5 | 3, 4 | sstri 3993 |
. . . . 5
⊢ (0[,]1)
⊆ ℂ |
| 6 | | metres2 24373 |
. . . . 5
⊢ (((abs
∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ)
→ ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈
(Met‘(0[,]1))) |
| 7 | 2, 5, 6 | mp2an 692 |
. . . 4
⊢ ((abs
∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈
(Met‘(0[,]1)) |
| 8 | 7 | a1i 11 |
. . 3
⊢ ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) → ((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (Met‘(0[,]1))) |
| 9 | | iicmp 24912 |
. . . 4
⊢ II ∈
Comp |
| 10 | 9 | a1i 11 |
. . 3
⊢ ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) → II ∈ Comp) |
| 11 | | simpl 482 |
. . 3
⊢ ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) → 𝑈 ⊆ II) |
| 12 | | simpr 484 |
. . 3
⊢ ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) → (0[,]1) = ∪ 𝑈) |
| 13 | 1, 8, 10, 11, 12 | lebnum 24996 |
. 2
⊢ ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢) |
| 14 | | rpreccl 13061 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑟 ∈ ℝ+
→ (1 / 𝑟) ∈
ℝ+) |
| 15 | 14 | adantl 481 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (1 /
𝑟) ∈
ℝ+) |
| 16 | 15 | rpred 13077 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (1 /
𝑟) ∈
ℝ) |
| 17 | 15 | rpge0d 13081 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (1
/ 𝑟)) |
| 18 | | flge0nn0 13860 |
. . . . . 6
⊢ (((1 /
𝑟) ∈ ℝ ∧ 0
≤ (1 / 𝑟)) →
(⌊‘(1 / 𝑟))
∈ ℕ0) |
| 19 | 16, 17, 18 | syl2anc 584 |
. . . . 5
⊢ (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) →
(⌊‘(1 / 𝑟))
∈ ℕ0) |
| 20 | | nn0p1nn 12565 |
. . . . 5
⊢
((⌊‘(1 / 𝑟)) ∈ ℕ0 →
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) ∈ ℕ) |
| 21 | 19, 20 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) →
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) ∈ ℕ) |
| 22 | | elfznn 13593 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1)) → 𝑘 ∈
ℕ) |
| 23 | 22 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ∈
ℕ) |
| 24 | 23 | nnrpd 13075 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ∈
ℝ+) |
| 25 | 21 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) ∈ ℕ) |
| 26 | 25 | nnrpd 13075 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) ∈ ℝ+) |
| 27 | 24, 26 | rpdivcld 13094 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈
ℝ+) |
| 28 | 27 | rpred 13077 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈
ℝ) |
| 29 | 27 | rpge0d 13081 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 0 ≤
(𝑘 / ((⌊‘(1 /
𝑟)) + 1))) |
| 30 | | elfzle2 13568 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1)) → 𝑘 ≤ ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) |
| 31 | 30 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ≤ ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) |
| 32 | 25 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) ∈ ℝ) |
| 33 | 32 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) ∈ ℂ) |
| 34 | 33 | mulridd 11278 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) · 1) = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) |
| 35 | 31, 34 | breqtrrd 5171 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ≤ (((⌊‘(1 /
𝑟)) + 1) ·
1)) |
| 36 | 23 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ∈
ℝ) |
| 37 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 1
∈ ℝ) |
| 38 | 25 | nngt0d 12315 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 0 <
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) |
| 39 | | ledivmul 12144 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℝ ∧ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 <
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))) → ((𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) ≤ 1 ↔ 𝑘 ≤
(((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) · 1))) |
| 40 | 36, 37, 32, 38, 39 | syl112anc 1376 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤ 1 ↔ 𝑘 ≤ (((⌊‘(1 /
𝑟)) + 1) ·
1))) |
| 41 | 35, 40 | mpbird 257 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤
1) |
| 42 | | elicc01 13506 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (0[,]1) ↔
((𝑘 / ((⌊‘(1 /
𝑟)) + 1)) ∈ ℝ
∧ 0 ≤ (𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) ∧ (𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) ≤ 1)) |
| 43 | 28, 29, 41, 42 | syl3anbrc 1344 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈
(0[,]1)) |
| 44 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) = ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟)) |
| 45 | 44 | sseq1d 4015 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → ((𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 ↔ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢)) |
| 46 | 45 | rexbidv 3179 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → (∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢)) |
| 47 | 46 | rspcv 3618 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (0[,]1) →
(∀𝑥 ∈
(0[,]1)∃𝑢 ∈
𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢)) |
| 48 | 43, 47 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(∀𝑥 ∈
(0[,]1)∃𝑢 ∈
𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢)) |
| 49 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 𝑟 ∈
ℝ+) |
| 50 | 49 | rpred 13077 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 𝑟 ∈
ℝ) |
| 51 | 28, 50 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) ∈
ℝ) |
| 52 | 51 | rexrd 11311 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) ∈
ℝ*) |
| 53 | 28, 50 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟) ∈ ℝ) |
| 54 | 53 | rexrd 11311 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟) ∈
ℝ*) |
| 55 | | nnm1nn0 12567 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈
ℕ0) |
| 56 | 23, 55 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 − 1) ∈
ℕ0) |
| 57 | 56 | nn0red 12588 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 − 1) ∈
ℝ) |
| 58 | 57, 25 | nndivred 12320 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1)) ∈
ℝ) |
| 59 | 36 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ∈
ℂ) |
| 60 | 57 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 − 1) ∈
ℂ) |
| 61 | 25 | nnne0d 12316 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) ≠ 0) |
| 62 | 59, 60, 33, 61 | divsubdird 12082 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 − (𝑘 − 1)) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) = ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))) |
| 63 | | ax-1cn 11213 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 1 ∈
ℂ |
| 64 | | nncan 11538 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ) → (𝑘 −
(𝑘 − 1)) =
1) |
| 65 | 59, 63, 64 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 − (𝑘 − 1)) = 1) |
| 66 | 65 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 − (𝑘 − 1)) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) = (1 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))) |
| 67 | 62, 66 | eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) = (1 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))) |
| 68 | 49 | rprecred 13088 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (1 /
𝑟) ∈
ℝ) |
| 69 | | flltp1 13840 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((1 /
𝑟) ∈ ℝ → (1
/ 𝑟) <
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) |
| 70 | 68, 69 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (1 /
𝑟) < ((⌊‘(1
/ 𝑟)) +
1)) |
| 71 | | rpgt0 13047 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑟 ∈ ℝ+
→ 0 < 𝑟) |
| 72 | 71 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 0 <
𝑟) |
| 73 | | ltdiv23 12159 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ (𝑟
∈ ℝ ∧ 0 < 𝑟) ∧ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0
< ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((1 / 𝑟) < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ↔ (1 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) < 𝑟)) |
| 74 | 37, 50, 72, 32, 38, 73 | syl122anc 1381 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((1 /
𝑟) < ((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1) ↔ (1 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) < 𝑟)) |
| 75 | 70, 74 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (1 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) < 𝑟) |
| 76 | 67, 75 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) < 𝑟) |
| 77 | 28, 58, 50, 76 | ltsub23d 11868 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) < ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) |
| 78 | 28, 49 | ltaddrpd 13110 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) < ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)) |
| 79 | | iccssioo 13456 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) − 𝑟) ∈
ℝ* ∧ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟) ∈ ℝ*) ∧ (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) < ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∧ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) < ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟))) → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟))) |
| 80 | 52, 54, 77, 78, 79 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(((𝑘 − 1) /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))[,](𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))) ⊆ (((𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟))) |
| 81 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 0
∈ ℝ) |
| 82 | 56 | nn0ge0d 12590 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 0 ≤
(𝑘 −
1)) |
| 83 | | divge0 12137 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑘 − 1) ∈ ℝ ∧
0 ≤ (𝑘 − 1)) ∧
(((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 ≤ ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) |
| 84 | 57, 82, 32, 38, 83 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 0 ≤
((𝑘 − 1) /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))) |
| 85 | | iccss 13455 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((0
∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∧ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤ 1)) →
(((𝑘 − 1) /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))[,](𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))) ⊆ (0[,]1)) |
| 86 | 81, 37, 84, 41, 85 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(((𝑘 − 1) /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))[,](𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))) ⊆ (0[,]1)) |
| 87 | 80, 86 | ssind 4241 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(((𝑘 − 1) /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))[,](𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))) ⊆ ((((𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)) ∩ (0[,]1))) |
| 88 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − )
↾ (ℝ × ℝ)) |
| 89 | 88 | rexmet 24812 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈
(∞Met‘ℝ) |
| 90 | | sseqin2 4223 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((0[,]1)
⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ (0[,]1)) = (0[,]1)) |
| 91 | 3, 90 | mpbi 230 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (ℝ
∩ (0[,]1)) = (0[,]1) |
| 92 | 43, 91 | eleqtrrdi 2852 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (ℝ ∩
(0[,]1))) |
| 93 | | rpxr 13044 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑟 ∈ ℝ+
→ 𝑟 ∈
ℝ*) |
| 94 | 93 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → 𝑟 ∈
ℝ*) |
| 95 | | xpss12 5700 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((0[,]1)
⊆ ℝ ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ) → ((0[,]1) × (0[,]1))
⊆ (ℝ × ℝ)) |
| 96 | 3, 3, 95 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((0[,]1)
× (0[,]1)) ⊆ (ℝ × ℝ) |
| 97 | | resabs1 6024 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((0[,]1)
× (0[,]1)) ⊆ (ℝ × ℝ) → (((abs ∘
− ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))
= ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))) |
| 98 | 96, 97 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ ((0[,]1) ×
(0[,]1))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) ×
(0[,]1))) |
| 99 | 98 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((abs
∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) = (((abs ∘ − )
↾ (ℝ × ℝ)) ↾ ((0[,]1) ×
(0[,]1))) |
| 100 | 99 | blres 24441 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈
(∞Met‘ℝ) ∧ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (ℝ ∩ (0[,]1)) ∧
𝑟 ∈
ℝ*) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) = (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ∩ (0[,]1))) |
| 101 | 89, 92, 94, 100 | mp3an2i 1468 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs
∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) = (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ∩ (0[,]1))) |
| 102 | 88 | bl2ioo 24813 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ ℝ ∧
𝑟 ∈ ℝ) →
((𝑘 / ((⌊‘(1 /
𝑟)) + 1))(ball‘((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟))) |
| 103 | 28, 50, 102 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟))) |
| 104 | 103 | ineq1d 4219 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(((𝑘 / ((⌊‘(1 /
𝑟)) + 1))(ball‘((abs
∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ∩ (0[,]1)) = ((((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)) ∩ (0[,]1))) |
| 105 | 101, 104 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs
∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) = ((((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)) ∩ (0[,]1))) |
| 106 | 87, 105 | sseqtrrd 4021 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(((𝑘 − 1) /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))[,](𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))) ⊆ ((𝑘 /
((⌊‘(1 / 𝑟)) +
1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟)) |
| 107 | | sstr2 3990 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs
∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) → (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢)) |
| 108 | 106, 107 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(((𝑘 / ((⌊‘(1 /
𝑟)) + 1))(ball‘((abs
∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢)) |
| 109 | 108 | reximdv 3170 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(∃𝑢 ∈ 𝑈 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − )
↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢)) |
| 110 | 48, 109 | syld 47 |
. . . . 5
⊢ ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))) →
(∀𝑥 ∈
(0[,]1)∃𝑢 ∈
𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢)) |
| 111 | 110 | ralrimdva 3154 |
. . . 4
⊢ (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) →
(∀𝑥 ∈
(0[,]1)∃𝑢 ∈
𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∀𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢)) |
| 112 | | oveq2 7439 |
. . . . . 6
⊢ (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (1...𝑛) = (1...((⌊‘(1 /
𝑟)) + 1))) |
| 113 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → ((𝑘 − 1) / 𝑛) = ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) |
| 114 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (𝑘 / 𝑛) = (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) |
| 115 | 113, 114 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) = (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))) |
| 116 | 115 | sseq1d 4015 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → ((((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢 ↔ (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢)) |
| 117 | 116 | rexbidv 3179 |
. . . . . 6
⊢ (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢)) |
| 118 | 112, 117 | raleqbidv 3346 |
. . . . 5
⊢ (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢)) |
| 119 | 118 | rspcev 3622 |
. . . 4
⊢
((((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1
/ 𝑟)) + 1))∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢) |
| 120 | 21, 111, 119 | syl6an 684 |
. . 3
⊢ (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) →
(∀𝑥 ∈
(0[,]1)∃𝑢 ∈
𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢)) |
| 121 | 120 | rexlimdva 3155 |
. 2
⊢ ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾
((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢)) |
| 122 | 13, 121 | mpd 15 |
1
⊢ ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) =
∪ 𝑈) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢 ∈ 𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢) |