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Theorem lebnumii 23550
Description: Specialize the Lebesgue number lemma lebnum 23548 to the closed unit interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lebnumii ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢)
Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝑢,𝑈

Proof of Theorem lebnumii
Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ii 23461 . . 3 II = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))
2 cnmet 23356 . . . . 5 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
3 unitssre 12868 . . . . . 6 (0[,]1) ⊆ ℝ
4 ax-resscn 10572 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
53, 4sstri 3955 . . . . 5 (0[,]1) ⊆ ℂ
6 metres2 22949 . . . . 5 (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (Met‘(0[,]1)))
72, 5, 6mp2an 690 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (Met‘(0[,]1))
87a1i 11 . . 3 ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (Met‘(0[,]1)))
9 iicmp 23470 . . . 4 II ∈ Comp
109a1i 11 . . 3 ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → II ∈ Comp)
11 simpl 485 . . 3 ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → 𝑈 ⊆ II)
12 simpr 487 . . 3 ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → (0[,]1) = 𝑈)
131, 8, 10, 11, 12lebnum 23548 . 2 ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢)
14 rpreccl 12394 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑟) ∈ ℝ+)
1514adantl 484 . . . . . . 7 (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑟) ∈ ℝ+)
1615rpred 12410 . . . . . 6 (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑟) ∈ ℝ)
1715rpge0d 12414 . . . . . 6 (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (1 / 𝑟))
18 flge0nn0 13174 . . . . . 6 (((1 / 𝑟) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑟)) → (⌊‘(1 / 𝑟)) ∈ ℕ0)
1916, 17, 18syl2anc 586 . . . . 5 (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (⌊‘(1 / 𝑟)) ∈ ℕ0)
20 nn0p1nn 11915 . . . . 5 ((⌊‘(1 / 𝑟)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℕ)
2119, 20syl 17 . . . 4 (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℕ)
22 elfznn 12920 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2322adantl 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
2423nnrpd 12408 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ+)
2521adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℕ)
2625nnrpd 12408 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ+)
2724, 26rpdivcld 12427 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ ℝ+)
2827rpred 12410 . . . . . . . 8 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ ℝ)
2927rpge0d 12414 . . . . . . . 8 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 ≤ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
30 elfzle2 12895 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → 𝑘 ≤ ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))
3130adantl 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ≤ ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))
3225nnred 11631 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ)
3332recnd 10647 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℂ)
3433mulid1d 10636 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) · 1) = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))
3531, 34breqtrrd 5070 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ≤ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) · 1))
3623nnred 11631 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
37 1red 10620 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 1 ∈ ℝ)
3825nngt0d 11665 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))
39 ledivmul 11494 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤ 1 ↔ 𝑘 ≤ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) · 1)))
4036, 37, 32, 38, 39syl112anc 1370 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤ 1 ↔ 𝑘 ≤ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) · 1)))
4135, 40mpbird 259 . . . . . . . 8 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤ 1)
42 elicc01 12835 . . . . . . . 8 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∧ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤ 1))
4328, 29, 41, 42syl3anbrc 1339 . . . . . . 7 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (0[,]1))
44 oveq1 7140 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) = ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟))
4544sseq1d 3977 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → ((𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 ↔ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢))
4645rexbidv 3284 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → (∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢𝑈 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢))
4746rspcv 3597 . . . . . . 7 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (0[,]1) → (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢))
4843, 47syl 17 . . . . . 6 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢))
49 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
5049rpred 12410 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑟 ∈ ℝ)
5128, 50resubcld 11046 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) ∈ ℝ)
5251rexrd 10669 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) ∈ ℝ*)
5328, 50readdcld 10648 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟) ∈ ℝ)
5453rexrd 10669 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟) ∈ ℝ*)
55 nnm1nn0 11917 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
5623, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
5756nn0red 11935 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
5857, 25nndivred 11670 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ ℝ)
5936recnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
6057recnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ)
6125nnne0d 11666 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ≠ 0)
6259, 60, 33, 61divsubdird 11433 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 − (𝑘 − 1)) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) = ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))))
63 ax-1cn 10573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
64 nncan 10893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑘 − (𝑘 − 1)) = 1)
6559, 63, 64sylancl 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 − (𝑘 − 1)) = 1)
6665oveq1d 7148 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 − (𝑘 − 1)) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) = (1 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
6762, 66eqtr3d 2857 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) = (1 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
6849rprecred 12421 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (1 / 𝑟) ∈ ℝ)
69 flltp1 13154 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 𝑟) ∈ ℝ → (1 / 𝑟) < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (1 / 𝑟) < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))
71 rpgt0 12380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑟)
7271ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 < 𝑟)
73 ltdiv23 11509 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑟) ∧ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((1 / 𝑟) < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ↔ (1 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) < 𝑟))
7437, 50, 72, 32, 38, 73syl122anc 1375 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((1 / 𝑟) < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ↔ (1 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) < 𝑟))
7570, 74mpbid 234 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (1 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) < 𝑟)
7667, 75eqbrtrd 5064 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) < 𝑟)
7728, 58, 50, 76ltsub23d 11223 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) < ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
7828, 49ltaddrpd 12443 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) < ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟))
79 iccssioo 12785 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) ∈ ℝ* ∧ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟) ∈ ℝ*) ∧ (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) < ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∧ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) < ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟))) → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)))
8052, 54, 77, 78, 79syl22anc 836 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)))
81 0red 10622 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 ∈ ℝ)
8256nn0ge0d 11937 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 ≤ (𝑘 − 1))
83 divge0 11487 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑘 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑘 − 1)) ∧ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 ≤ ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
8457, 82, 32, 38, 83syl22anc 836 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 ≤ ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
85 iccss 12784 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∧ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤ 1)) → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ (0[,]1))
8681, 37, 84, 41, 85syl22anc 836 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ (0[,]1))
8780, 86ssind 4187 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ ((((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)) ∩ (0[,]1)))
88 eqid 2820 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
8988rexmet 23375 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
90 sseqin2 4170 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]1) ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ (0[,]1)) = (0[,]1))
913, 90mpbi 232 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ∩ (0[,]1)) = (0[,]1)
9243, 91eleqtrrdi 2922 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (ℝ ∩ (0[,]1)))
93 rpxr 12377 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
9493ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
95 xpss12 5546 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((0[,]1) ⊆ ℝ ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ) → ((0[,]1) × (0[,]1)) ⊆ (ℝ × ℝ))
963, 3, 95mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0[,]1) × (0[,]1)) ⊆ (ℝ × ℝ)
97 resabs1 5859 . . . . . . . . . . . . . 14 (((0[,]1) × (0[,]1)) ⊆ (ℝ × ℝ) → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))
9896, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))
9998eqcomi 2829 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))
10099blres 23017 . . . . . . . . . . 11 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (ℝ ∩ (0[,]1)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) = (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ∩ (0[,]1)))
10189, 92, 94, 100mp3an2i 1462 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) = (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ∩ (0[,]1)))
10288bl2ioo 23376 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)))
10328, 50, 102syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)))
104103ineq1d 4166 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ∩ (0[,]1)) = ((((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)) ∩ (0[,]1)))
105101, 104eqtrd 2855 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) = ((((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)) ∩ (0[,]1)))
10687, 105sseqtrrd 3987 . . . . . . . 8 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟))
107 sstr2 3953 . . . . . . . 8 ((((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) → (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
108106, 107syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
109108reximdv 3260 . . . . . 6 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (∃𝑢𝑈 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
11048, 109syld 47 . . . . 5 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
111110ralrimdva 3176 . . . 4 (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∀𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
112 oveq2 7141 . . . . . 6 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (1...𝑛) = (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
113 oveq2 7141 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → ((𝑘 − 1) / 𝑛) = ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
114 oveq2 7141 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (𝑘 / 𝑛) = (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
115113, 114oveq12d 7151 . . . . . . . 8 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) = (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))))
116115sseq1d 3977 . . . . . . 7 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → ((((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢 ↔ (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
117116rexbidv 3284 . . . . . 6 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
118112, 117raleqbidv 3388 . . . . 5 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
119118rspcev 3602 . . . 4 ((((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢)
12021, 111, 119syl6an 682 . . 3 (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢))
121120rexlimdva 3271 . 2 ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → (∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢))
12213, 121mpd 15 1 ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wral 3125  wrex 3126  cin 3912  wss 3913   cuni 4814   class class class wbr 5042   × cxp 5529  cres 5533  ccom 5535  cfv 6331  (class class class)co 7133  cc 10513  cr 10514  0cc0 10515  1c1 10516   + caddc 10518   · cmul 10520  *cxr 10652   < clt 10653  cle 10654  cmin 10848   / cdiv 11275  cn 11616  0cn0 11876  +crp 12368  (,)cioo 12717  [,]cicc 12720  ...cfz 12876  cfl 13144  abscabs 14573  ∞Metcxmet 20506  Metcmet 20507  ballcbl 20508  Compccmp 21970  IIcii 23459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593  ax-addf 10594  ax-mulf 10595
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-iin 4898  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-er 8267  df-ec 8269  df-map 8386  df-ixp 8440  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-fsupp 8812  df-fi 8853  df-sup 8884  df-inf 8885  df-oi 8952  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-xneg 12486  df-xadd 12487  df-xmul 12488  df-ioo 12721  df-ico 12723  df-icc 12724  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-fl 13146  df-seq 13354  df-exp 13415  df-hash 13676  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-clim 14825  df-sum 15023  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-prds 16700  df-xrs 16754  df-qtop 16759  df-imas 16760  df-xps 16762  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-mulg 18204  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cld 21603  df-ntr 21604  df-cls 21605  df-cn 21811  df-cnp 21812  df-cmp 21971  df-tx 22146  df-hmeo 22339  df-xms 22906  df-ms 22907  df-tms 22908  df-ii 23461
This theorem is referenced by:  cvmliftlem15  32553
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