MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lebnumii 24905
Description: Specialize the Lebesgue number lemma lebnum 24903 to the closed unit interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lebnumii ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢)
Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝑢,𝑈

Proof of Theorem lebnumii
Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ii 24810 . . 3 II = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))
2 cnmet 24701 . . . . 5 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
3 unitssre 13509 . . . . . 6 (0[,]1) ⊆ ℝ
4 ax-resscn 11196 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
53, 4sstri 3989 . . . . 5 (0[,]1) ⊆ ℂ
6 metres2 24282 . . . . 5 (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (Met‘(0[,]1)))
72, 5, 6mp2an 691 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (Met‘(0[,]1))
87a1i 11 . . 3 ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ (Met‘(0[,]1)))
9 iicmp 24819 . . . 4 II ∈ Comp
109a1i 11 . . 3 ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → II ∈ Comp)
11 simpl 482 . . 3 ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → 𝑈 ⊆ II)
12 simpr 484 . . 3 ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → (0[,]1) = 𝑈)
131, 8, 10, 11, 12lebnum 24903 . 2 ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢)
14 rpreccl 13033 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑟) ∈ ℝ+)
1514adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑟) ∈ ℝ+)
1615rpred 13049 . . . . . 6 (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑟) ∈ ℝ)
1715rpge0d 13053 . . . . . 6 (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (1 / 𝑟))
18 flge0nn0 13818 . . . . . 6 (((1 / 𝑟) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑟)) → (⌊‘(1 / 𝑟)) ∈ ℕ0)
1916, 17, 18syl2anc 583 . . . . 5 (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (⌊‘(1 / 𝑟)) ∈ ℕ0)
20 nn0p1nn 12542 . . . . 5 ((⌊‘(1 / 𝑟)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℕ)
2119, 20syl 17 . . . 4 (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℕ)
22 elfznn 13563 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2322adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
2423nnrpd 13047 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ+)
2521adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℕ)
2625nnrpd 13047 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ+)
2724, 26rpdivcld 13066 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ ℝ+)
2827rpred 13049 . . . . . . . 8 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ ℝ)
2927rpge0d 13053 . . . . . . . 8 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 ≤ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
30 elfzle2 13538 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → 𝑘 ≤ ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))
3130adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ≤ ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))
3225nnred 12258 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ)
3332recnd 11273 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℂ)
3433mulridd 11262 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) · 1) = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))
3531, 34breqtrrd 5176 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ≤ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) · 1))
3623nnred 12258 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
37 1red 11246 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 1 ∈ ℝ)
3825nngt0d 12292 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))
39 ledivmul 12121 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤ 1 ↔ 𝑘 ≤ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) · 1)))
4036, 37, 32, 38, 39syl112anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤ 1 ↔ 𝑘 ≤ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) · 1)))
4135, 40mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤ 1)
42 elicc01 13476 . . . . . . . 8 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∧ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤ 1))
4328, 29, 41, 42syl3anbrc 1341 . . . . . . 7 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (0[,]1))
44 oveq1 7427 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) = ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟))
4544sseq1d 4011 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → ((𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 ↔ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢))
4645rexbidv 3175 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) → (∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢𝑈 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢))
4746rspcv 3605 . . . . . . 7 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (0[,]1) → (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢))
4843, 47syl 17 . . . . . 6 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢))
49 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
5049rpred 13049 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑟 ∈ ℝ)
5128, 50resubcld 11673 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) ∈ ℝ)
5251rexrd 11295 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) ∈ ℝ*)
5328, 50readdcld 11274 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟) ∈ ℝ)
5453rexrd 11295 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟) ∈ ℝ*)
55 nnm1nn0 12544 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
5623, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
5756nn0red 12564 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
5857, 25nndivred 12297 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ ℝ)
5936recnd 11273 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
6057recnd 11273 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ)
6125nnne0d 12293 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ≠ 0)
6259, 60, 33, 61divsubdird 12060 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 − (𝑘 − 1)) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) = ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))))
63 ax-1cn 11197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
64 nncan 11520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑘 − (𝑘 − 1)) = 1)
6559, 63, 64sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 − (𝑘 − 1)) = 1)
6665oveq1d 7435 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 − (𝑘 − 1)) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) = (1 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
6762, 66eqtr3d 2770 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) = (1 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
6849rprecred 13060 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (1 / 𝑟) ∈ ℝ)
69 flltp1 13798 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 𝑟) ∈ ℝ → (1 / 𝑟) < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (1 / 𝑟) < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))
71 rpgt0 13019 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑟)
7271ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 < 𝑟)
73 ltdiv23 12136 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑟) ∧ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((1 / 𝑟) < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ↔ (1 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) < 𝑟))
7437, 50, 72, 32, 38, 73syl122anc 1377 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((1 / 𝑟) < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ↔ (1 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) < 𝑟))
7570, 74mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (1 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) < 𝑟)
7667, 75eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) < 𝑟)
7728, 58, 50, 76ltsub23d 11850 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) < ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
7828, 49ltaddrpd 13082 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) < ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟))
79 iccssioo 13426 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) ∈ ℝ* ∧ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟) ∈ ℝ*) ∧ (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟) < ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∧ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) < ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟))) → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)))
8052, 54, 77, 78, 79syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)))
81 0red 11248 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 ∈ ℝ)
8256nn0ge0d 12566 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 ≤ (𝑘 − 1))
83 divge0 12114 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑘 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑘 − 1)) ∧ (((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 ≤ ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
8457, 82, 32, 38, 83syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 0 ≤ ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
85 iccss 13425 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∧ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ≤ 1)) → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ (0[,]1))
8681, 37, 84, 41, 85syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ (0[,]1))
8780, 86ssind 4233 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ ((((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)) ∩ (0[,]1)))
88 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
8988rexmet 24720 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
90 sseqin2 4215 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]1) ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ (0[,]1)) = (0[,]1))
913, 90mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ∩ (0[,]1)) = (0[,]1)
9243, 91eleqtrrdi 2840 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (ℝ ∩ (0[,]1)))
93 rpxr 13016 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
9493ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
95 xpss12 5693 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((0[,]1) ⊆ ℝ ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ) → ((0[,]1) × (0[,]1)) ⊆ (ℝ × ℝ))
963, 3, 95mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0[,]1) × (0[,]1)) ⊆ (ℝ × ℝ)
97 resabs1 6015 . . . . . . . . . . . . . 14 (((0[,]1) × (0[,]1)) ⊆ (ℝ × ℝ) → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))
9896, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))
9998eqcomi 2737 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1)))
10099blres 24350 . . . . . . . . . . 11 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ (ℝ ∩ (0[,]1)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) = (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ∩ (0[,]1)))
10189, 92, 94, 100mp3an2i 1463 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) = (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ∩ (0[,]1)))
10288bl2ioo 24721 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)))
10328, 50, 102syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)))
104103ineq1d 4211 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ∩ (0[,]1)) = ((((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)) ∩ (0[,]1)))
105101, 104eqtrd 2768 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) = ((((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) − 𝑟)(,)((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)) + 𝑟)) ∩ (0[,]1)))
10687, 105sseqtrrd 4021 . . . . . . . 8 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟))
107 sstr2 3987 . . . . . . . 8 ((((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) → (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
108106, 107syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
109108reximdv 3167 . . . . . 6 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (∃𝑢𝑈 ((𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
11048, 109syld 47 . . . . 5 ((((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) → (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
111110ralrimdva 3151 . . . 4 (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∀𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
112 oveq2 7428 . . . . . 6 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (1...𝑛) = (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
113 oveq2 7428 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → ((𝑘 − 1) / 𝑛) = ((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
114 oveq2 7428 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (𝑘 / 𝑛) = (𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1)))
115113, 114oveq12d 7438 . . . . . . . 8 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) = (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))))
116115sseq1d 4011 . . . . . . 7 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → ((((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢 ↔ (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
117116rexbidv 3175 . . . . . 6 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
118112, 117raleqbidv 3339 . . . . 5 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) → (∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢))
119118rspcev 3609 . . . 4 ((((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1) ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (1...((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))[,](𝑘 / ((⌊‘(1 / 𝑟)) + 1))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢)
12021, 111, 119syl6an 683 . . 3 (((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢))
121120rexlimdva 3152 . 2 ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → (∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (0[,]1)∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ ((0[,]1) × (0[,]1))))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢))
12213, 121mpd 15 1 ((𝑈 ⊆ II ∧ (0[,]1) = 𝑈) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)∃𝑢𝑈 (((𝑘 − 1) / 𝑛)[,](𝑘 / 𝑛)) ⊆ 𝑢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3058  wrex 3067  cin 3946  wss 3947   cuni 4908   class class class wbr 5148   × cxp 5676  cres 5680  ccom 5682  cfv 6548  (class class class)co 7420  cc 11137  cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   · cmul 11144  *cxr 11278   < clt 11279  cle 11280  cmin 11475   / cdiv 11902  cn 12243  0cn0 12503  +crp 13007  (,)cioo 13357  [,]cicc 13360  ...cfz 13517  cfl 13788  abscabs 15214  ∞Metcxmet 21264  Metcmet 21265  ballcbl 21266  Compccmp 23303  IIcii 24808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-ec 8727  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-sum 15666  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-cmp 23304  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-ii 24810
This theorem is referenced by:  cvmliftlem15  34908
  Copyright terms: Public domain W3C validator