MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsmopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsmopn 24847
Description: The metric on the extended reals generates a topology, but this does not match the order topology on *; for example {+∞} is open in the metric topology, but not the order topology. However, the metric topology is finer than the order topology, meaning that all open intervals are open in the metric topology. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrsxmet.1 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
xrsmopn.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
xrsmopn (ordTop‘ ≤ ) ⊆ 𝐽

Proof of Theorem xrsmopn
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elssuni 4941 . . . 4 (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) → 𝑥 (ordTop‘ ≤ ))
2 letopuni 23230 . . . 4 * = (ordTop‘ ≤ )
31, 2sseqtrrdi 4046 . . 3 (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) → 𝑥 ⊆ ℝ*)
4 eqid 2734 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
54rexmet 24826 . . . . . . 7 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
6 letop 23229 . . . . . . . . 9 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
7 reex 11243 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
8 elrestr 17474 . . . . . . . . 9 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ℝ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑥 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
96, 7, 8mp3an12 1450 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) → (𝑥 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
109ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
11 elin 3978 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ ℝ) ↔ (𝑦𝑥𝑦 ∈ ℝ))
1211biimpri 228 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑥𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ ℝ))
1312adantll 714 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ ℝ))
14 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
1514xrtgioo 24841 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
16 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
174, 16tgioo 24831 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
1815, 17eqtr3i 2764 . . . . . . . 8 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
1918mopni2 24521 . . . . . . 7 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (𝑥 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ ℝ)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ))
205, 10, 13, 19mp3an2i 1465 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ))
21 xrsxmet.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
2221xrsxmet 24844 . . . . . . . . . . 11 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*)
23 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
24 ressxr 11302 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℝ*
25 sseqin2 4230 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ ⊆ ℝ* ↔ (ℝ* ∩ ℝ) = ℝ)
2624, 25mpbi 230 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ* ∩ ℝ) = ℝ
2723, 26eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (ℝ* ∩ ℝ))
28 rpxr 13041 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
2928adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ*)
3021xrsdsre 24845 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
3130eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))
3231blres 24456 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∩ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∩ ℝ))
3322, 27, 29, 32mp3an2i 1465 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∩ ℝ))
3421xrsblre 24846 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ ℝ)
3528, 34sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ ℝ)
3635adantll 714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ ℝ)
37 dfss2 3980 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ ℝ ↔ ((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∩ ℝ) = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟))
3836, 37sylib 218 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∩ ℝ) = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟))
3933, 38eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟))
4039sseq1d 4026 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ) ↔ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ)))
41 inss1 4244 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∩ ℝ) ⊆ 𝑥
42 sstr 4003 . . . . . . . . 9 (((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ) ∧ (𝑥 ∩ ℝ) ⊆ 𝑥) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
4341, 42mpan2 691 . . . . . . . 8 ((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
4440, 43biimtrdi 253 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥))
4544reximdva 3165 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥))
4620, 45mpd 15 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
47 1rp 13035 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
483sselda 3994 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ*)
4948adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ*)
50 rpxr 13041 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
5147, 50mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ*)
52 elbl 24413 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)))
5322, 49, 51, 52mp3an2i 1465 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)))
54 simp2 1136 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → ¬ 𝑦 ∈ ℝ)
55483ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ*)
57 simpl3l 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*)
58 xmetcl 24356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
5922, 56, 57, 58mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
60 1red 11259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → 1 ∈ ℝ)
61 xmetge0 24369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → 0 ≤ (𝑦𝐷𝑧))
6222, 56, 57, 61mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → 0 ≤ (𝑦𝐷𝑧))
63 simpl3r 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑦𝐷𝑧) < 1)
64 1xr 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ*
65 xrltle 13187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑦𝐷𝑧) < 1 → (𝑦𝐷𝑧) ≤ 1))
6659, 64, 65sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → ((𝑦𝐷𝑧) < 1 → (𝑦𝐷𝑧) ≤ 1))
6763, 66mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑦𝐷𝑧) ≤ 1)
68 xrrege0 13212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝑦𝐷𝑧) ∧ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 1)) → (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ)
6959, 60, 62, 67, 68syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ)
70 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦𝑧)
7121xrsdsreclb 21448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*𝑦𝑧) → ((𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)))
7256, 57, 70, 71syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → ((𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)))
7369, 72mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ))
7473simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ)
7574ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → (𝑦𝑧𝑦 ∈ ℝ))
7675necon1bd 2955 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → (¬ 𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 = 𝑧))
77 simp1r 1197 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → 𝑦𝑥)
78 elequ1 2112 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝑥𝑧𝑥))
7977, 78syl5ibcom 245 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → (𝑦 = 𝑧𝑧𝑥))
8076, 79syld 47 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → (¬ 𝑦 ∈ ℝ → 𝑧𝑥))
8154, 80mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → 𝑧𝑥)
82813expia 1120 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1) → 𝑧𝑥))
8353, 82sylbid 240 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)1) → 𝑧𝑥))
8483ssrdv 4000 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑥)
85 oveq2 7438 . . . . . . . 8 (𝑟 = 1 → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = (𝑦(ball‘𝐷)1))
8685sseq1d 4026 . . . . . . 7 (𝑟 = 1 → ((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥 ↔ (𝑦(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑥))
8786rspcev 3621 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
8847, 84, 87sylancr 587 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
8946, 88pm2.61dan 813 . . . 4 ((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
9089ralrimiva 3143 . . 3 (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) → ∀𝑦𝑥𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
91 xrsmopn.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
9291elmopn2 24470 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) → (𝑥𝐽 ↔ (𝑥 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑦𝑥𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)))
9322, 92ax-mp 5 . . 3 (𝑥𝐽 ↔ (𝑥 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑦𝑥𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥))
943, 90, 93sylanbrc 583 . 2 (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) → 𝑥𝐽)
9594ssriv 3998 1 (ordTop‘ ≤ ) ⊆ 𝐽
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477  cin 3961  wss 3962   cuni 4911   class class class wbr 5147   × cxp 5686  ran crn 5689  cres 5690  ccom 5692  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  +crp 13031  (,)cioo 13383  abscabs 15269  distcds 17306  t crest 17466  topGenctg 17483  ordTopcordt 17545  *𝑠cxrs 17546  ∞Metcxmet 21366  ballcbl 21368  MetOpencmopn 21371  Topctop 22914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-ec 8745  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-ordt 17547  df-xrs 17548  df-ps 18623  df-tsr 18624  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-top 22915  df-topon 22932  df-bases 22968
This theorem is referenced by:  xmetdcn  24873
  Copyright terms: Public domain W3C validator