MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsmopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsmopn 22894
Description: The metric on the extended reals generates a topology, but this does not match the order topology on *; for example {+∞} is open in the metric topology, but not the order topology. However, the metric topology is finer than the order topology, meaning that all open intervals are open in the metric topology. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrsxmet.1 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
xrsmopn.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
xrsmopn (ordTop‘ ≤ ) ⊆ 𝐽

Proof of Theorem xrsmopn
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elssuni 4625 . . . 4 (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) → 𝑥 (ordTop‘ ≤ ))
2 letopuni 21291 . . . 4 * = (ordTop‘ ≤ )
31, 2syl6sseqr 3812 . . 3 (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) → 𝑥 ⊆ ℝ*)
4 eqid 2765 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
54rexmet 22873 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
65a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ))
7 letop 21290 . . . . . . . . 9 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
8 reex 10280 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
9 elrestr 16357 . . . . . . . . 9 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ℝ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑥 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
107, 8, 9mp3an12 1575 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) → (𝑥 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
1110ad2antrr 717 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
12 elin 3958 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ ℝ) ↔ (𝑦𝑥𝑦 ∈ ℝ))
1312biimpri 219 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑥𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ ℝ))
1413adantll 705 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ ℝ))
15 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
1615xrtgioo 22888 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
17 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
184, 17tgioo 22878 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
1916, 18eqtr3i 2789 . . . . . . . 8 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
2019mopni2 22577 . . . . . . 7 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (𝑥 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ ℝ)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ))
216, 11, 14, 20syl3anc 1490 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ))
22 xrsxmet.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
2322xrsxmet 22891 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*)
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*))
25 simplr 785 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
26 ressxr 10337 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℝ*
27 sseqin2 3979 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ ⊆ ℝ* ↔ (ℝ* ∩ ℝ) = ℝ)
2826, 27mpbi 221 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ* ∩ ℝ) = ℝ
2925, 28syl6eleqr 2855 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (ℝ* ∩ ℝ))
30 rpxr 12039 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
3130adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ*)
3222xrsdsre 22892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
3332eqcomi 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))
3433blres 22515 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∩ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∩ ℝ))
3524, 29, 31, 34syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∩ ℝ))
3622xrsblre 22893 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ ℝ)
3730, 36sylan2 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ ℝ)
3837adantll 705 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ ℝ)
39 df-ss 3746 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ ℝ ↔ ((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∩ ℝ) = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟))
4038, 39sylib 209 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∩ ℝ) = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟))
4135, 40eqtrd 2799 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟))
4241sseq1d 3792 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ) ↔ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ)))
43 inss1 3992 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∩ ℝ) ⊆ 𝑥
44 sstr 3769 . . . . . . . . 9 (((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ) ∧ (𝑥 ∩ ℝ) ⊆ 𝑥) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
4543, 44mpan2 682 . . . . . . . 8 ((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
4642, 45syl6bi 244 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥))
4746reximdva 3163 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥))
4821, 47mpd 15 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
49 1rp 12032 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
5023a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*))
513sselda 3761 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ*)
5251adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ*)
53 rpxr 12039 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
5449, 53mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ*)
55 elbl 22472 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)))
5650, 52, 54, 55syl3anc 1490 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)))
57 simp2 1167 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → ¬ 𝑦 ∈ ℝ)
5823a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*))
59513ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
6059adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ*)
61 simpl3l 1301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*)
62 xmetcl 22415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
6358, 60, 61, 62syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
64 1red 10294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → 1 ∈ ℝ)
65 xmetge0 22428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → 0 ≤ (𝑦𝐷𝑧))
6658, 60, 61, 65syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → 0 ≤ (𝑦𝐷𝑧))
67 simpl3r 1303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑦𝐷𝑧) < 1)
6849, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ*
69 xrltle 12182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑦𝐷𝑧) < 1 → (𝑦𝐷𝑧) ≤ 1))
7063, 68, 69sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → ((𝑦𝐷𝑧) < 1 → (𝑦𝐷𝑧) ≤ 1))
7167, 70mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑦𝐷𝑧) ≤ 1)
72 xrrege0 12207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝑦𝐷𝑧) ∧ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 1)) → (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ)
7363, 64, 66, 71, 72syl22anc 867 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ)
74 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦𝑧)
7522xrsdsreclb 20066 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*𝑦𝑧) → ((𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)))
7660, 61, 74, 75syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → ((𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)))
7773, 76mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ))
7877simpld 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ)
7978ex 401 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → (𝑦𝑧𝑦 ∈ ℝ))
8079necon1bd 2955 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → (¬ 𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 = 𝑧))
81 simp1r 1255 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → 𝑦𝑥)
82 elequ1 2162 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝑥𝑧𝑥))
8381, 82syl5ibcom 236 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → (𝑦 = 𝑧𝑧𝑥))
8480, 83syld 47 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → (¬ 𝑦 ∈ ℝ → 𝑧𝑥))
8557, 84mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → 𝑧𝑥)
86853expia 1150 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1) → 𝑧𝑥))
8756, 86sylbid 231 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)1) → 𝑧𝑥))
8887ssrdv 3767 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑥)
89 oveq2 6850 . . . . . . . 8 (𝑟 = 1 → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = (𝑦(ball‘𝐷)1))
9089sseq1d 3792 . . . . . . 7 (𝑟 = 1 → ((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥 ↔ (𝑦(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑥))
9190rspcev 3461 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
9249, 88, 91sylancr 581 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
9348, 92pm2.61dan 847 . . . 4 ((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
9493ralrimiva 3113 . . 3 (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) → ∀𝑦𝑥𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
95 xrsmopn.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
9695elmopn2 22529 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) → (𝑥𝐽 ↔ (𝑥 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑦𝑥𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)))
9723, 96ax-mp 5 . . 3 (𝑥𝐽 ↔ (𝑥 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑦𝑥𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥))
983, 94, 97sylanbrc 578 . 2 (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) → 𝑥𝐽)
9998ssriv 3765 1 (ordTop‘ ≤ ) ⊆ 𝐽
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  cin 3731  wss 3732   cuni 4594   class class class wbr 4809   × cxp 5275  ran crn 5278  cres 5279  ccom 5281  cfv 6068  (class class class)co 6842  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  +crp 12028  (,)cioo 12377  abscabs 14261  distcds 16225  t crest 16349  topGenctg 16366  ordTopcordt 16427  *𝑠cxrs 16428  ∞Metcxmet 20004  ballcbl 20006  MetOpencmopn 20009  Topctop 20977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-ec 7949  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-rest 16351  df-topgen 16372  df-ordt 16429  df-xrs 16430  df-ps 17468  df-tsr 17469  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-top 20978  df-topon 20995  df-bases 21030
This theorem is referenced by:  xmetdcn  22920
  Copyright terms: Public domain W3C validator