MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsmopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsmopn 24834
Description: The metric on the extended reals generates a topology, but this does not match the order topology on *; for example {+∞} is open in the metric topology, but not the order topology. However, the metric topology is finer than the order topology, meaning that all open intervals are open in the metric topology. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrsxmet.1 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
xrsmopn.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
xrsmopn (ordTop‘ ≤ ) ⊆ 𝐽

Proof of Theorem xrsmopn
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elssuni 4937 . . . 4 (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) → 𝑥 (ordTop‘ ≤ ))
2 letopuni 23215 . . . 4 * = (ordTop‘ ≤ )
31, 2sseqtrrdi 4025 . . 3 (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) → 𝑥 ⊆ ℝ*)
4 eqid 2737 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
54rexmet 24812 . . . . . . 7 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
6 letop 23214 . . . . . . . . 9 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
7 reex 11246 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
8 elrestr 17473 . . . . . . . . 9 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ℝ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑥 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
96, 7, 8mp3an12 1453 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) → (𝑥 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
109ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
11 elin 3967 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ ℝ) ↔ (𝑦𝑥𝑦 ∈ ℝ))
1211biimpri 228 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑥𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ ℝ))
1312adantll 714 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ ℝ))
14 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
1514xrtgioo 24828 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
16 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
174, 16tgioo 24817 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
1815, 17eqtr3i 2767 . . . . . . . 8 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
1918mopni2 24506 . . . . . . 7 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (𝑥 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ ℝ)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ))
205, 10, 13, 19mp3an2i 1468 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ))
21 xrsxmet.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
2221xrsxmet 24831 . . . . . . . . . . 11 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*)
23 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
24 ressxr 11305 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℝ*
25 sseqin2 4223 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ ⊆ ℝ* ↔ (ℝ* ∩ ℝ) = ℝ)
2624, 25mpbi 230 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ* ∩ ℝ) = ℝ
2723, 26eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (ℝ* ∩ ℝ))
28 rpxr 13044 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
2928adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ*)
3021xrsdsre 24832 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
3130eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))
3231blres 24441 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∩ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∩ ℝ))
3322, 27, 29, 32mp3an2i 1468 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∩ ℝ))
3421xrsblre 24833 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ ℝ)
3528, 34sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ ℝ)
3635adantll 714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ ℝ)
37 dfss2 3969 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ ℝ ↔ ((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∩ ℝ) = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟))
3836, 37sylib 218 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∩ ℝ) = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟))
3933, 38eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟))
4039sseq1d 4015 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ) ↔ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ)))
41 inss1 4237 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∩ ℝ) ⊆ 𝑥
42 sstr 3992 . . . . . . . . 9 (((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ) ∧ (𝑥 ∩ ℝ) ⊆ 𝑥) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
4341, 42mpan2 691 . . . . . . . 8 ((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
4440, 43biimtrdi 253 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥))
4544reximdva 3168 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥))
4620, 45mpd 15 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
47 1rp 13038 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
483sselda 3983 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ*)
4948adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ*)
50 rpxr 13044 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
5147, 50mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ*)
52 elbl 24398 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)))
5322, 49, 51, 52mp3an2i 1468 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)))
54 simp2 1138 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → ¬ 𝑦 ∈ ℝ)
55483ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ*)
57 simpl3l 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*)
58 xmetcl 24341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
5922, 56, 57, 58mp3an2i 1468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
60 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → 1 ∈ ℝ)
61 xmetge0 24354 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → 0 ≤ (𝑦𝐷𝑧))
6222, 56, 57, 61mp3an2i 1468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → 0 ≤ (𝑦𝐷𝑧))
63 simpl3r 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑦𝐷𝑧) < 1)
64 1xr 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ*
65 xrltle 13191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑦𝐷𝑧) < 1 → (𝑦𝐷𝑧) ≤ 1))
6659, 64, 65sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → ((𝑦𝐷𝑧) < 1 → (𝑦𝐷𝑧) ≤ 1))
6763, 66mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑦𝐷𝑧) ≤ 1)
68 xrrege0 13216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝑦𝐷𝑧) ∧ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 1)) → (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ)
6959, 60, 62, 67, 68syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ)
70 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦𝑧)
7121xrsdsreclb 21431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*𝑦𝑧) → ((𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)))
7256, 57, 70, 71syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → ((𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)))
7369, 72mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ))
7473simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ)
7574ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → (𝑦𝑧𝑦 ∈ ℝ))
7675necon1bd 2958 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → (¬ 𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 = 𝑧))
77 simp1r 1199 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → 𝑦𝑥)
78 elequ1 2115 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝑥𝑧𝑥))
7977, 78syl5ibcom 245 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → (𝑦 = 𝑧𝑧𝑥))
8076, 79syld 47 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → (¬ 𝑦 ∈ ℝ → 𝑧𝑥))
8154, 80mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → 𝑧𝑥)
82813expia 1122 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1) → 𝑧𝑥))
8353, 82sylbid 240 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)1) → 𝑧𝑥))
8483ssrdv 3989 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑥)
85 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑟 = 1 → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = (𝑦(ball‘𝐷)1))
8685sseq1d 4015 . . . . . . 7 (𝑟 = 1 → ((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥 ↔ (𝑦(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑥))
8786rspcev 3622 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
8847, 84, 87sylancr 587 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
8946, 88pm2.61dan 813 . . . 4 ((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
9089ralrimiva 3146 . . 3 (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) → ∀𝑦𝑥𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
91 xrsmopn.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
9291elmopn2 24455 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) → (𝑥𝐽 ↔ (𝑥 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑦𝑥𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)))
9322, 92ax-mp 5 . . 3 (𝑥𝐽 ↔ (𝑥 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑦𝑥𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥))
943, 90, 93sylanbrc 583 . 2 (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) → 𝑥𝐽)
9594ssriv 3987 1 (ordTop‘ ≤ ) ⊆ 𝐽
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951   cuni 4907   class class class wbr 5143   × cxp 5683  ran crn 5686  cres 5687  ccom 5689  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  +crp 13034  (,)cioo 13387  abscabs 15273  distcds 17306  t crest 17465  topGenctg 17482  ordTopcordt 17544  *𝑠cxrs 17545  ∞Metcxmet 21349  ballcbl 21351  MetOpencmopn 21354  Topctop 22899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-ec 8747  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-xrs 17547  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953
This theorem is referenced by:  xmetdcn  24860
  Copyright terms: Public domain W3C validator