Theorem iooabslt 44198

Description: An upper bound for the distance from the center of an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iooabslt.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iooabslt.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
iooabslt.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
iooabslt	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) < 𝐵)

Proof of Theorem iooabslt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooabslt.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11238	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		iooabslt.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))
4		elioore 13350	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11238	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
8	7	cnmetdval 24278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝐴 − 𝐶)))
9	2, 6, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝐴 − 𝐶)))
10		iooabslt.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
12	11	bl2ioo 24299	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵) = ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))
13	1, 10, 12	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵) = ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))
14	3, 13	eleqtrrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵))
15		cnxmet 24280	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
17	2, 1	elind 4193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∩ ℝ))
18	10	rexrd 11260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
19	11	blres 23928	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ (ℂ ∩ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵) = ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∩ ℝ))
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵) = ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∩ ℝ))
21	14, 20	eleqtrd 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∩ ℝ))
22		elin 3963	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∩ ℝ) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
23	21, 22	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
24	23	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵))
25		elbl 23885	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝐶) < 𝐵)))
26	16, 2, 18, 25	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝐶) < 𝐵)))
27	24, 26	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝐶) < 𝐵))
28	27	simprd 496	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(abs ∘ − )𝐶) < 𝐵)
29	9, 28	eqbrtrrd 5171	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3946   class class class wbr 5147   × cxp 5673   ↾ cres 5677   ∘ ccom 5679  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  ℝcr 11105   + caddc 11109  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   − cmin 11440  (,)cioo 13320  abscabs 15177  ∞Metcxmet 20921  ballcbl 20923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ioo 13324  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931

This theorem is referenced by:  lptre2pt  44342