Theorem iooabslt 42547

Description: An upper bound for the distance from the center of an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iooabslt.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iooabslt.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
iooabslt.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
iooabslt	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) < 𝐵)

Proof of Theorem iooabslt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooabslt.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 10720	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		iooabslt.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))
4		elioore 12822	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	recnd 10720	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
8	7	cnmetdval 23486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝐴 − 𝐶)))
9	2, 6, 8	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝐴 − 𝐶)))
10		iooabslt.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11		eqid 2758	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
12	11	bl2ioo 23507	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵) = ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))
13	1, 10, 12	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵) = ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))
14	3, 13	eleqtrrd 2855	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵))
15		cnxmet 23488	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
17	2, 1	elind 4101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∩ ℝ))
18	10	rexrd 10742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
19	11	blres 23147	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ (ℂ ∩ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵) = ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∩ ℝ))
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵) = ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∩ ℝ))
21	14, 20	eleqtrd 2854	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∩ ℝ))
22		elin 3876	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∩ ℝ) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
23	21, 22	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
24	23	simpld 498	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵))
25		elbl 23104	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝐶) < 𝐵)))
26	16, 2, 18, 25	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝐶) < 𝐵)))
27	24, 26	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝐶) < 𝐵))
28	27	simprd 499	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(abs ∘ − )𝐶) < 𝐵)
29	9, 28	eqbrtrrd 5060	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3859   class class class wbr 5036   × cxp 5526   ↾ cres 5530   ∘ ccom 5532  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℂcc 10586  ℝcr 10587   + caddc 10591  ℝ^*cxr 10725   < clt 10726   − cmin 10921  (,)cioo 12792  abscabs 14654  ∞Metcxmet 20165  ballcbl 20167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-sup 8952  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-rp 12444  df-xadd 12562  df-ioo 12796  df-seq 13432  df-exp 13493  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-psmet 20172  df-xmet 20173  df-met 20174  df-bl 20175

This theorem is referenced by:  lptre2pt  42693