Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iooabslt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooabslt 43744
Description: An upper bound for the distance from the center of an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iooabslt.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
iooabslt.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
iooabslt.3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)(𝐴 + 𝐡)))
Assertion
Ref Expression
iooabslt (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐢)) < 𝐡)

Proof of Theorem iooabslt
StepHypRef Expression
1 iooabslt.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
21recnd 11184 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3 iooabslt.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)(𝐴 + 𝐡)))
4 elioore 13295 . . . . 5 (𝐢 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)(𝐴 + 𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
65recnd 11184 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
7 eqid 2737 . . . 4 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
87cnmetdval 24137 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝐴(abs ∘ βˆ’ )𝐢) = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐢)))
92, 6, 8syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(abs ∘ βˆ’ )𝐢) = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐢)))
10 iooabslt.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
11 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
1211bl2ioo 24158 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝐡) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)(𝐴 + 𝐡)))
131, 10, 12syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝐡) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)(𝐴 + 𝐡)))
143, 13eleqtrrd 2841 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝐡))
15 cnxmet 24139 . . . . . . . . 9 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
172, 1elind 4155 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (β„‚ ∩ ℝ))
1810rexrd 11206 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
1911blres 23787 . . . . . . . 8 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ ∩ ℝ) ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝐡) = ((𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝐡) ∩ ℝ))
2016, 17, 18, 19syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝐡) = ((𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝐡) ∩ ℝ))
2114, 20eleqtrd 2840 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝐡) ∩ ℝ))
22 elin 3927 . . . . . 6 (𝐢 ∈ ((𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝐡) ∩ ℝ) ↔ (𝐢 ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝐡) ∧ 𝐢 ∈ ℝ))
2321, 22sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝐡) ∧ 𝐢 ∈ ℝ))
2423simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝐡))
25 elbl 23744 . . . . 5 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐢 ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝐡) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐴(abs ∘ βˆ’ )𝐢) < 𝐡)))
2616, 2, 18, 25syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝐡) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐴(abs ∘ βˆ’ )𝐢) < 𝐡)))
2724, 26mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐴(abs ∘ βˆ’ )𝐢) < 𝐡))
2827simprd 497 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(abs ∘ βˆ’ )𝐢) < 𝐡)
299, 28eqbrtrrd 5130 1 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐢)) < 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3910   class class class wbr 5106   Γ— cxp 5632   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11050  β„cr 11051   + caddc 11055  β„*cxr 11189   < clt 11190   βˆ’ cmin 11386  (,)cioo 13265  abscabs 15120  βˆžMetcxmet 20784  ballcbl 20786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-xadd 13035  df-ioo 13269  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794
This theorem is referenced by:  lptre2pt  43888
  Copyright terms: Public domain W3C validator