Theorem iooabslt 45929

Description: An upper bound for the distance from the center of an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iooabslt.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iooabslt.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
iooabslt.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
iooabslt	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) < 𝐵)

Proof of Theorem iooabslt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooabslt.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11173	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		iooabslt.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))
4		elioore 13328	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11173	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
8	7	cnmetdval 24735	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝐴 − 𝐶)))
9	2, 6, 8	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝐴 − 𝐶)))
10		iooabslt.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
12	11	bl2ioo 24757	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵) = ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))
13	1, 10, 12	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵) = ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))
14	3, 13	eleqtrrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵))
15		cnxmet 24737	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
17	2, 1	elind 4140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∩ ℝ))
18	10	rexrd 11195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
19	11	blres 24396	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ (ℂ ∩ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵) = ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∩ ℝ))
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵) = ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∩ ℝ))
21	14, 20	eleqtrd 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∩ ℝ))
22		elin 3905	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∩ ℝ) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
23	21, 22	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
24	23	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵))
25		elbl 24353	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝐶) < 𝐵)))
26	16, 2, 18, 25	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝐶) < 𝐵)))
27	24, 26	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝐶) < 𝐵))
28	27	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(abs ∘ − )𝐶) < 𝐵)
29	9, 28	eqbrtrrd 5109	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3888   class class class wbr 5085   × cxp 5629   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037   + caddc 11041  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   − cmin 11377  (,)cioo 13298  abscabs 15196  ∞Metcxmet 21337  ballcbl 21339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-xadd 13064  df-ioo 13302  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347

This theorem is referenced by:  lptre2pt  46068