Theorem iooabslt 44931

Description: An upper bound for the distance from the center of an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iooabslt.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iooabslt.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
iooabslt.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
iooabslt	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) < 𝐵)

Proof of Theorem iooabslt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooabslt.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11282	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		iooabslt.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))
4		elioore 13396	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11282	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
8	7	cnmetdval 24715	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝐴 − 𝐶)))
9	2, 6, 8	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝐴 − 𝐶)))
10		iooabslt.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11		eqid 2728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
12	11	bl2ioo 24736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵) = ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))
13	1, 10, 12	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵) = ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))
14	3, 13	eleqtrrd 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵))
15		cnxmet 24717	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
17	2, 1	elind 4196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∩ ℝ))
18	10	rexrd 11304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
19	11	blres 24365	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ (ℂ ∩ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵) = ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∩ ℝ))
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵) = ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∩ ℝ))
21	14, 20	eleqtrd 2831	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∩ ℝ))
22		elin 3965	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∩ ℝ) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
23	21, 22	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
24	23	simpld 493	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵))
25		elbl 24322	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝐶) < 𝐵)))
26	16, 2, 18, 25	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝐶) < 𝐵)))
27	24, 26	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝐶) < 𝐵))
28	27	simprd 494	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(abs ∘ − )𝐶) < 𝐵)
29	9, 28	eqbrtrrd 5176	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3948   class class class wbr 5152   × cxp 5680   ↾ cres 5684   ∘ ccom 5686  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℂcc 11146  ℝcr 11147   + caddc 11151  ℝ^*cxr 11287   < clt 11288   − cmin 11484  (,)cioo 13366  abscabs 15223  ∞Metcxmet 21278  ballcbl 21280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-sup 9475  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-xadd 13135  df-ioo 13370  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288

This theorem is referenced by:  lptre2pt  45075