Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iooabslt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooabslt 44784
Description: An upper bound for the distance from the center of an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iooabslt.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
iooabslt.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
iooabslt.3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)(𝐴 + 𝐡)))
Assertion
Ref Expression
iooabslt (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐢)) < 𝐡)

Proof of Theorem iooabslt
StepHypRef Expression
1 iooabslt.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
21recnd 11246 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3 iooabslt.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)(𝐴 + 𝐡)))
4 elioore 13360 . . . . 5 (𝐢 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)(𝐴 + 𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
65recnd 11246 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
7 eqid 2726 . . . 4 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
87cnmetdval 24642 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝐴(abs ∘ βˆ’ )𝐢) = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐢)))
92, 6, 8syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(abs ∘ βˆ’ )𝐢) = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐢)))
10 iooabslt.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
11 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
1211bl2ioo 24663 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝐡) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)(𝐴 + 𝐡)))
131, 10, 12syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝐡) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)(𝐴 + 𝐡)))
143, 13eleqtrrd 2830 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝐡))
15 cnxmet 24644 . . . . . . . . 9 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
172, 1elind 4189 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (β„‚ ∩ ℝ))
1810rexrd 11268 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
1911blres 24292 . . . . . . . 8 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 ∈ (β„‚ ∩ ℝ) ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝐡) = ((𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝐡) ∩ ℝ))
2016, 17, 18, 19syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝐡) = ((𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝐡) ∩ ℝ))
2114, 20eleqtrd 2829 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝐡) ∩ ℝ))
22 elin 3959 . . . . . 6 (𝐢 ∈ ((𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝐡) ∩ ℝ) ↔ (𝐢 ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝐡) ∧ 𝐢 ∈ ℝ))
2321, 22sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝐡) ∧ 𝐢 ∈ ℝ))
2423simpld 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝐡))
25 elbl 24249 . . . . 5 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐢 ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝐡) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐴(abs ∘ βˆ’ )𝐢) < 𝐡)))
2616, 2, 18, 25syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝐡) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐴(abs ∘ βˆ’ )𝐢) < 𝐡)))
2724, 26mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐴(abs ∘ βˆ’ )𝐢) < 𝐡))
2827simprd 495 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(abs ∘ βˆ’ )𝐢) < 𝐡)
299, 28eqbrtrrd 5165 1 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐢)) < 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111   + caddc 11115  β„*cxr 11251   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  (,)cioo 13330  abscabs 15187  βˆžMetcxmet 21225  ballcbl 21227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-xadd 13099  df-ioo 13334  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235
This theorem is referenced by:  lptre2pt  44928
  Copyright terms: Public domain W3C validator