Theorem hhcms 30721

Description: The Hilbert space induced metric determines a complete metric space. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhcms.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhcms.2	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hhcms	⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘ ℋ)

Proof of Theorem hhcms

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. 2 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2		hhcms.1	. . 3 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
3		hhcms.2	. . 3 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
4	2, 3	hhmet 30692	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘ ℋ)
5	2, 3	hhcau 30716	. . . . . 6 ⊢ Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
6	5	eleq2i 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy ↔ 𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)))
7		elin 3965	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
8		ax-hilex 30517	. . . . . . . 8 ⊢ ℋ ∈ V
9		nnex 12224	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
10	8, 9	elmap 8869	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
11	10	anbi2i 621	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ))
12	7, 11	bitri 274	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ))
13	6, 12	bitri 274	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ))
14		ax-hcompl 30720	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
15	13, 14	sylbir 234	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
16	2, 3, 1	hhlm 30717	. . . . . . 7 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
17	16	breqi 5155	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝑓((⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥)
18		vex 3476	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
19	18	brresi 5991	. . . . . 6 ⊢ (𝑓((⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥 ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))𝑥))
20	17, 19	bitri 274	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))𝑥))
21		vex 3476	. . . . . 6 ⊢ 𝑓 ∈ V
22	21, 18	breldm 5909	. . . . 5 ⊢ (𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))𝑥 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
23	20, 22	simplbiim 503	. . . 4 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
24	23	rexlimivw 3149	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
25	15, 24	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
26	1, 4, 25	iscmet3i 25062	1 ⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘ ℋ)

Syntax hints:   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∃wrex 3068   ∩ cin 3948  ⟨cop 4635   class class class wbr 5149  dom cdm 5677   ↾ cres 5679  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8824  ℕcn 12218  MetOpencmopn 21136  ⇝_𝑡clm 22952  Cauccau 25003  CMetccmet 25004  IndMetcims 30109   ℋchba 30437   +_ℎ cva 30438   ·_ℎ csm 30439  norm_ℎcno 30441  Cauchyccauold 30444   ⇝_𝑣 chli 30445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cc 10434  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194  ax-hilex 30517  ax-hfvadd 30518  ax-hvcom 30519  ax-hvass 30520  ax-hv0cl 30521  ax-hvaddid 30522  ax-hfvmul 30523  ax-hvmulid 30524  ax-hvmulass 30525  ax-hvdistr1 30526  ax-hvdistr2 30527  ax-hvmul0 30528  ax-hfi 30597  ax-his1 30600  ax-his2 30601  ax-his3 30602  ax-his4 30603  ax-hcompl 30720

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-acn 9941  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14034  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-rest 17374  df-topgen 17395  df-psmet 21138  df-xmet 21139  df-met 21140  df-bl 21141  df-mopn 21142  df-fbas 21143  df-fg 21144  df-top 22618  df-topon 22635  df-bases 22671  df-ntr 22746  df-nei 22824  df-lm 22955  df-fil 23572  df-fm 23664  df-flim 23665  df-flf 23666  df-cfil 25005  df-cau 25006  df-cmet 25007  df-grpo 30011  df-gid 30012  df-ginv 30013  df-gdiv 30014  df-ablo 30063  df-vc 30077  df-nv 30110  df-va 30113  df-ba 30114  df-sm 30115  df-0v 30116  df-vs 30117  df-nmcv 30118  df-ims 30119  df-hnorm 30486  df-hvsub 30489  df-hlim 30490  df-hcau 30491

This theorem is referenced by:  hhhl  30722  hilcms  30723