Theorem hhcms 31835

Description: The Hilbert space induced metric determines a complete metric space. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhcms.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhcms.2	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hhcms	⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘ ℋ)

Proof of Theorem hhcms

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2		hhcms.1	. . 3 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
3		hhcms.2	. . 3 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
4	2, 3	hhmet 31806	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘ ℋ)
5	2, 3	hhcau 31830	. . . . . 6 ⊢ Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
6	5	eleq2i 2856	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy ↔ 𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)))
7		elin 4096	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
8		ax-hilex 31631	. . . . . . . 8 ⊢ ℋ ∈ V
9		nnex 12368	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
10	8, 9	elmap 8927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
11	10	anbi2i 635	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ))
12	7, 11	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ))
13	6, 12	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ))
14		ax-hcompl 31834	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
15	13, 14	sylbir 238	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
16	2, 3, 1	hhlm 31831	. . . . . . 7 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
17	16	breqi 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝑓((⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥)
18		vex 3458	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
19	18	brresi 5990	. . . . . 6 ⊢ (𝑓((⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥 ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))𝑥))
20	17, 19	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))𝑥))
21		vex 3458	. . . . . 6 ⊢ 𝑓 ∈ V
22	21, 18	breldm 5897	. . . . 5 ⊢ (𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))𝑥 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
23	20, 22	simplbiim 514	. . . 4 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
24	23	rexlimivw 3163	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
25	15, 24	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
26	1, 4, 25	iscmet3i 25663	1 ⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘ ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   ∩ cin 4092  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106  dom cdm 5655   ↾ cres 5657  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ↑_m cmap 8875  ℕcn 12362  MetOpencmopn 21698  ⇝_𝑡clm 23574  Cauccau 25604  CMetccmet 25605  IndMetcims 31223   ℋchba 31551   +_ℎ cva 31552   ·_ℎ csm 31553  norm_ℎcno 31555  Cauchyccauold 31558   ⇝_𝑣 chli 31559

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cc 10540  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306  ax-mulf 11307  ax-hilex 31631  ax-hfvadd 31632  ax-hvcom 31633  ax-hvass 31634  ax-hv0cl 31635  ax-hvaddid 31636  ax-hfvmul 31637  ax-hvmulid 31638  ax-hvmulass 31639  ax-hvdistr1 31640  ax-hvdistr2 31641  ax-hvmul0 31642  ax-hfi 31711  ax-his1 31714  ax-his2 31715  ax-his3 31716  ax-his4 31717  ax-hcompl 31834

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-card 10047  df-acn 10050  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-ico 13509  df-fz 13667  df-fl 13959  df-seq 14172  df-exp 14232  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-rest 17622  df-topgen 17643  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-fbas 21705  df-fg 21706  df-top 23242  df-topon 23259  df-bases 23294  df-ntr 23368  df-nei 23446  df-lm 23577  df-fil 24195  df-fm 24287  df-flim 24288  df-flf 24289  df-cfil 25606  df-cau 25607  df-cmet 25608  df-grpo 31125  df-gid 31126  df-ginv 31127  df-gdiv 31128  df-ablo 31177  df-vc 31191  df-nv 31224  df-va 31227  df-ba 31228  df-sm 31229  df-0v 31230  df-vs 31231  df-nmcv 31232  df-ims 31233  df-hnorm 31600  df-hvsub 31603  df-hlim 31604  df-hcau 31605

This theorem is used by:  hhhl  31836  hilcms  31837