Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhcms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhcms 28632
 Description: The Hilbert space induced metric determines a complete metric space. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhcms.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
hhcms.2 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
hhcms 𝐷 ∈ (CMet‘ ℋ)

Proof of Theorem hhcms
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2777 . 2 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2 hhcms.1 . . 3 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
3 hhcms.2 . . 3 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
42, 3hhmet 28603 . 2 𝐷 ∈ (Met‘ ℋ)
52, 3hhcau 28627 . . . . . 6 Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
65eleq2i 2850 . . . . 5 (𝑓 ∈ Cauchy ↔ 𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
7 elin 4018 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
8 ax-hilex 28428 . . . . . . . 8 ℋ ∈ V
9 nnex 11381 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
108, 9elmap 8169 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
1110anbi2i 616 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ))
127, 11bitri 267 . . . . 5 (𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ))
136, 12bitri 267 . . . 4 (𝑓 ∈ Cauchy ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ))
14 ax-hcompl 28631 . . . 4 (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓𝑣 𝑥)
1513, 14sylbir 227 . . 3 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓𝑣 𝑥)
162, 3, 1hhlm 28628 . . . . . . 7 𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
1716breqi 4892 . . . . . 6 (𝑓𝑣 𝑥𝑓((⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))𝑥)
18 vex 3400 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
1918brresi 5651 . . . . . 6 (𝑓((⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))𝑥 ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))𝑥))
2017, 19bitri 267 . . . . 5 (𝑓𝑣 𝑥 ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))𝑥))
21 vex 3400 . . . . . 6 𝑓 ∈ V
2221, 18breldm 5574 . . . . 5 (𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))𝑥𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
2320, 22simplbiim 500 . . . 4 (𝑓𝑣 𝑥𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
2423rexlimivw 3210 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓𝑣 𝑥𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
2515, 24syl 17 . 2 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
261, 4, 25iscmet3i 23518 1 𝐷 ∈ (CMet‘ ℋ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3090   ∩ cin 3790  ⟨cop 4403   class class class wbr 4886  dom cdm 5355   ↾ cres 5357  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↑𝑚 cmap 8140  ℕcn 11374  MetOpencmopn 20132  ⇝𝑡clm 21438  Cauccau 23459  CMetccmet 23460  IndMetcims 28018   ℋchba 28348   +ℎ cva 28349   ·ℎ csm 28350  normℎcno 28352  Cauchyccauold 28355   ⇝𝑣 chli 28356 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cc 9592  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352  ax-hilex 28428  ax-hfvadd 28429  ax-hvcom 28430  ax-hvass 28431  ax-hv0cl 28432  ax-hvaddid 28433  ax-hfvmul 28434  ax-hvmulid 28435  ax-hvmulass 28436  ax-hvdistr1 28437  ax-hvdistr2 28438  ax-hvmul0 28439  ax-hfi 28508  ax-his1 28511  ax-his2 28512  ax-his3 28513  ax-his4 28514  ax-hcompl 28631 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-acn 9101  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ico 12493  df-fz 12644  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-rest 16469  df-topgen 16490  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-top 21106  df-topon 21123  df-bases 21158  df-ntr 21232  df-nei 21310  df-lm 21441  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-cfil 23461  df-cau 23462  df-cmet 23463  df-grpo 27920  df-gid 27921  df-ginv 27922  df-gdiv 27923  df-ablo 27972  df-vc 27986  df-nv 28019  df-va 28022  df-ba 28023  df-sm 28024  df-0v 28025  df-vs 28026  df-nmcv 28027  df-ims 28028  df-hnorm 28397  df-hvsub 28400  df-hlim 28401  df-hcau 28402 This theorem is referenced by:  hhhl  28633  hilcms  28634
 Copyright terms: Public domain W3C validator