Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhcms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhcms 28975
 Description: The Hilbert space induced metric determines a complete metric space. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhcms.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
hhcms.2 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
hhcms 𝐷 ∈ (CMet‘ ℋ)

Proof of Theorem hhcms
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . 2 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2 hhcms.1 . . 3 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
3 hhcms.2 . . 3 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
42, 3hhmet 28946 . 2 𝐷 ∈ (Met‘ ℋ)
52, 3hhcau 28970 . . . . . 6 Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
65eleq2i 2907 . . . . 5 (𝑓 ∈ Cauchy ↔ 𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)))
7 elin 3934 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
8 ax-hilex 28771 . . . . . . . 8 ℋ ∈ V
9 nnex 11629 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
108, 9elmap 8418 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
1110anbi2i 625 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ))
127, 11bitri 278 . . . . 5 (𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ))
136, 12bitri 278 . . . 4 (𝑓 ∈ Cauchy ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ))
14 ax-hcompl 28974 . . . 4 (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓𝑣 𝑥)
1513, 14sylbir 238 . . 3 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓𝑣 𝑥)
162, 3, 1hhlm 28971 . . . . . . 7 𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
1716breqi 5053 . . . . . 6 (𝑓𝑣 𝑥𝑓((⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥)
18 vex 3482 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
1918brresi 5843 . . . . . 6 (𝑓((⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥 ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))𝑥))
2017, 19bitri 278 . . . . 5 (𝑓𝑣 𝑥 ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))𝑥))
21 vex 3482 . . . . . 6 𝑓 ∈ V
2221, 18breldm 5758 . . . . 5 (𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))𝑥𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
2320, 22simplbiim 508 . . . 4 (𝑓𝑣 𝑥𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
2423rexlimivw 3274 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓𝑣 𝑥𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
2515, 24syl 17 . 2 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
261, 4, 25iscmet3i 23905 1 𝐷 ∈ (CMet‘ ℋ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∃wrex 3133   ∩ cin 3917  ⟨cop 4554   class class class wbr 5047  dom cdm 5536   ↾ cres 5538  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138   ↑m cmap 8389  ℕcn 11623  MetOpencmopn 20521  ⇝𝑡clm 21820  Cauccau 23846  CMetccmet 23847  IndMetcims 28363   ℋchba 28691   +ℎ cva 28692   ·ℎ csm 28693  normℎcno 28695  Cauchyccauold 28698   ⇝𝑣 chli 28699 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-inf2 9088  ax-cc 9842  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600  ax-addf 10601  ax-mulf 10602  ax-hilex 28771  ax-hfvadd 28772  ax-hvcom 28773  ax-hvass 28774  ax-hv0cl 28775  ax-hvaddid 28776  ax-hfvmul 28777  ax-hvmulid 28778  ax-hvmulass 28779  ax-hvdistr1 28780  ax-hvdistr2 28781  ax-hvmul0 28782  ax-hfi 28851  ax-his1 28854  ax-his2 28855  ax-his3 28856  ax-his4 28857  ax-hcompl 28974 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-iin 4903  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-acn 9355  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-q 12335  df-rp 12376  df-xneg 12493  df-xadd 12494  df-xmul 12495  df-ico 12730  df-fz 12884  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13424  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-clim 14834  df-rlim 14835  df-rest 16685  df-topgen 16706  df-psmet 20523  df-xmet 20524  df-met 20525  df-bl 20526  df-mopn 20527  df-fbas 20528  df-fg 20529  df-top 21488  df-topon 21505  df-bases 21540  df-ntr 21614  df-nei 21692  df-lm 21823  df-fil 22440  df-fm 22532  df-flim 22533  df-flf 22534  df-cfil 23848  df-cau 23849  df-cmet 23850  df-grpo 28265  df-gid 28266  df-ginv 28267  df-gdiv 28268  df-ablo 28317  df-vc 28331  df-nv 28364  df-va 28367  df-ba 28368  df-sm 28369  df-0v 28370  df-vs 28371  df-nmcv 28372  df-ims 28373  df-hnorm 28740  df-hvsub 28743  df-hlim 28744  df-hcau 28745 This theorem is referenced by:  hhhl  28976  hilcms  28977
 Copyright terms: Public domain W3C validator