Theorem hhcms 31341

Description: The Hilbert space induced metric determines a complete metric space. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhcms.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhcms.2	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hhcms	⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘ ℋ)

Proof of Theorem hhcms

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2752	. 2 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2		hhcms.1	. . 3 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
3		hhcms.2	. . 3 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
4	2, 3	hhmet 31312	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘ ℋ)
5	2, 3	hhcau 31336	. . . . . 6 ⊢ Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
6	5	eleq2i 2844	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy ↔ 𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)))
7		elin 3911	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
8		ax-hilex 31137	. . . . . . . 8 ⊢ ℋ ∈ V
9		nnex 12202	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
10	8, 9	elmap 8838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
11	10	anbi2i 631	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ))
12	7, 11	bitri 277	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ))
13	6, 12	bitri 277	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ))
14		ax-hcompl 31340	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
15	13, 14	sylbir 237	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
16	2, 3, 1	hhlm 31337	. . . . . . 7 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
17	16	breqi 5096	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝑓((⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥)
18		vex 3448	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
19	18	brresi 5963	. . . . . 6 ⊢ (𝑓((⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥 ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))𝑥))
20	17, 19	bitri 277	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))𝑥))
21		vex 3448	. . . . . 6 ⊢ 𝑓 ∈ V
22	21, 18	breldm 5873	. . . . 5 ⊢ (𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))𝑥 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
23	20, 22	simplbiim 511	. . . 4 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
24	23	rexlimivw 3149	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
25	15, 24	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
26	1, 4, 25	iscmet3i 25343	1 ⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘ ℋ)

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ∃wrex 3076   ∩ cin 3894  ⟨cop 4578   class class class wbr 5090  dom cdm 5636   ↾ cres 5638  ⟶wf 6502  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381   ↑_m cmap 8792  ℕcn 12196  MetOpencmopn 21383  ⇝_𝑡clm 23255  Cauccau 25284  CMetccmet 25285  IndMetcims 30729   ℋchba 31057   +_ℎ cva 31058   ·_ℎ csm 31059  norm_ℎcno 31061  Cauchyccauold 31064   ⇝_𝑣 chli 31065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-inf2 9582  ax-cc 10378  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139  ax-hilex 31137  ax-hfvadd 31138  ax-hvcom 31139  ax-hvass 31140  ax-hv0cl 31141  ax-hvaddid 31142  ax-hfvmul 31143  ax-hvmulid 31144  ax-hvmulass 31145  ax-hvdistr1 31146  ax-hvdistr2 31147  ax-hvmul0 31148  ax-hfi 31217  ax-his1 31220  ax-his2 31221  ax-his3 31222  ax-his4 31223  ax-hcompl 31340

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-isom 6515  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-oadd 8425  df-omul 8426  df-er 8662  df-map 8794  df-pm 8795  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9444  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-q 12936  df-rp 12980  df-xneg 13100  df-xadd 13101  df-xmul 13102  df-ico 13341  df-fz 13499  df-fl 13788  df-seq 14001  df-exp 14061  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-clim 15487  df-rlim 15488  df-rest 17423  df-topgen 17444  df-psmet 21385  df-xmet 21386  df-met 21387  df-bl 21388  df-mopn 21389  df-fbas 21390  df-fg 21391  df-top 22923  df-topon 22940  df-bases 22975  df-ntr 23049  df-nei 23127  df-lm 23258  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-cfil 25286  df-cau 25287  df-cmet 25288  df-grpo 30631  df-gid 30632  df-ginv 30633  df-gdiv 30634  df-ablo 30683  df-vc 30697  df-nv 30730  df-va 30733  df-ba 30734  df-sm 30735  df-0v 30736  df-vs 30737  df-nmcv 30738  df-ims 30739  df-hnorm 31106  df-hvsub 31109  df-hlim 31110  df-hcau 31111

This theorem is referenced by:  hhhl  31342  hilcms  31343