Theorem hhcms 31521

Description: The Hilbert space induced metric determines a complete metric space. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhcms.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhcms.2	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hhcms	⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘ ℋ)

Proof of Theorem hhcms

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. 2 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2		hhcms.1	. . 3 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
3		hhcms.2	. . 3 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
4	2, 3	hhmet 31492	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘ ℋ)
5	2, 3	hhcau 31516	. . . . . 6 ⊢ Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
6	5	eleq2i 2853	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy ↔ 𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)))
7		elin 3920	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
8		ax-hilex 31317	. . . . . . . 8 ⊢ ℋ ∈ V
9		nnex 12238	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
10	8, 9	elmap 8868	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
11	10	anbi2i 634	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ))
12	7, 11	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ))
13	6, 12	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ))
14		ax-hcompl 31520	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
15	13, 14	sylbir 238	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
16	2, 3, 1	hhlm 31517	. . . . . . 7 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
17	16	breqi 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝑓((⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥)
18		vex 3457	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
19	18	brresi 5987	. . . . . 6 ⊢ (𝑓((⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥 ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))𝑥))
20	17, 19	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))𝑥))
21		vex 3457	. . . . . 6 ⊢ 𝑓 ∈ V
22	21, 18	breldm 5898	. . . . 5 ⊢ (𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))𝑥 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
23	20, 22	simplbiim 513	. . . 4 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
24	23	rexlimivw 3160	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
25	15, 24	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
26	1, 4, 25	iscmet3i 25450	1 ⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘ ℋ)

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3087   ∩ cin 3903  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108  dom cdm 5661   ↾ cres 5663  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8823  ℕcn 12232  MetOpencmopn 21491  ⇝_𝑡clm 23362  Cauccau 25391  CMetccmet 25392  IndMetcims 30909   ℋchba 31237   +_ℎ cva 31238   ·_ℎ csm 31239  norm_ℎcno 31241  Cauchyccauold 31244   ⇝_𝑣 chli 31245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cc 10418  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178  ax-mulf 11179  ax-hilex 31317  ax-hfvadd 31318  ax-hvcom 31319  ax-hvass 31320  ax-hv0cl 31321  ax-hvaddid 31322  ax-hfvmul 31323  ax-hvmulid 31324  ax-hvmulass 31325  ax-hvdistr1 31326  ax-hvdistr2 31327  ax-hvmul0 31328  ax-hfi 31397  ax-his1 31400  ax-his2 31401  ax-his3 31402  ax-his4 31403  ax-hcompl 31520

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-omul 8457  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-acn 9927  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ico 13377  df-fz 13535  df-fl 13824  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-clim 15538  df-rlim 15539  df-rest 17474  df-topgen 17495  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-fbas 21498  df-fg 21499  df-top 23030  df-topon 23047  df-bases 23082  df-ntr 23156  df-nei 23234  df-lm 23365  df-fil 23982  df-fm 24074  df-flim 24075  df-flf 24076  df-cfil 25393  df-cau 25394  df-cmet 25395  df-grpo 30811  df-gid 30812  df-ginv 30813  df-gdiv 30814  df-ablo 30863  df-vc 30877  df-nv 30910  df-va 30913  df-ba 30914  df-sm 30915  df-0v 30916  df-vs 30917  df-nmcv 30918  df-ims 30919  df-hnorm 31286  df-hvsub 31289  df-hlim 31290  df-hcau 31291

This theorem is referenced by:  hhhl  31522  hilcms  31523