Theorem hhcmpl 30718

Description: Lemma used for derivation of the completeness axiom ax-hcompl 30720 from ZFC Hilbert space theory. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhlm.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhlm.2	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
hhlm.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
hhcmpl.c	⊢ (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)

Assertion

Ref	Expression
hhcmpl	⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem hhcmpl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhcmpl.c	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)
2	1	anim1ci 614	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥))
3		elin 3965	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
4		r19.42v 3188	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥))
5	2, 3, 4	3imtr4i 291	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥))
6		hhlm.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
7		hhlm.2	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
8	6, 7	hhcau 30716	. . 3 ⊢ Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
9	8	eleq2i 2823	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy ↔ 𝐹 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)))
10		hhlm.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
11	6, 7, 10	hhlm 30717	. . . . 5 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
12	11	breqi 5155	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥)
13		vex 3476	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
14	13	brresi 5991	. . . 4 ⊢ (𝐹((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥 ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥))
15	12, 14	bitri 274	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥))
16	15	rexbii 3092	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥))
17	5, 9, 16	3imtr4i 291	1 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∃wrex 3068   ∩ cin 3948  ⟨cop 4635   class class class wbr 5149   ↾ cres 5679  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8824  ℕcn 12218  MetOpencmopn 21136  ⇝_𝑡clm 22952  Cauccau 25003  IndMetcims 30109   ℋchba 30437   +_ℎ cva 30438   ·_ℎ csm 30439  norm_ℎcno 30441  Cauchyccauold 30444   ⇝_𝑣 chli 30445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194  ax-hilex 30517  ax-hfvadd 30518  ax-hvcom 30519  ax-hvass 30520  ax-hv0cl 30521  ax-hvaddid 30522  ax-hfvmul 30523  ax-hvmulid 30524  ax-hvmulass 30525  ax-hvdistr1 30526  ax-hvdistr2 30527  ax-hvmul0 30528  ax-hfi 30597  ax-his1 30600  ax-his2 30601  ax-his3 30602  ax-his4 30603

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-seq 13973  df-exp 14034  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-topgen 17395  df-psmet 21138  df-xmet 21139  df-met 21140  df-bl 21141  df-mopn 21142  df-top 22618  df-topon 22635  df-bases 22671  df-lm 22955  df-cau 25006  df-grpo 30011  df-gid 30012  df-ginv 30013  df-gdiv 30014  df-ablo 30063  df-vc 30077  df-nv 30110  df-va 30113  df-ba 30114  df-sm 30115  df-0v 30116  df-vs 30117  df-nmcv 30118  df-ims 30119  df-hnorm 30486  df-hvsub 30489  df-hlim 30490  df-hcau 30491

This theorem is referenced by:  hilcompl  30719