HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhcmpl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhcmpl 28910
Description: Lemma used for derivation of the completeness axiom ax-hcompl 28912 from ZFC Hilbert space theory. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhlm.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
hhlm.2 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
hhlm.3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
hhcmpl.c (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥)
Assertion
Ref Expression
hhcmpl (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem hhcmpl
StepHypRef Expression
1 hhcmpl.c . . . 4 (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥)
21anim1ci 615 . . 3 ((𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥))
3 elin 4173 . . 3 (𝐹 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
4 r19.42v 3355 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℋ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥))
52, 3, 43imtr4i 293 . 2 (𝐹 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥))
6 hhlm.1 . . . 4 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
7 hhlm.2 . . . 4 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
86, 7hhcau 28908 . . 3 Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
98eleq2i 2909 . 2 (𝐹 ∈ Cauchy ↔ 𝐹 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)))
10 hhlm.3 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
116, 7, 10hhlm 28909 . . . . 5 𝑣 = ((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
1211breqi 5069 . . . 4 (𝐹𝑣 𝑥𝐹((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥)
13 vex 3503 . . . . 5 𝑥 ∈ V
1413brresi 5861 . . . 4 (𝐹((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥 ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥))
1512, 14bitri 276 . . 3 (𝐹𝑣 𝑥 ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥))
1615rexbii 3252 . 2 (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥))
175, 9, 163imtr4i 293 1 (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wrex 3144  cin 3939  cop 4570   class class class wbr 5063  cres 5556  cfv 6354  (class class class)co 7150  m cmap 8401  cn 11632  MetOpencmopn 20470  𝑡clm 21769  Cauccau 23790  IndMetcims 28301  chba 28629   + cva 28630   · csm 28631  normcno 28633  Cauchyccauold 28636  𝑣 chli 28637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611  ax-hilex 28709  ax-hfvadd 28710  ax-hvcom 28711  ax-hvass 28712  ax-hv0cl 28713  ax-hvaddid 28714  ax-hfvmul 28715  ax-hvmulid 28716  ax-hvmulass 28717  ax-hvdistr1 28718  ax-hvdistr2 28719  ax-hvmul0 28720  ax-hfi 28789  ax-his1 28792  ax-his2 28793  ax-his3 28794  ax-his4 28795
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-seq 13365  df-exp 13425  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-topgen 16712  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-top 21437  df-topon 21454  df-bases 21489  df-lm 21772  df-cau 23793  df-grpo 28203  df-gid 28204  df-ginv 28205  df-gdiv 28206  df-ablo 28255  df-vc 28269  df-nv 28302  df-va 28305  df-ba 28306  df-sm 28307  df-0v 28308  df-vs 28309  df-nmcv 28310  df-ims 28311  df-hnorm 28678  df-hvsub 28681  df-hlim 28682  df-hcau 28683
This theorem is referenced by:  hilcompl  28911
  Copyright terms: Public domain W3C validator