Theorem hhcmpl 29087

Description: Lemma used for derivation of the completeness axiom ax-hcompl 29089 from ZFC Hilbert space theory. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhlm.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhlm.2	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
hhlm.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
hhcmpl.c	⊢ (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)

Assertion

Ref	Expression
hhcmpl	⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem hhcmpl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhcmpl.c	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)
2	1	anim1ci 618	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥))
3		elin 3876	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
4		r19.42v 3268	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥))
5	2, 3, 4	3imtr4i 295	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥))
6		hhlm.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
7		hhlm.2	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
8	6, 7	hhcau 29085	. . 3 ⊢ Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
9	8	eleq2i 2843	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy ↔ 𝐹 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)))
10		hhlm.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
11	6, 7, 10	hhlm 29086	. . . . 5 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
12	11	breqi 5041	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥)
13		vex 3413	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
14	13	brresi 5836	. . . 4 ⊢ (𝐹((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥 ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥))
15	12, 14	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥))
16	15	rexbii 3175	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥))
17	5, 9, 16	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3071   ∩ cin 3859  ⟨cop 4531   class class class wbr 5035   ↾ cres 5529  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155   ↑_m cmap 8421  ℕcn 11679  MetOpencmopn 20161  ⇝_𝑡clm 21931  Cauccau 23958  IndMetcims 28478   ℋchba 28806   +_ℎ cva 28807   ·_ℎ csm 28808  norm_ℎcno 28810  Cauchyccauold 28813   ⇝_𝑣 chli 28814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658  ax-addf 10659  ax-mulf 10660  ax-hilex 28886  ax-hfvadd 28887  ax-hvcom 28888  ax-hvass 28889  ax-hv0cl 28890  ax-hvaddid 28891  ax-hfvmul 28892  ax-hvmulid 28893  ax-hvmulass 28894  ax-hvdistr1 28895  ax-hvdistr2 28896  ax-hvmul0 28897  ax-hfi 28966  ax-his1 28969  ax-his2 28970  ax-his3 28971  ax-his4 28972

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-map 8423  df-pm 8424  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-sup 8944  df-inf 8945  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-q 12394  df-rp 12436  df-xneg 12553  df-xadd 12554  df-xmul 12555  df-seq 13424  df-exp 13485  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-topgen 16780  df-psmet 20163  df-xmet 20164  df-met 20165  df-bl 20166  df-mopn 20167  df-top 21599  df-topon 21616  df-bases 21651  df-lm 21934  df-cau 23961  df-grpo 28380  df-gid 28381  df-ginv 28382  df-gdiv 28383  df-ablo 28432  df-vc 28446  df-nv 28479  df-va 28482  df-ba 28483  df-sm 28484  df-0v 28485  df-vs 28486  df-nmcv 28487  df-ims 28488  df-hnorm 28855  df-hvsub 28858  df-hlim 28859  df-hcau 28860

This theorem is referenced by:  hilcompl  29088