HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhcmpl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhcmpl 28573
Description: Lemma used for derivation of the completeness axiom ax-hcompl 28575 from ZFC Hilbert space theory. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhlm.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
hhlm.2 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
hhlm.3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
hhcmpl.c (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥)
Assertion
Ref Expression
hhcmpl (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem hhcmpl
StepHypRef Expression
1 hhcmpl.c . . . 4 (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥)
21anim1ci 610 . . 3 ((𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) → (𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥))
3 elin 3992 . . 3 (𝐹 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ↔ (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
4 r19.42v 3271 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℋ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥) ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥))
52, 3, 43imtr4i 284 . 2 (𝐹 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥))
6 hhlm.1 . . . 4 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
7 hhlm.2 . . . 4 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
86, 7hhcau 28571 . . 3 Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
98eleq2i 2868 . 2 (𝐹 ∈ Cauchy ↔ 𝐹 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
10 hhlm.3 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
116, 7, 10hhlm 28572 . . . . 5 𝑣 = ((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
1211breqi 4847 . . . 4 (𝐹𝑣 𝑥𝐹((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))𝑥)
13 vex 3386 . . . . 5 𝑥 ∈ V
1413brresi 5607 . . . 4 (𝐹((⇝𝑡𝐽) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))𝑥 ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥))
1512, 14bitri 267 . . 3 (𝐹𝑣 𝑥 ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥))
1615rexbii 3220 . 2 (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥))
175, 9, 163imtr4i 284 1 (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wrex 3088  cin 3766  cop 4372   class class class wbr 4841  cres 5312  cfv 6099  (class class class)co 6876  𝑚 cmap 8093  cn 11310  MetOpencmopn 20054  𝑡clm 21355  Cauccau 23375  IndMetcims 27962  chba 28292   + cva 28293   · csm 28294  normcno 28296  Cauchyccauold 28299  𝑣 chli 28300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2375  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300  ax-addf 10301  ax-mulf 10302  ax-hilex 28372  ax-hfvadd 28373  ax-hvcom 28374  ax-hvass 28375  ax-hv0cl 28376  ax-hvaddid 28377  ax-hfvmul 28378  ax-hvmulid 28379  ax-hvmulass 28380  ax-hvdistr1 28381  ax-hvdistr2 28382  ax-hvmul0 28383  ax-hfi 28452  ax-his1 28455  ax-his2 28456  ax-his3 28457  ax-his4 28458
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-map 8095  df-pm 8096  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-sup 8588  df-inf 8589  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-q 12030  df-rp 12071  df-xneg 12189  df-xadd 12190  df-xmul 12191  df-seq 13052  df-exp 13111  df-cj 14176  df-re 14177  df-im 14178  df-sqrt 14312  df-abs 14313  df-topgen 16415  df-psmet 20056  df-xmet 20057  df-met 20058  df-bl 20059  df-mopn 20060  df-top 21023  df-topon 21040  df-bases 21075  df-lm 21358  df-cau 23378  df-grpo 27864  df-gid 27865  df-ginv 27866  df-gdiv 27867  df-ablo 27916  df-vc 27930  df-nv 27963  df-va 27966  df-ba 27967  df-sm 27968  df-0v 27969  df-vs 27970  df-nmcv 27971  df-ims 27972  df-hnorm 28341  df-hvsub 28344  df-hlim 28345  df-hcau 28346
This theorem is referenced by:  hilcompl  28574
  Copyright terms: Public domain W3C validator