Theorem hhcmpl 29463

Description: Lemma used for derivation of the completeness axiom ax-hcompl 29465 from ZFC Hilbert space theory. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhlm.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhlm.2	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
hhlm.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
hhcmpl.c	⊢ (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)

Assertion

Ref	Expression
hhcmpl	⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem hhcmpl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhcmpl.c	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)
2	1	anim1ci 615	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)) → (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥))
3		elin 3899	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) ↔ (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
4		r19.42v 3276	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥) ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥))
5	2, 3, 4	3imtr4i 291	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)) → ∃𝑥 ∈ ℋ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥))
6		hhlm.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
7		hhlm.2	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
8	6, 7	hhcau 29461	. . 3 ⊢ Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
9	8	eleq2i 2830	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy ↔ 𝐹 ∈ ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ)))
10		hhlm.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
11	6, 7, 10	hhlm 29462	. . . . 5 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
12	11	breqi 5076	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ 𝐹((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥)
13		vex 3426	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
14	13	brresi 5889	. . . 4 ⊢ (𝐹((⇝𝑡‘𝐽) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))𝑥 ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥))
15	12, 14	bitri 274	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥))
16	15	rexbii 3177	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℋ (𝐹 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥))
17	5, 9, 16	3imtr4i 291	1 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064   ∩ cin 3882  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070   ↾ cres 5582  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  ℕcn 11903  MetOpencmopn 20500  ⇝_𝑡clm 22285  Cauccau 24322  IndMetcims 28854   ℋchba 29182   +_ℎ cva 29183   ·_ℎ csm 29184  norm_ℎcno 29186  Cauchyccauold 29189   ⇝_𝑣 chli 29190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882  ax-hilex 29262  ax-hfvadd 29263  ax-hvcom 29264  ax-hvass 29265  ax-hv0cl 29266  ax-hvaddid 29267  ax-hfvmul 29268  ax-hvmulid 29269  ax-hvmulass 29270  ax-hvdistr1 29271  ax-hvdistr2 29272  ax-hvmul0 29273  ax-hfi 29342  ax-his1 29345  ax-his2 29346  ax-his3 29347  ax-his4 29348

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-lm 22288  df-cau 24325  df-grpo 28756  df-gid 28757  df-ginv 28758  df-gdiv 28759  df-ablo 28808  df-vc 28822  df-nv 28855  df-va 28858  df-ba 28859  df-sm 28860  df-0v 28861  df-vs 28862  df-nmcv 28863  df-ims 28864  df-hnorm 29231  df-hvsub 29234  df-hlim 29235  df-hcau 29236

This theorem is referenced by:  hilcompl  29464