Theorem hlim0 31524

Description: The zero sequence in Hilbert space converges to the zero vector. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hlim0	⊢ (ℕ × {0ℎ}) ⇝𝑣 0ℎ

Proof of Theorem hlim0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 31292	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2	1	fconst6 6766	. . 3 ⊢ (ℕ × {0ℎ}):ℕ⟶ ℋ
3		ax-hilex 31288	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ V
4		nnex 12235	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
5	3, 4	elmap 8865	. . 3 ⊢ ((ℕ × {0ℎ}) ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ (ℕ × {0ℎ}):ℕ⟶ ℋ)
6	2, 5	mpbir 234	. 2 ⊢ (ℕ × {0ℎ}) ∈ ( ℋ ↑m ℕ)
7		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
8		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
9	7, 8	hhxmet 31464	. . . 4 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ)
10		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) = (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))
11	10	mopntopon 24561	. . . 4 ⊢ ((IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∈ (TopOn‘ ℋ))
12	9, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∈ (TopOn‘ ℋ)
13		1z 12620	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		nnuz 12897	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
15	14	lmconst 23383	. . 3 ⊢ (((MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∈ (TopOn‘ ℋ) ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0ℎ})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))0ℎ)
16	12, 1, 13, 15	mp3an 1487	. 2 ⊢ (ℕ × {0ℎ})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))0ℎ
17	7, 8, 10	hhlm 31488	. . . 4 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
18	17	breqi 5116	. . 3 ⊢ ((ℕ × {0ℎ}) ⇝𝑣 0ℎ ↔ (ℕ × {0ℎ})((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))0ℎ)
19	1	elexi 3485	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ V
20	19	brresi 5985	. . 3 ⊢ ((ℕ × {0ℎ})((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))0ℎ ↔ ((ℕ × {0ℎ}) ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ (ℕ × {0ℎ})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))0ℎ))
21	18, 20	bitri 278	. 2 ⊢ ((ℕ × {0ℎ}) ⇝𝑣 0ℎ ↔ ((ℕ × {0ℎ}) ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ (ℕ × {0ℎ})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))0ℎ))
22	6, 16, 21	mpbir2an 723	1 ⊢ (ℕ × {0ℎ}) ⇝𝑣 0ℎ

Syntax hints:   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  {csn 4591  ⟨cop 4597   class class class wbr 5110   × cxp 5657   ↾ cres 5661  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8820  1c1 11097  ℕcn 12229  ℤcz 12587  ∞Metcxmet 21472  MetOpencmopn 21477  TopOnctopon 23032  ⇝_𝑡clm 23348  IndMetcims 30880   ℋchba 31208   +_ℎ cva 31209   ·_ℎ csm 31210  norm_ℎcno 31212  0_ℎc0v 31213   ⇝_𝑣 chli 31216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175  ax-mulf 11176  ax-hilex 31288  ax-hfvadd 31289  ax-hvcom 31290  ax-hvass 31291  ax-hv0cl 31292  ax-hvaddid 31293  ax-hfvmul 31294  ax-hvmulid 31295  ax-hvmulass 31296  ax-hvdistr1 31297  ax-hvdistr2 31298  ax-hvmul0 31299  ax-hfi 31368  ax-his1 31371  ax-his2 31372  ax-his3 31373  ax-his4 31374

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-topgen 17492  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-top 23016  df-topon 23033  df-bases 23068  df-lm 23351  df-grpo 30782  df-gid 30783  df-ginv 30784  df-gdiv 30785  df-ablo 30834  df-vc 30848  df-nv 30881  df-va 30884  df-ba 30885  df-sm 30886  df-0v 30887  df-vs 30888  df-nmcv 30889  df-ims 30890  df-hnorm 31257  df-hvsub 31260  df-hlim 31261

This theorem is referenced by:  hsn0elch  31537