Theorem hlim0 31322

Description: The zero sequence in Hilbert space converges to the zero vector. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hlim0	⊢ (ℕ × {0ℎ}) ⇝𝑣 0ℎ

Proof of Theorem hlim0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 31090	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2	1	fconst6 6732	. . 3 ⊢ (ℕ × {0ℎ}):ℕ⟶ ℋ
3		ax-hilex 31086	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ V
4		nnex 12163	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
5	3, 4	elmap 8821	. . 3 ⊢ ((ℕ × {0ℎ}) ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ (ℕ × {0ℎ}):ℕ⟶ ℋ)
6	2, 5	mpbir 231	. 2 ⊢ (ℕ × {0ℎ}) ∈ ( ℋ ↑m ℕ)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
9	7, 8	hhxmet 31262	. . . 4 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ)
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) = (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))
11	10	mopntopon 24395	. . . 4 ⊢ ((IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∈ (TopOn‘ ℋ))
12	9, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∈ (TopOn‘ ℋ)
13		1z 12533	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		nnuz 12802	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
15	14	lmconst 23217	. . 3 ⊢ (((MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∈ (TopOn‘ ℋ) ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0ℎ})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))0ℎ)
16	12, 1, 13, 15	mp3an 1464	. 2 ⊢ (ℕ × {0ℎ})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))0ℎ
17	7, 8, 10	hhlm 31286	. . . 4 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
18	17	breqi 5106	. . 3 ⊢ ((ℕ × {0ℎ}) ⇝𝑣 0ℎ ↔ (ℕ × {0ℎ})((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))0ℎ)
19	1	elexi 3465	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ V
20	19	brresi 5955	. . 3 ⊢ ((ℕ × {0ℎ})((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))0ℎ ↔ ((ℕ × {0ℎ}) ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ (ℕ × {0ℎ})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))0ℎ))
21	18, 20	bitri 275	. 2 ⊢ ((ℕ × {0ℎ}) ⇝𝑣 0ℎ ↔ ((ℕ × {0ℎ}) ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ (ℕ × {0ℎ})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))0ℎ))
22	6, 16, 21	mpbir2an 712	1 ⊢ (ℕ × {0ℎ}) ⇝𝑣 0ℎ

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  {csn 4582  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100   × cxp 5630   ↾ cres 5634  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775  1c1 11039  ℕcn 12157  ℤcz 12500  ∞Metcxmet 21306  MetOpencmopn 21311  TopOnctopon 22866  ⇝_𝑡clm 23182  IndMetcims 30678   ℋchba 31006   +_ℎ cva 31007   ·_ℎ csm 31008  norm_ℎcno 31010  0_ℎc0v 31011   ⇝_𝑣 chli 31014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118  ax-hilex 31086  ax-hfvadd 31087  ax-hvcom 31088  ax-hvass 31089  ax-hv0cl 31090  ax-hvaddid 31091  ax-hfvmul 31092  ax-hvmulid 31093  ax-hvmulass 31094  ax-hvdistr1 31095  ax-hvdistr2 31096  ax-hvmul0 31097  ax-hfi 31166  ax-his1 31169  ax-his2 31170  ax-his3 31171  ax-his4 31172

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-topgen 17375  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-top 22850  df-topon 22867  df-bases 22902  df-lm 23185  df-grpo 30580  df-gid 30581  df-ginv 30582  df-gdiv 30583  df-ablo 30632  df-vc 30646  df-nv 30679  df-va 30682  df-ba 30683  df-sm 30684  df-0v 30685  df-vs 30686  df-nmcv 30687  df-ims 30688  df-hnorm 31055  df-hvsub 31058  df-hlim 31059

This theorem is referenced by:  hsn0elch  31335