Theorem hlim0 30743

Description: The zero sequence in Hilbert space converges to the zero vector. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hlim0	⊢ (ℕ × {0ℎ}) ⇝𝑣 0ℎ

Proof of Theorem hlim0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 30511	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2	1	fconst6 6781	. . 3 ⊢ (ℕ × {0ℎ}):ℕ⟶ ℋ
3		ax-hilex 30507	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ V
4		nnex 12222	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
5	3, 4	elmap 8867	. . 3 ⊢ ((ℕ × {0ℎ}) ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ (ℕ × {0ℎ}):ℕ⟶ ℋ)
6	2, 5	mpbir 230	. 2 ⊢ (ℕ × {0ℎ}) ∈ ( ℋ ↑m ℕ)
7		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
8		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
9	7, 8	hhxmet 30683	. . . 4 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ)
10		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) = (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))
11	10	mopntopon 24165	. . . 4 ⊢ ((IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∈ (TopOn‘ ℋ))
12	9, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∈ (TopOn‘ ℋ)
13		1z 12596	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		nnuz 12869	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
15	14	lmconst 22985	. . 3 ⊢ (((MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∈ (TopOn‘ ℋ) ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0ℎ})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))0ℎ)
16	12, 1, 13, 15	mp3an 1461	. 2 ⊢ (ℕ × {0ℎ})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))0ℎ
17	7, 8, 10	hhlm 30707	. . . 4 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
18	17	breqi 5154	. . 3 ⊢ ((ℕ × {0ℎ}) ⇝𝑣 0ℎ ↔ (ℕ × {0ℎ})((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))0ℎ)
19	1	elexi 3493	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ V
20	19	brresi 5990	. . 3 ⊢ ((ℕ × {0ℎ})((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))0ℎ ↔ ((ℕ × {0ℎ}) ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ (ℕ × {0ℎ})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))0ℎ))
21	18, 20	bitri 274	. 2 ⊢ ((ℕ × {0ℎ}) ⇝𝑣 0ℎ ↔ ((ℕ × {0ℎ}) ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ (ℕ × {0ℎ})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))0ℎ))
22	6, 16, 21	mpbir2an 709	1 ⊢ (ℕ × {0ℎ}) ⇝𝑣 0ℎ

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  {csn 4628  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148   × cxp 5674   ↾ cres 5678  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8822  1c1 11113  ℕcn 12216  ℤcz 12562  ∞Metcxmet 21129  MetOpencmopn 21134  TopOnctopon 22632  ⇝_𝑡clm 22950  IndMetcims 30099   ℋchba 30427   +_ℎ cva 30428   ·_ℎ csm 30429  norm_ℎcno 30431  0_ℎc0v 30432   ⇝_𝑣 chli 30435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30507  ax-hfvadd 30508  ax-hvcom 30509  ax-hvass 30510  ax-hv0cl 30511  ax-hvaddid 30512  ax-hfvmul 30513  ax-hvmulid 30514  ax-hvmulass 30515  ax-hvdistr1 30516  ax-hvdistr2 30517  ax-hvmul0 30518  ax-hfi 30587  ax-his1 30590  ax-his2 30591  ax-his3 30592  ax-his4 30593

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-lm 22953  df-grpo 30001  df-gid 30002  df-ginv 30003  df-gdiv 30004  df-ablo 30053  df-vc 30067  df-nv 30100  df-va 30103  df-ba 30104  df-sm 30105  df-0v 30106  df-vs 30107  df-nmcv 30108  df-ims 30109  df-hnorm 30476  df-hvsub 30479  df-hlim 30480

This theorem is referenced by:  hsn0elch  30756