Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlim0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlim0 29062
 Description: The zero sequence in Hilbert space converges to the zero vector. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hlim0 (ℕ × {0}) ⇝𝑣 0

Proof of Theorem hlim0
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 28830 . . . 4 0 ∈ ℋ
21fconst6 6551 . . 3 (ℕ × {0}):ℕ⟶ ℋ
3 ax-hilex 28826 . . . 4 ℋ ∈ V
4 nnex 11649 . . . 4 ℕ ∈ V
53, 4elmap 8436 . . 3 ((ℕ × {0}) ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ (ℕ × {0}):ℕ⟶ ℋ)
62, 5mpbir 234 . 2 (ℕ × {0}) ∈ ( ℋ ↑m ℕ)
7 eqid 2798 . . . . 5 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
8 eqid 2798 . . . . 5 (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) = (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
97, 8hhxmet 29002 . . . 4 (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ)
10 eqid 2798 . . . . 5 (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)) = (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))
1110mopntopon 23087 . . . 4 ((IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)) ∈ (TopOn‘ ℋ))
129, 11ax-mp 5 . . 3 (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)) ∈ (TopOn‘ ℋ)
13 1z 12020 . . 3 1 ∈ ℤ
14 nnuz 12289 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
1514lmconst 21907 . . 3 (((MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)) ∈ (TopOn‘ ℋ) ∧ 0 ∈ ℋ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)))0)
1612, 1, 13, 15mp3an 1458 . 2 (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)))0
177, 8, 10hhlm 29026 . . . 4 𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
1817breqi 5040 . . 3 ((ℕ × {0}) ⇝𝑣 0 ↔ (ℕ × {0})((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))0)
191elexi 3461 . . . 4 0 ∈ V
2019brresi 5831 . . 3 ((ℕ × {0})((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))0 ↔ ((ℕ × {0}) ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)))0))
2118, 20bitri 278 . 2 ((ℕ × {0}) ⇝𝑣 0 ↔ ((ℕ × {0}) ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)))0))
226, 16, 21mpbir2an 710 1 (ℕ × {0}) ⇝𝑣 0
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  {csn 4528  ⟨cop 4534   class class class wbr 5034   × cxp 5521   ↾ cres 5525  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145   ↑m cmap 8407  1c1 10545  ℕcn 11643  ℤcz 11989  ∞Metcxmet 20097  MetOpencmopn 20102  TopOnctopon 21556  ⇝𝑡clm 21872  IndMetcims 28418   ℋchba 28746   +ℎ cva 28747   ·ℎ csm 28748  normℎcno 28750  0ℎc0v 28751   ⇝𝑣 chli 28754 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622  ax-addf 10623  ax-mulf 10624  ax-hilex 28826  ax-hfvadd 28827  ax-hvcom 28828  ax-hvass 28829  ax-hv0cl 28830  ax-hvaddid 28831  ax-hfvmul 28832  ax-hvmulid 28833  ax-hvmulass 28834  ax-hvdistr1 28835  ax-hvdistr2 28836  ax-hvmul0 28837  ax-hfi 28906  ax-his1 28909  ax-his2 28910  ax-his3 28911  ax-his4 28912 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-map 8409  df-pm 8410  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-q 12357  df-rp 12398  df-xneg 12515  df-xadd 12516  df-xmul 12517  df-seq 13385  df-exp 13446  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-topgen 16729  df-psmet 20104  df-xmet 20105  df-met 20106  df-bl 20107  df-mopn 20108  df-top 21540  df-topon 21557  df-bases 21592  df-lm 21875  df-grpo 28320  df-gid 28321  df-ginv 28322  df-gdiv 28323  df-ablo 28372  df-vc 28386  df-nv 28419  df-va 28422  df-ba 28423  df-sm 28424  df-0v 28425  df-vs 28426  df-nmcv 28427  df-ims 28428  df-hnorm 28795  df-hvsub 28798  df-hlim 28799 This theorem is referenced by:  hsn0elch  29075
 Copyright terms: Public domain W3C validator