Theorem hlim0 29498

Description: The zero sequence in Hilbert space converges to the zero vector. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hlim0	⊢ (ℕ × {0ℎ}) ⇝𝑣 0ℎ

Proof of Theorem hlim0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 29266	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2	1	fconst6 6648	. . 3 ⊢ (ℕ × {0ℎ}):ℕ⟶ ℋ
3		ax-hilex 29262	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ V
4		nnex 11909	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
5	3, 4	elmap 8617	. . 3 ⊢ ((ℕ × {0ℎ}) ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ (ℕ × {0ℎ}):ℕ⟶ ℋ)
6	2, 5	mpbir 230	. 2 ⊢ (ℕ × {0ℎ}) ∈ ( ℋ ↑m ℕ)
7		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
8		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
9	7, 8	hhxmet 29438	. . . 4 ⊢ (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ)
10		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) = (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))
11	10	mopntopon 23500	. . . 4 ⊢ ((IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∈ (TopOn‘ ℋ))
12	9, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∈ (TopOn‘ ℋ)
13		1z 12280	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		nnuz 12550	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
15	14	lmconst 22320	. . 3 ⊢ (((MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) ∈ (TopOn‘ ℋ) ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0ℎ})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))0ℎ)
16	12, 1, 13, 15	mp3an 1459	. 2 ⊢ (ℕ × {0ℎ})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))0ℎ
17	7, 8, 10	hhlm 29462	. . . 4 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
18	17	breqi 5076	. . 3 ⊢ ((ℕ × {0ℎ}) ⇝𝑣 0ℎ ↔ (ℕ × {0ℎ})((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))0ℎ)
19	1	elexi 3441	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ V
20	19	brresi 5889	. . 3 ⊢ ((ℕ × {0ℎ})((⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))0ℎ ↔ ((ℕ × {0ℎ}) ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ (ℕ × {0ℎ})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))0ℎ))
21	18, 20	bitri 274	. 2 ⊢ ((ℕ × {0ℎ}) ⇝𝑣 0ℎ ↔ ((ℕ × {0ℎ}) ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ (ℕ × {0ℎ})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)))0ℎ))
22	6, 16, 21	mpbir2an 707	1 ⊢ (ℕ × {0ℎ}) ⇝𝑣 0ℎ

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  {csn 4558  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070   × cxp 5578   ↾ cres 5582  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  1c1 10803  ℕcn 11903  ℤcz 12249  ∞Metcxmet 20495  MetOpencmopn 20500  TopOnctopon 21967  ⇝_𝑡clm 22285  IndMetcims 28854   ℋchba 29182   +_ℎ cva 29183   ·_ℎ csm 29184  norm_ℎcno 29186  0_ℎc0v 29187   ⇝_𝑣 chli 29190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882  ax-hilex 29262  ax-hfvadd 29263  ax-hvcom 29264  ax-hvass 29265  ax-hv0cl 29266  ax-hvaddid 29267  ax-hfvmul 29268  ax-hvmulid 29269  ax-hvmulass 29270  ax-hvdistr1 29271  ax-hvdistr2 29272  ax-hvmul0 29273  ax-hfi 29342  ax-his1 29345  ax-his2 29346  ax-his3 29347  ax-his4 29348

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-lm 22288  df-grpo 28756  df-gid 28757  df-ginv 28758  df-gdiv 28759  df-ablo 28808  df-vc 28822  df-nv 28855  df-va 28858  df-ba 28859  df-sm 28860  df-0v 28861  df-vs 28862  df-nmcv 28863  df-ims 28864  df-hnorm 29231  df-hvsub 29234  df-hlim 29235

This theorem is referenced by:  hsn0elch  29511