Theorem hlimadd 31450

Description: Limit of the sum of two sequences in a Hilbert vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlimadd.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ ℋ)
hlimadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ ℋ)
hlimadd.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑣 𝐴)
hlimadd.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝𝑣 𝐵)
hlimadd.7	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛) +ℎ (𝐺‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
hlimadd	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 (𝐴 +ℎ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem hlimadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlimadd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ ℋ)
2	1	ffvelcdmda 7069	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℋ)
3		hlimadd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ ℋ)
4	3	ffvelcdmda 7069	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℋ)
5		hvaddcl 31269	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℋ ∧ (𝐺‘𝑛) ∈ ℋ) → ((𝐹‘𝑛) +ℎ (𝐺‘𝑛)) ∈ ℋ)
6	2, 4, 5	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) +ℎ (𝐺‘𝑛)) ∈ ℋ)
7		hlimadd.7	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛) +ℎ (𝐺‘𝑛)))
8	6, 7	fmptd 7099	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶ ℋ)
9		ax-hilex 31256	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ V
10		nnex 12227	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
11	9, 10	elmap 8857	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝐻:ℕ⟶ ℋ)
12	8, 11	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ( ℋ ↑m ℕ))
13		nnuz 12889	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
14		1zzd 12613	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
15		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
16		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (normℎ ∘ −ℎ )
17	15, 16	hhims 31429	. . . . 5 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
18	15, 17	hhxmet 31432	. . . 4 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ)
19		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) = (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))
20	19	mopntopon 24553	. . . 4 ⊢ ((normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
21	18, 20	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
22		hlimadd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑣 𝐴)
23	15	hhnv 31422	. . . . . . 7 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec
24		df-hba 31226	. . . . . . 7 ⊢ ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
25	15, 23, 24, 17, 19	h2hlm 31237	. . . . . 6 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
26		resss 5990	. . . . . 6 ⊢ ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
27	25, 26	eqsstri 3985	. . . . 5 ⊢ ⇝𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
28	27	ssbri 5149	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝐴)
29	22, 28	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝐴)
30		hlimadd.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝𝑣 𝐵)
31	27	ssbri 5149	. . . 4 ⊢ (𝐺 ⇝𝑣 𝐵 → 𝐺(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝐵)
32	30, 31	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝐵)
33	15	hhva 31423	. . . . 5 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
34	17, 19, 33	vacn 30951	. . . 4 ⊢ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec → +ℎ ∈ (((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ×t (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) Cn (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))))
35	23, 34	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → +ℎ ∈ (((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ×t (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) Cn (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))))
36	13, 14, 21, 21, 1, 3, 29, 32, 35, 7	lmcn2 23763	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))(𝐴 +ℎ 𝐵))
37	25	breqi 5110	. . 3 ⊢ (𝐻 ⇝𝑣 (𝐴 +ℎ 𝐵) ↔ 𝐻((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))(𝐴 +ℎ 𝐵))
38		ovex 7433	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ V
39	38	brresi 5977	. . 3 ⊢ (𝐻((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))(𝐴 +ℎ 𝐵) ↔ (𝐻 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐻(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))(𝐴 +ℎ 𝐵)))
40	37, 39	bitri 278	. 2 ⊢ (𝐻 ⇝𝑣 (𝐴 +ℎ 𝐵) ↔ (𝐻 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐻(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))(𝐴 +ℎ 𝐵)))
41	12, 36, 40	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 (𝐴 +ℎ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4591   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5185   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ↑_m cmap 8812  1c1 11089  ℕcn 12221  ∞Metcxmet 21464  MetOpencmopn 21469  TopOnctopon 23024   Cn ccn 23338  ⇝_𝑡clm 23340   ×_t ctx 23674  NrmCVeccnv 30841   ℋchba 31176   +_ℎ cva 31177   ·_ℎ csm 31178  norm_ℎcno 31180   −_ℎ cmv 31182   ⇝_𝑣 chli 31184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167  ax-mulf 11168  ax-hilex 31256  ax-hfvadd 31257  ax-hvcom 31258  ax-hvass 31259  ax-hv0cl 31260  ax-hvaddid 31261  ax-hfvmul 31262  ax-hvmulid 31263  ax-hvmulass 31264  ax-hvdistr1 31265  ax-hvdistr2 31266  ax-hvmul0 31267  ax-hfi 31336  ax-his1 31339  ax-his2 31340  ax-his3 31341  ax-his4 31342

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-icc 13367  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14355  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17463  df-topn 17464  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-topgen 17484  df-pt 17485  df-prds 17488  df-xrs 17544  df-qtop 17549  df-imas 17550  df-xps 17552  df-mre 17626  df-mrc 17627  df-acs 17629  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-submnd 18830  df-mulg 19122  df-cntz 19375  df-cmn 19840  df-psmet 21471  df-xmet 21472  df-met 21473  df-bl 21474  df-mopn 21475  df-top 23008  df-topon 23025  df-topsp 23047  df-bases 23060  df-cn 23341  df-cnp 23342  df-lm 23343  df-tx 23676  df-hmeo 23869  df-xms 24434  df-tms 24436  df-grpo 30750  df-gid 30751  df-ginv 30752  df-gdiv 30753  df-ablo 30802  df-vc 30816  df-nv 30849  df-va 30852  df-ba 30853  df-sm 30854  df-0v 30855  df-vs 30856  df-nmcv 30857  df-ims 30858  df-hnorm 31225  df-hba 31226  df-hvsub 31228  df-hlim 31229

This theorem is referenced by:  chscllem4  31897