Theorem hlimadd 31279

Description: Limit of the sum of two sequences in a Hilbert vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlimadd.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ ℋ)
hlimadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ ℋ)
hlimadd.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑣 𝐴)
hlimadd.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝𝑣 𝐵)
hlimadd.7	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛) +ℎ (𝐺‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
hlimadd	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 (𝐴 +ℎ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem hlimadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlimadd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ ℋ)
2	1	ffvelcdmda 7030	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℋ)
3		hlimadd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ ℋ)
4	3	ffvelcdmda 7030	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℋ)
5		hvaddcl 31098	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℋ ∧ (𝐺‘𝑛) ∈ ℋ) → ((𝐹‘𝑛) +ℎ (𝐺‘𝑛)) ∈ ℋ)
6	2, 4, 5	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) +ℎ (𝐺‘𝑛)) ∈ ℋ)
7		hlimadd.7	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛) +ℎ (𝐺‘𝑛)))
8	6, 7	fmptd 7060	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶ ℋ)
9		ax-hilex 31085	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ V
10		nnex 12171	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
11	9, 10	elmap 8812	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝐻:ℕ⟶ ℋ)
12	8, 11	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ( ℋ ↑m ℕ))
13		nnuz 12818	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
14		1zzd 12549	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
15		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
16		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (normℎ ∘ −ℎ )
17	15, 16	hhims 31258	. . . . 5 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
18	15, 17	hhxmet 31261	. . . 4 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ)
19		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) = (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))
20	19	mopntopon 24414	. . . 4 ⊢ ((normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
21	18, 20	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
22		hlimadd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑣 𝐴)
23	15	hhnv 31251	. . . . . . 7 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec
24		df-hba 31055	. . . . . . 7 ⊢ ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
25	15, 23, 24, 17, 19	h2hlm 31066	. . . . . 6 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
26		resss 5960	. . . . . 6 ⊢ ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
27	25, 26	eqsstri 3969	. . . . 5 ⊢ ⇝𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
28	27	ssbri 5131	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝐴)
29	22, 28	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝐴)
30		hlimadd.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝𝑣 𝐵)
31	27	ssbri 5131	. . . 4 ⊢ (𝐺 ⇝𝑣 𝐵 → 𝐺(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝐵)
32	30, 31	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝐵)
33	15	hhva 31252	. . . . 5 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
34	17, 19, 33	vacn 30780	. . . 4 ⊢ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec → +ℎ ∈ (((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ×t (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) Cn (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))))
35	23, 34	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → +ℎ ∈ (((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ×t (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) Cn (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))))
36	13, 14, 21, 21, 1, 3, 29, 32, 35, 7	lmcn2 23624	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))(𝐴 +ℎ 𝐵))
37	25	breqi 5092	. . 3 ⊢ (𝐻 ⇝𝑣 (𝐴 +ℎ 𝐵) ↔ 𝐻((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))(𝐴 +ℎ 𝐵))
38		ovex 7393	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ V
39	38	brresi 5947	. . 3 ⊢ (𝐻((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))(𝐴 +ℎ 𝐵) ↔ (𝐻 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐻(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))(𝐴 +ℎ 𝐵)))
40	37, 39	bitri 275	. 2 ⊢ (𝐻 ⇝𝑣 (𝐴 +ℎ 𝐵) ↔ (𝐻 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐻(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))(𝐴 +ℎ 𝐵)))
41	12, 36, 40	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 (𝐴 +ℎ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8766  1c1 11030  ℕcn 12165  ∞Metcxmet 21329  MetOpencmopn 21334  TopOnctopon 22885   Cn ccn 23199  ⇝_𝑡clm 23201   ×_t ctx 23535  NrmCVeccnv 30670   ℋchba 31005   +_ℎ cva 31006   ·_ℎ csm 31007  norm_ℎcno 31009   −_ℎ cmv 31011   ⇝_𝑣 chli 31013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109  ax-hilex 31085  ax-hfvadd 31086  ax-hvcom 31087  ax-hvass 31088  ax-hv0cl 31089  ax-hvaddid 31090  ax-hfvmul 31091  ax-hvmulid 31092  ax-hvmulass 31093  ax-hvdistr1 31094  ax-hvdistr2 31095  ax-hvmul0 31096  ax-hfi 31165  ax-his1 31168  ax-his2 31169  ax-his3 31170  ax-his4 31171

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-lm 23204  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-xms 24295  df-tms 24297  df-grpo 30579  df-gid 30580  df-ginv 30581  df-gdiv 30582  df-ablo 30631  df-vc 30645  df-nv 30678  df-va 30681  df-ba 30682  df-sm 30683  df-0v 30684  df-vs 30685  df-nmcv 30686  df-ims 30687  df-hnorm 31054  df-hba 31055  df-hvsub 31057  df-hlim 31058

This theorem is referenced by:  chscllem4  31726