Theorem hlimadd 29274

Description: Limit of the sum of two sequences in a Hilbert vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlimadd.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ ℋ)
hlimadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ ℋ)
hlimadd.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑣 𝐴)
hlimadd.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝𝑣 𝐵)
hlimadd.7	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛) +ℎ (𝐺‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
hlimadd	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 (𝐴 +ℎ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem hlimadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlimadd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ ℋ)
2	1	ffvelrnda 6904	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℋ)
3		hlimadd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ ℋ)
4	3	ffvelrnda 6904	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℋ)
5		hvaddcl 29093	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℋ ∧ (𝐺‘𝑛) ∈ ℋ) → ((𝐹‘𝑛) +ℎ (𝐺‘𝑛)) ∈ ℋ)
6	2, 4, 5	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) +ℎ (𝐺‘𝑛)) ∈ ℋ)
7		hlimadd.7	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛) +ℎ (𝐺‘𝑛)))
8	6, 7	fmptd 6931	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶ ℋ)
9		ax-hilex 29080	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ V
10		nnex 11836	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
11	9, 10	elmap 8552	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝐻:ℕ⟶ ℋ)
12	8, 11	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ( ℋ ↑m ℕ))
13		nnuz 12477	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
14		1zzd 12208	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
15		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
16		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (normℎ ∘ −ℎ )
17	15, 16	hhims 29253	. . . . 5 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
18	15, 17	hhxmet 29256	. . . 4 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ)
19		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) = (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))
20	19	mopntopon 23337	. . . 4 ⊢ ((normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
21	18, 20	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
22		hlimadd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑣 𝐴)
23	15	hhnv 29246	. . . . . . 7 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec
24		df-hba 29050	. . . . . . 7 ⊢ ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
25	15, 23, 24, 17, 19	h2hlm 29061	. . . . . 6 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
26		resss 5876	. . . . . 6 ⊢ ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
27	25, 26	eqsstri 3935	. . . . 5 ⊢ ⇝𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
28	27	ssbri 5098	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝐴)
29	22, 28	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝐴)
30		hlimadd.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝𝑣 𝐵)
31	27	ssbri 5098	. . . 4 ⊢ (𝐺 ⇝𝑣 𝐵 → 𝐺(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝐵)
32	30, 31	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝐵)
33	15	hhva 29247	. . . . 5 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
34	17, 19, 33	vacn 28775	. . . 4 ⊢ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec → +ℎ ∈ (((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ×t (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) Cn (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))))
35	23, 34	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → +ℎ ∈ (((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ×t (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) Cn (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))))
36	13, 14, 21, 21, 1, 3, 29, 32, 35, 7	lmcn2 22546	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))(𝐴 +ℎ 𝐵))
37	25	breqi 5059	. . 3 ⊢ (𝐻 ⇝𝑣 (𝐴 +ℎ 𝐵) ↔ 𝐻((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))(𝐴 +ℎ 𝐵))
38		ovex 7246	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ V
39	38	brresi 5860	. . 3 ⊢ (𝐻((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))(𝐴 +ℎ 𝐵) ↔ (𝐻 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐻(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))(𝐴 +ℎ 𝐵)))
40	37, 39	bitri 278	. 2 ⊢ (𝐻 ⇝𝑣 (𝐴 +ℎ 𝐵) ↔ (𝐻 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐻(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))(𝐴 +ℎ 𝐵)))
41	12, 36, 40	sylanbrc 586	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 (𝐴 +ℎ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ⟨cop 4547   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135   ↾ cres 5553   ∘ ccom 5555  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   ↑_m cmap 8508  1c1 10730  ℕcn 11830  ∞Metcxmet 20348  MetOpencmopn 20353  TopOnctopon 21807   Cn ccn 22121  ⇝_𝑡clm 22123   ×_t ctx 22457  NrmCVeccnv 28665   ℋchba 29000   +_ℎ cva 29001   ·_ℎ csm 29002  norm_ℎcno 29004   −_ℎ cmv 29006   ⇝_𝑣 chli 29008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809  ax-hilex 29080  ax-hfvadd 29081  ax-hvcom 29082  ax-hvass 29083  ax-hv0cl 29084  ax-hvaddid 29085  ax-hfvmul 29086  ax-hvmulid 29087  ax-hvmulass 29088  ax-hvdistr1 29089  ax-hvdistr2 29090  ax-hvmul0 29091  ax-hfi 29160  ax-his1 29163  ax-his2 29164  ax-his3 29165  ax-his4 29166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-lm 22126  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-xms 23218  df-tms 23220  df-grpo 28574  df-gid 28575  df-ginv 28576  df-gdiv 28577  df-ablo 28626  df-vc 28640  df-nv 28673  df-va 28676  df-ba 28677  df-sm 28678  df-0v 28679  df-vs 28680  df-nmcv 28681  df-ims 28682  df-hnorm 29049  df-hba 29050  df-hvsub 29052  df-hlim 29053

This theorem is referenced by:  chscllem4  29721