HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlimadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlimadd 28383
Description: Limit of the sum of two sequences in a Hilbert vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hlimadd.3 (𝜑𝐹:ℕ⟶ ℋ)
hlimadd.4 (𝜑𝐺:ℕ⟶ ℋ)
hlimadd.5 (𝜑𝐹𝑣 𝐴)
hlimadd.6 (𝜑𝐺𝑣 𝐵)
hlimadd.7 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑛) + (𝐺𝑛)))
Assertion
Ref Expression
hlimadd (𝜑𝐻𝑣 (𝐴 + 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem hlimadd
StepHypRef Expression
1 nnuz 11923 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11608 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 eqid 2771 . . . . 5 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
4 eqid 2771 . . . . . 6 (norm ∘ − ) = (norm ∘ − )
53, 4hhims 28362 . . . . 5 (norm ∘ − ) = (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
63, 5hhxmet 28365 . . . 4 (norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ)
7 eqid 2771 . . . . 5 (MetOpen‘(norm ∘ − )) = (MetOpen‘(norm ∘ − ))
87mopntopon 22457 . . . 4 ((norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
96, 8mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
10 hlimadd.3 . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶ ℋ)
11 hlimadd.4 . . 3 (𝜑𝐺:ℕ⟶ ℋ)
12 hlimadd.5 . . . 4 (𝜑𝐹𝑣 𝐴)
133hhnv 28355 . . . . . . 7 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec
14 df-hba 28159 . . . . . . 7 ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
153, 13, 14, 5, 7h2hlm 28170 . . . . . 6 𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
16 resss 5561 . . . . . 6 ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
1715, 16eqsstri 3784 . . . . 5 𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
1817ssbri 4831 . . . 4 (𝐹𝑣 𝐴𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))𝐴)
1912, 18syl 17 . . 3 (𝜑𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))𝐴)
20 hlimadd.6 . . . 4 (𝜑𝐺𝑣 𝐵)
2117ssbri 4831 . . . 4 (𝐺𝑣 𝐵𝐺(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))𝐵)
2220, 21syl 17 . . 3 (𝜑𝐺(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))𝐵)
233hhva 28356 . . . . 5 + = ( +𝑣 ‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
245, 7, 23vacn 27882 . . . 4 (⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec → + ∈ (((MetOpen‘(norm ∘ − )) ×t (MetOpen‘(norm ∘ − ))) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
2513, 24mp1i 13 . . 3 (𝜑 → + ∈ (((MetOpen‘(norm ∘ − )) ×t (MetOpen‘(norm ∘ − ))) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
26 hlimadd.7 . . 3 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑛) + (𝐺𝑛)))
271, 2, 9, 9, 10, 11, 19, 22, 25, 26lmcn2 21666 . 2 (𝜑𝐻(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))(𝐴 + 𝐵))
2810ffvelrnda 6500 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℋ)
2911ffvelrnda 6500 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛) ∈ ℋ)
30 hvaddcl 28202 . . . . 5 (((𝐹𝑛) ∈ ℋ ∧ (𝐺𝑛) ∈ ℋ) → ((𝐹𝑛) + (𝐺𝑛)) ∈ ℋ)
3128, 29, 30syl2anc 573 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + (𝐺𝑛)) ∈ ℋ)
3231, 26fmptd 6525 . . 3 (𝜑𝐻:ℕ⟶ ℋ)
33 ax-hilex 28189 . . . 4 ℋ ∈ V
34 nnex 11226 . . . 4 ℕ ∈ V
3533, 34elmap 8036 . . 3 (𝐻 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ) ↔ 𝐻:ℕ⟶ ℋ)
3632, 35sylibr 224 . 2 (𝜑𝐻 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
3715breqi 4792 . . 3 (𝐻𝑣 (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝐻((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))(𝐴 + 𝐵))
38 ovex 6821 . . . 4 (𝐴 + 𝐵) ∈ V
3938brres 5541 . . 3 (𝐻((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))(𝐴 + 𝐵) ↔ (𝐻(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))(𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
4037, 39bitri 264 . 2 (𝐻𝑣 (𝐴 + 𝐵) ↔ (𝐻(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))(𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐻 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)))
4127, 36, 40sylanbrc 572 1 (𝜑𝐻𝑣 (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cop 4322   class class class wbr 4786  cmpt 4863  cres 5251  ccom 5253  wf 6025  cfv 6029  (class class class)co 6791  𝑚 cmap 8007  1c1 10137  cn 11220  ∞Metcxmt 19939  MetOpencmopn 19944  TopOnctopon 20928   Cn ccn 21242  𝑡clm 21244   ×t ctx 21577  NrmCVeccnv 27772  chil 28109   + cva 28110   · csm 28111  normcno 28113   cmv 28115  𝑣 chli 28117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215  ax-mulf 10216  ax-hilex 28189  ax-hfvadd 28190  ax-hvcom 28191  ax-hvass 28192  ax-hv0cl 28193  ax-hvaddid 28194  ax-hfvmul 28195  ax-hvmulid 28196  ax-hvmulass 28197  ax-hvdistr1 28198  ax-hvdistr2 28199  ax-hvmul0 28200  ax-hfi 28269  ax-his1 28272  ax-his2 28273  ax-his3 28274  ax-his4 28275
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12144  df-xadd 12145  df-xmul 12146  df-icc 12380  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-seq 13002  df-exp 13061  df-hash 13315  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-sca 16158  df-vsca 16159  df-ip 16160  df-tset 16161  df-ple 16162  df-ds 16165  df-hom 16167  df-cco 16168  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-lm 21247  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-xms 22338  df-tms 22340  df-grpo 27680  df-gid 27681  df-ginv 27682  df-gdiv 27683  df-ablo 27732  df-vc 27747  df-nv 27780  df-va 27783  df-ba 27784  df-sm 27785  df-0v 27786  df-vs 27787  df-nmcv 27788  df-ims 27789  df-hnorm 28158  df-hba 28159  df-hvsub 28161  df-hlim 28162
This theorem is referenced by:  chscllem4  28832
  Copyright terms: Public domain W3C validator