Theorem hlimadd 31841

Description: Limit of the sum of two sequences in a Hilbert vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlimadd.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ ℋ)
hlimadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ ℋ)
hlimadd.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑣 𝐴)
hlimadd.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝𝑣 𝐵)
hlimadd.7	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛) +ℎ (𝐺‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
hlimadd	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 (𝐴 +ℎ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem hlimadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlimadd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ ℋ)
2	1	ffvelcdmda 7114	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℋ)
3		hlimadd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ ℋ)
4	3	ffvelcdmda 7114	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℋ)
5		hvaddcl 31660	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℋ ∧ (𝐺‘𝑛) ∈ ℋ) → ((𝐹‘𝑛) +ℎ (𝐺‘𝑛)) ∈ ℋ)
6	2, 4, 5	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) +ℎ (𝐺‘𝑛)) ∈ ℋ)
7		hlimadd.7	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛) +ℎ (𝐺‘𝑛)))
8	6, 7	fmptd 7144	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶ ℋ)
9		ax-hilex 31647	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ V
10		nnex 12379	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
11	9, 10	elmap 8935	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝐻:ℕ⟶ ℋ)
12	8, 11	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ( ℋ ↑m ℕ))
13		nnuz 13042	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
14		1zzd 12765	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
15		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
16		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (normℎ ∘ −ℎ )
17	15, 16	hhims 31820	. . . . 5 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
18	15, 17	hhxmet 31823	. . . 4 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ)
19		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) = (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))
20	19	mopntopon 24802	. . . 4 ⊢ ((normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
21	18, 20	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
22		hlimadd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑣 𝐴)
23	15	hhnv 31813	. . . . . . 7 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec
24		df-hba 31617	. . . . . . 7 ⊢ ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
25	15, 23, 24, 17, 19	h2hlm 31628	. . . . . 6 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
26		resss 6006	. . . . . 6 ⊢ ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
27	25, 26	eqsstri 3959	. . . . 5 ⊢ ⇝𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
28	27	ssbri 5154	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝐴)
29	22, 28	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝐴)
30		hlimadd.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝𝑣 𝐵)
31	27	ssbri 5154	. . . 4 ⊢ (𝐺 ⇝𝑣 𝐵 → 𝐺(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝐵)
32	30, 31	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝐵)
33	15	hhva 31814	. . . . 5 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
34	17, 19, 33	vacn 31342	. . . 4 ⊢ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec → +ℎ ∈ (((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ×t (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) Cn (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))))
35	23, 34	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → +ℎ ∈ (((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ×t (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) Cn (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))))
36	13, 14, 21, 21, 1, 3, 29, 32, 35, 7	lmcn2 24012	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))(𝐴 +ℎ 𝐵))
37	25	breqi 5112	. . 3 ⊢ (𝐻 ⇝𝑣 (𝐴 +ℎ 𝐵) ↔ 𝐻((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))(𝐴 +ℎ 𝐵))
38		ovex 7482	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ V
39	38	brresi 5993	. . 3 ⊢ (𝐻((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))(𝐴 +ℎ 𝐵) ↔ (𝐻 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐻(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))(𝐴 +ℎ 𝐵)))
40	37, 39	bitri 278	. 2 ⊢ (𝐻 ⇝𝑣 (𝐴 +ℎ 𝐵) ↔ (𝐻 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐻(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))(𝐴 +ℎ 𝐵)))
41	12, 36, 40	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 (𝐴 +ℎ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190   ↾ cres 5658   ∘ ccom 5660  ⟶wf 6560  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449   ↑_m cmap 8883  1c1 11238  ℕcn 12373  ∞Metcxmet 21705  MetOpencmopn 21710  TopOnctopon 23272   Cn ccn 23586  ⇝_𝑡clm 23588   ×_t ctx 23923  NrmCVeccnv 31232   ℋchba 31567   +_ℎ cva 31568   ·_ℎ csm 31569  norm_ℎcno 31571   −_ℎ cmv 31573   ⇝_𝑣 chli 31575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315  ax-addf 11316  ax-mulf 11317  ax-hilex 31647  ax-hfvadd 31648  ax-hvcom 31649  ax-hvass 31650  ax-hv0cl 31651  ax-hvaddid 31652  ax-hfvmul 31653  ax-hvmulid 31654  ax-hvmulass 31655  ax-hvdistr1 31656  ax-hvdistr2 31657  ax-hvmul0 31658  ax-hfi 31727  ax-his1 31730  ax-his2 31731  ax-his3 31732  ax-his4 31733

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-of 7723  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-supp 8213  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-2o 8513  df-er 8753  df-map 8885  df-pm 8886  df-ixp 8962  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-fsupp 9390  df-fi 9438  df-sup 9469  df-inf 9470  df-oi 9539  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-q 13114  df-rp 13159  df-xneg 13279  df-xadd 13280  df-xmul 13281  df-icc 13521  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-seq 14183  df-exp 14243  df-hash 14514  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-sca 17485  df-vsca 17486  df-ip 17487  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-hom 17493  df-cco 17494  df-rest 17634  df-topn 17635  df-0g 17653  df-gsum 17654  df-topgen 17655  df-pt 17656  df-prds 17659  df-xrs 17715  df-qtop 17720  df-imas 17721  df-xps 17723  df-mre 17797  df-mrc 17798  df-acs 17800  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-submnd 19020  df-mulg 19319  df-cntz 19573  df-cmn 20038  df-psmet 21712  df-xmet 21713  df-met 21714  df-bl 21715  df-mopn 21716  df-top 23256  df-topon 23273  df-topsp 23295  df-bases 23308  df-cn 23589  df-cnp 23590  df-lm 23591  df-tx 23925  df-hmeo 24118  df-xms 24683  df-tms 24685  df-grpo 31141  df-gid 31142  df-ginv 31143  df-gdiv 31144  df-ablo 31193  df-vc 31207  df-nv 31240  df-va 31243  df-ba 31244  df-sm 31245  df-0v 31246  df-vs 31247  df-nmcv 31248  df-ims 31249  df-hnorm 31616  df-hba 31617  df-hvsub 31619  df-hlim 31620

This theorem is used by:  chscllem4  32288