Theorem hlimadd 31221

Description: Limit of the sum of two sequences in a Hilbert vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlimadd.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ ℋ)
hlimadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ ℋ)
hlimadd.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑣 𝐴)
hlimadd.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝𝑣 𝐵)
hlimadd.7	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛) +ℎ (𝐺‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
hlimadd	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 (𝐴 +ℎ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem hlimadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlimadd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ ℋ)
2	1	ffvelcdmda 7103	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℋ)
3		hlimadd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ ℋ)
4	3	ffvelcdmda 7103	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℋ)
5		hvaddcl 31040	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℋ ∧ (𝐺‘𝑛) ∈ ℋ) → ((𝐹‘𝑛) +ℎ (𝐺‘𝑛)) ∈ ℋ)
6	2, 4, 5	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) +ℎ (𝐺‘𝑛)) ∈ ℋ)
7		hlimadd.7	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛) +ℎ (𝐺‘𝑛)))
8	6, 7	fmptd 7133	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶ ℋ)
9		ax-hilex 31027	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ V
10		nnex 12269	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
11	9, 10	elmap 8909	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝐻:ℕ⟶ ℋ)
12	8, 11	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ( ℋ ↑m ℕ))
13		nnuz 12918	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
14		1zzd 12645	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
15		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
16		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (normℎ ∘ −ℎ )
17	15, 16	hhims 31200	. . . . 5 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
18	15, 17	hhxmet 31203	. . . 4 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ)
19		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) = (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))
20	19	mopntopon 24464	. . . 4 ⊢ ((normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
21	18, 20	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
22		hlimadd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑣 𝐴)
23	15	hhnv 31193	. . . . . . 7 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec
24		df-hba 30997	. . . . . . 7 ⊢ ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
25	15, 23, 24, 17, 19	h2hlm 31008	. . . . . 6 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
26		resss 6021	. . . . . 6 ⊢ ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
27	25, 26	eqsstri 4029	. . . . 5 ⊢ ⇝𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
28	27	ssbri 5192	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝𝑣 𝐴 → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝐴)
29	22, 28	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝐴)
30		hlimadd.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝𝑣 𝐵)
31	27	ssbri 5192	. . . 4 ⊢ (𝐺 ⇝𝑣 𝐵 → 𝐺(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝐵)
32	30, 31	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))𝐵)
33	15	hhva 31194	. . . . 5 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
34	17, 19, 33	vacn 30722	. . . 4 ⊢ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec → +ℎ ∈ (((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ×t (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) Cn (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))))
35	23, 34	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → +ℎ ∈ (((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ×t (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) Cn (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))))
36	13, 14, 21, 21, 1, 3, 29, 32, 35, 7	lmcn2 23672	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))(𝐴 +ℎ 𝐵))
37	25	breqi 5153	. . 3 ⊢ (𝐻 ⇝𝑣 (𝐴 +ℎ 𝐵) ↔ 𝐻((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))(𝐴 +ℎ 𝐵))
38		ovex 7463	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ V
39	38	brresi 6008	. . 3 ⊢ (𝐻((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))(𝐴 +ℎ 𝐵) ↔ (𝐻 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐻(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))(𝐴 +ℎ 𝐵)))
40	37, 39	bitri 275	. 2 ⊢ (𝐻 ⇝𝑣 (𝐴 +ℎ 𝐵) ↔ (𝐻 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ∧ 𝐻(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))(𝐴 +ℎ 𝐵)))
41	12, 36, 40	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 (𝐴 +ℎ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ⟨cop 4636   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   ↾ cres 5690   ∘ ccom 5692  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   ↑_m cmap 8864  1c1 11153  ℕcn 12263  ∞Metcxmet 21366  MetOpencmopn 21371  TopOnctopon 22931   Cn ccn 23247  ⇝_𝑡clm 23249   ×_t ctx 23583  NrmCVeccnv 30612   ℋchba 30947   +_ℎ cva 30948   ·_ℎ csm 30949  norm_ℎcno 30951   −_ℎ cmv 30953   ⇝_𝑣 chli 30955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232  ax-hilex 31027  ax-hfvadd 31028  ax-hvcom 31029  ax-hvass 31030  ax-hv0cl 31031  ax-hvaddid 31032  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulid 31034  ax-hvmulass 31035  ax-hvdistr1 31036  ax-hvdistr2 31037  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his2 31111  ax-his3 31112  ax-his4 31113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-lm 23252  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-xms 24345  df-tms 24347  df-grpo 30521  df-gid 30522  df-ginv 30523  df-gdiv 30524  df-ablo 30573  df-vc 30587  df-nv 30620  df-va 30623  df-ba 30624  df-sm 30625  df-0v 30626  df-vs 30627  df-nmcv 30628  df-ims 30629  df-hnorm 30996  df-hba 30997  df-hvsub 30999  df-hlim 31000

This theorem is referenced by:  chscllem4  31668