Theorem dvres2 24228

Description: Restriction of the base set of a derivative. The primary application of this theorem says that if a function is complex-differentiable then it is also real-differentiable. Unlike dvres 24227, there is no simple reverse relation relating real-differentiable functions to complex differentiability, and indeed there are functions like ℜ(𝑥) which are everywhere real-differentiable but nowhere complex-differentiable.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvres2	⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆)) → ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵) ⊆ (𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵)))

Proof of Theorem dvres2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 5724	. . 3 ⊢ Rel ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆)) → Rel ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵))
3		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
5		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
6		simp1l 1178	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
7		simp1r 1179	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
8		simp2l 1180	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
9		simp2r 1181	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)) → 𝐵 ⊆ 𝑆)
10		simp3r 1183	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)) → 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
11	6, 7, 8	dvcl 24215	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
12	10, 11	mpdan 675	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
13		simp3l 1182	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
14	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 10, 13	dvres2lem 24226	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)) → 𝑥(𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦)
15	14	3expia 1102	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑥(𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦))
16		vex 3411	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
17	16	brresi 5701	. . . 4 ⊢ (𝑥((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦))
18		df-br 4926	. . . 4 ⊢ (𝑥((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵))
19	17, 18	bitr3i 269	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵))
20		df-br 4926	. . 3 ⊢ (𝑥(𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵)))
21	15, 19, 20	3imtr3g 287	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵))))
22	2, 21	relssdv 5507	1 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆)) → ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵) ⊆ (𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1069   ∈ wcel 2051   ∖ cdif 3819   ⊆ wss 3822  {csn 4435  ⟨cop 4441   class class class wbr 4925   ↦ cmpt 5004   ↾ cres 5405  Rel wrel 5408  ⟶wf 6181  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974  ℂcc 10331   − cmin 10668   / cdiv 11096   ↾_t crest 16548  TopOpenctopn 16549  ℂ_fldccnfld 20262   D cdv 24179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-pm 8207  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-fi 8668  df-sup 8699  df-inf 8700  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-dec 11910  df-uz 12057  df-q 12161  df-rp 12203  df-xneg 12322  df-xadd 12323  df-xmul 12324  df-fz 12707  df-seq 13183  df-exp 13243  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-sqrt 14453  df-abs 14454  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-starv 16434  df-tset 16438  df-ple 16439  df-ds 16441  df-unif 16442  df-rest 16550  df-topn 16551  df-topgen 16571  df-psmet 20254  df-xmet 20255  df-met 20256  df-bl 20257  df-mopn 20258  df-cnfld 20263  df-top 21221  df-topon 21238  df-topsp 21260  df-bases 21273  df-cld 21346  df-ntr 21347  df-cls 21348  df-cnp 21555  df-xms 22648  df-ms 22649  df-limc 24182  df-dv 24183

This theorem is referenced by:  dvres3  24229  dvres3a  24230