MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvres2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvres2 25663
Description: Restriction of the base set of a derivative. The primary application of this theorem says that if a function is complex-differentiable then it is also real-differentiable. Unlike dvres 25662, there is no simple reverse relation relating real-differentiable functions to complex differentiability, and indeed there are functions like β„œ(π‘₯) which are everywhere real-differentiable but nowhere complex-differentiable.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvres2 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ 𝐡) βŠ† (𝐡 D (𝐹 β†Ύ 𝐡)))
Proof of Theorem dvres2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relres 6011 . . 3 Rel ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ 𝐡)
21a1i 11 . 2 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ Rel ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ 𝐡))
3 eqid 2730 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4 eqid 2730 . . . . 5 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆)
5 eqid 2730 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
6 simp1l 1195 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
7 simp1r 1196 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
8 simp2l 1197 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
9 simp2r 1198 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑆)
10 simp3r 1200 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)) β†’ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)
116, 7, 8dvcl 25650 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
1210, 11mpdan 683 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
13 simp3l 1199 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
143, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 10, 13dvres2lem 25661 . . . 4 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)) β†’ π‘₯(𝐡 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦)
15143expia 1119 . . 3 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦) β†’ π‘₯(𝐡 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦))
16 vex 3476 . . . . 5 𝑦 ∈ V
1716brresi 5991 . . . 4 (π‘₯((𝑆 D 𝐹) β†Ύ 𝐡)𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦))
18 df-br 5150 . . . 4 (π‘₯((𝑆 D 𝐹) β†Ύ 𝐡)𝑦 ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ 𝐡))
1917, 18bitr3i 276 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦) ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ 𝐡))
20 df-br 5150 . . 3 (π‘₯(𝐡 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦 ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝐡 D (𝐹 β†Ύ 𝐡)))
2115, 19, 203imtr3g 294 . 2 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ 𝐡) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝐡 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))))
222, 21relssdv 5789 1 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ 𝐡) βŠ† (𝐡 D (𝐹 β†Ύ 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2104   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4629  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   β†Ύ cres 5679  Rel wrel 5682  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  β„‚cc 11112   βˆ’ cmin 11450   / cdiv 11877   β†Ύt crest 17372  TopOpenctopn 17373  β„‚fldccnfld 21146   D cdv 25614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14034  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-rest 17374  df-topn 17375  df-topgen 17395  df-psmet 21138  df-xmet 21139  df-met 21140  df-bl 21141  df-mopn 21142  df-cnfld 21147  df-top 22618  df-topon 22635  df-topsp 22657  df-bases 22671  df-cld 22745  df-ntr 22746  df-cls 22747  df-cnp 22954  df-xms 24048  df-ms 24049  df-limc 25617  df-dv 25618
This theorem is referenced by:  dvres3  25664  dvres3a  25665
  Copyright terms: Public domain W3C validator