Theorem dvres2 25879

Description: Restriction of the base set of a derivative. The primary application of this theorem says that if a function is complex-differentiable then it is also real-differentiable. Unlike dvres 25878, there is no simple reverse relation relating real-differentiable functions to complex differentiability, and indeed there are functions like ℜ(𝑥) which are everywhere real-differentiable but nowhere complex-differentiable.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvres2	⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆)) → ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵) ⊆ (𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵)))

Proof of Theorem dvres2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 5970	. . 3 ⊢ Rel ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆)) → Rel ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵))
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
6		simp1l 1199	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
7		simp1r 1200	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
8		simp2l 1201	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
9		simp2r 1202	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)) → 𝐵 ⊆ 𝑆)
10		simp3r 1204	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)) → 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
11	6, 7, 8	dvcl 25866	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
12	10, 11	mpdan 688	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
13		simp3l 1203	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
14	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 10, 13	dvres2lem 25877	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)) → 𝑥(𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦)
15	14	3expia 1122	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑥(𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦))
16		vex 3433	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
17	16	brresi 5953	. . . 4 ⊢ (𝑥((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦))
18		df-br 5086	. . . 4 ⊢ (𝑥((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵))
19	17, 18	bitr3i 277	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵))
20		df-br 5086	. . 3 ⊢ (𝑥(𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵)))
21	15, 19, 20	3imtr3g 295	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵))))
22	2, 21	relssdv 5744	1 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆)) → ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵) ⊆ (𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889  {csn 4567  ⟨cop 4573   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166   ↾ cres 5633  Rel wrel 5636  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   − cmin 11377   / cdiv 11807   ↾_t crest 17383  TopOpenctopn 17384  ℂ_fldccnfld 21352   D cdv 25830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-rest 17385  df-topn 17386  df-topgen 17406  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-cnp 23193  df-xms 24285  df-ms 24286  df-limc 25833  df-dv 25834

This theorem is referenced by:  dvres3  25880  dvres3a  25881