Theorem card0 9946

Description: The cardinality of the empty set is the empty set. (Contributed by NM, 25-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
card0	⊢ (card‘∅) = ∅

Proof of Theorem card0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6419	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		cardonle 9945	. . 3 ⊢ (∅ ∈ On → (card‘∅) ⊆ ∅)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (card‘∅) ⊆ ∅
4		ss0b 4365	. 2 ⊢ ((card‘∅) ⊆ ∅ ↔ (card‘∅) = ∅)
5	3, 4	mpbi 233	1 ⊢ (card‘∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  Oncon0 6363  ‘cfv 6539  cardccrd 9923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-ord 6366  df-on 6367  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-en 8946  df-card 9927

This theorem is referenced by:  cardidm  9947  cardnueq0  9952  alephcard  10056  ackbij2lem2  10224  cf0  10236  cardcf  10237  cardeq0  10538