Theorem card0 9950

Description: The cardinality of the empty set is the empty set. (Contributed by NM, 25-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
card0	⊢ (card‘∅) = ∅

Proof of Theorem card0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6416	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		cardonle 9949	. . 3 ⊢ (∅ ∈ On → (card‘∅) ⊆ ∅)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (card‘∅) ⊆ ∅
4		ss0b 4397	. 2 ⊢ ((card‘∅) ⊆ ∅ ↔ (card‘∅) = ∅)
5	3, 4	mpbi 229	1 ⊢ (card‘∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  Oncon0 6362  ‘cfv 6541  cardccrd 9927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6365  df-on 6366  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-en 8937  df-card 9931

This theorem is referenced by:  cardidm  9951  cardnueq0  9956  alephcard  10062  ackbij2lem2  10232  cf0  10243  cardcf  10244  cardeq0  10544