Theorem cardnueq0 10045

Description: The empty set is the only numerable set with cardinality zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardnueq0	⊢ (𝐴 ∈ dom card → ((card‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem cardnueq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardid2 10034	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
2	1	ensymd 9032	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ≈ (card‘𝐴))
3		breq2 5107	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) = ∅ → (𝐴 ≈ (card‘𝐴) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
4		en0 9045	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
5	3, 4	bitrdi 290	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) = ∅ → (𝐴 ≈ (card‘𝐴) ↔ 𝐴 = ∅))
6	2, 5	syl5ibcom 248	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ((card‘𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅))
7		fveq2 6885	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (card‘𝐴) = (card‘∅))
8		card0 10039	. . 3 ⊢ (card‘∅) = ∅
9	7, 8	eqtrdi 2812	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (card‘𝐴) = ∅)
10	6, 9	impbid1 228	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ((card‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  ‘cfv 6538   ≈ cen 8970  cardccrd 10016

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6365  df-on 6366  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8717  df-en 8974  df-card 10020

This theorem is used by:  carddomi2  10051  cfeq0  10334  cfsuc  10335  sdom2en01  10380