Theorem cardnueq0 9877

Description: The empty set is the only numerable set with cardinality zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardnueq0	⊢ (𝐴 ∈ dom card → ((card‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem cardnueq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardid2 9866	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
2	1	ensymd 8943	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ≈ (card‘𝐴))
3		breq2 5090	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) = ∅ → (𝐴 ≈ (card‘𝐴) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
4		en0 8956	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
5	3, 4	bitrdi 287	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) = ∅ → (𝐴 ≈ (card‘𝐴) ↔ 𝐴 = ∅))
6	2, 5	syl5ibcom 245	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ((card‘𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅))
7		fveq2 6832	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (card‘𝐴) = (card‘∅))
8		card0 9871	. . 3 ⊢ (card‘∅) = ∅
9	7, 8	eqtrdi 2788	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (card‘𝐴) = ∅)
10	6, 9	impbid1 225	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ((card‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  dom cdm 5622  ‘cfv 6490   ≈ cen 8881  cardccrd 9848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-er 8634  df-en 8885  df-card 9852

This theorem is referenced by:  carddomi2  9883  cfeq0  10167  cfsuc  10168  sdom2en01  10213