Theorem cardnueq0 9849

Description: The empty set is the only numerable set with cardinality zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardnueq0	⊢ (𝐴 ∈ dom card → ((card‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem cardnueq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardid2 9838	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
2	1	ensymd 8922	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ≈ (card‘𝐴))
3		breq2 5093	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) = ∅ → (𝐴 ≈ (card‘𝐴) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
4		en0 8935	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
5	3, 4	bitrdi 287	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) = ∅ → (𝐴 ≈ (card‘𝐴) ↔ 𝐴 = ∅))
6	2, 5	syl5ibcom 245	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ((card‘𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅))
7		fveq2 6817	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (card‘𝐴) = (card‘∅))
8		card0 9843	. . 3 ⊢ (card‘∅) = ∅
9	7, 8	eqtrdi 2781	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (card‘𝐴) = ∅)
10	6, 9	impbid1 225	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ((card‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∅c0 4281   class class class wbr 5089  dom cdm 5614  ‘cfv 6477   ≈ cen 8861  cardccrd 9820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3394  df-v 3436  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6305  df-on 6306  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-er 8617  df-en 8865  df-card 9824

This theorem is referenced by:  carddomi2  9855  cfeq0  10139  cfsuc  10140  sdom2en01  10185