Theorem cardnueq0 9880

Description: The empty set is the only numerable set with cardinality zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardnueq0	⊢ (𝐴 ∈ dom card → ((card‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem cardnueq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardid2 9869	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
2	1	ensymd 8946	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ≈ (card‘𝐴))
3		breq2 5103	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) = ∅ → (𝐴 ≈ (card‘𝐴) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
4		en0 8959	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
5	3, 4	bitrdi 287	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) = ∅ → (𝐴 ≈ (card‘𝐴) ↔ 𝐴 = ∅))
6	2, 5	syl5ibcom 245	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ((card‘𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅))
7		fveq2 6835	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (card‘𝐴) = (card‘∅))
8		card0 9874	. . 3 ⊢ (card‘∅) = ∅
9	7, 8	eqtrdi 2788	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (card‘𝐴) = ∅)
10	6, 9	impbid1 225	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ((card‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4286   class class class wbr 5099  dom cdm 5625  ‘cfv 6493   ≈ cen 8884  cardccrd 9851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-er 8637  df-en 8888  df-card 9855

This theorem is referenced by:  carddomi2  9886  cfeq0  10170  cfsuc  10171  sdom2en01  10216