Theorem cardonle 9954

Description: The cardinal of an ordinal number is less than or equal to the ordinal number. Proposition 10.6(3) of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by NM, 22-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
cardonle	⊢ (𝐴 ∈ On → (card‘𝐴) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem cardonle

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oncardval 9952	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (card‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
2		enrefg 8982	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
3		breq1 5144	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
4	3	intminss 4971	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ⊆ 𝐴)
5	2, 4	mpdan 684	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ⊆ 𝐴)
6	1, 5	eqsstrd 4015	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (card‘𝐴) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  {crab 3426   ⊆ wss 3943  ∩ cint 4943   class class class wbr 5141  Oncon0 6358  ‘cfv 6537   ≈ cen 8938  cardccrd 9932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-en 8942  df-card 9936

This theorem is referenced by:  card0  9955  iscard  9972  iscard2  9973  carduni  9978  cardom  9983  alephinit  10092  cfle  10251  cfflb  10256  pwfseqlem5  10660  harval3  42862