Theorem cardonle 9998

Description: The cardinal of an ordinal number is less than or equal to the ordinal number. Proposition 10.6(3) of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by NM, 22-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
cardonle	⊢ (𝐴 ∈ On → (card‘𝐴) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem cardonle

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oncardval 9996	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (card‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
2		enrefg 9025	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
3		breq1 5145	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
4	3	intminss 4973	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ⊆ 𝐴)
5	2, 4	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ⊆ 𝐴)
6	1, 5	eqsstrd 4017	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (card‘𝐴) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  {crab 3435   ⊆ wss 3950  ∩ cint 4945   class class class wbr 5142  Oncon0 6383  ‘cfv 6560   ≈ cen 8983  cardccrd 9976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-en 8987  df-card 9980

This theorem is referenced by:  card0  9999  iscard  10016  iscard2  10017  carduni  10022  cardom  10027  alephinit  10136  cfle  10295  cfflb  10300  pwfseqlem5  10704  harval3  43556