Theorem cardeq0 10446

Description: Only the empty set has cardinality zero. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
cardeq0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((card‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem cardeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5246	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		carden 10445	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → ((card‘𝐴) = (card‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
3	1, 2	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((card‘𝐴) = (card‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
4		card0 9854	. . 3 ⊢ (card‘∅) = ∅
5	4	eqeq2i 2742	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘∅) ↔ (card‘𝐴) = ∅)
6		en0 8943	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
7	3, 5, 6	3bitr3g 313	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((card‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436  ∅c0 4284   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482   ≈ cen 8869  cardccrd 9831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-ac2 10357

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-er 8625  df-en 8873  df-card 9835  df-ac 10010

This theorem is referenced by:  tskcard  10675