Theorem cardeq0 10592

Description: Only the empty set has cardinality zero. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
cardeq0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((card‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem cardeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5307	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		carden 10591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → ((card‘𝐴) = (card‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
3	1, 2	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((card‘𝐴) = (card‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
4		card0 9998	. . 3 ⊢ (card‘∅) = ∅
5	4	eqeq2i 2750	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘∅) ↔ (card‘𝐴) = ∅)
6		en0 9058	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
7	3, 5, 6	3bitr3g 313	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((card‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  ∅c0 4333   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561   ≈ cen 8982  cardccrd 9975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-ac2 10503

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-er 8745  df-en 8986  df-card 9979  df-ac 10156

This theorem is referenced by:  tskcard  10821