Theorem cardeq0 10547

Description: Only the empty set has cardinality zero. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
cardeq0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((card‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem cardeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5308	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		carden 10546	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → ((card‘𝐴) = (card‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
3	1, 2	mpan2 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((card‘𝐴) = (card‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
4		card0 9953	. . 3 ⊢ (card‘∅) = ∅
5	4	eqeq2i 2746	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘∅) ↔ (card‘𝐴) = ∅)
6		en0 9013	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
7	3, 5, 6	3bitr3g 313	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((card‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  ∅c0 4323   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544   ≈ cen 8936  cardccrd 9930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-ac2 10458

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-er 8703  df-en 8940  df-card 9934  df-ac 10111

This theorem is referenced by:  tskcard  10776