Theorem cardeq0 10358

Description: Only the empty set has cardinality zero. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
cardeq0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((card‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem cardeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5240	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		carden 10357	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → ((card‘𝐴) = (card‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
3	1, 2	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((card‘𝐴) = (card‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
4		card0 9764	. . 3 ⊢ (card‘∅) = ∅
5	4	eqeq2i 2749	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘∅) ↔ (card‘𝐴) = ∅)
6		en0 8838	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
7	3, 5, 6	3bitr3g 313	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((card‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3437  ∅c0 4262   class class class wbr 5081  ‘cfv 6458   ≈ cen 8761  cardccrd 9741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-ac2 10269

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-er 8529  df-en 8765  df-card 9745  df-ac 9922

This theorem is referenced by:  tskcard  10587